Два арбуза

Вам предлагают на выбор купить два арбуза, одного диаметра. Первый стоит 100 р. и имеет очень тонкую корочку, а второй стоит 70 р., но 20% его радиуса занимает корочка, которую придется выкинуть. Какой арбуз выгоднее купить? (Имеется в виду только количество мякоти, купленной на 1 р.)

Решение. Эта задача про то, что очень важно чувствовать, как меняется объем при изменении линейных размеров. Перед тем, как приступать к решению задачи, интересно провести голосование: кто какой арбуз предпочтет купить. Мнения разделятся, но, скорее всего, большинство ребят будет за покупку арбуза за 70 р., аргументируя это тем, что мякоти вроде на 20% меньше, а цена меньше на 30%. (Возможно, среди проголосовавших за покупку сторублевого арбуза найдутся и те, кто произнесет следующее: «Радиус меньше на 20%, значит, диаметр — на 40%, а цена меньше лишь на 30%».)

Задачу можно успешно обсудить и с шестиклассниками. Можно также дать, например, такую задачу: Один грузчик поднимает упаковку литровых пакетов молока размером 3 x 3 x 3. Поднимут ли три грузчика упаковку литровых пакетов молока размером 9 x 9 x 9? У многих первая реакция будет: «Да, конечно, поднимут, ведь размер упаковки увеличился как раз в три раза». А если они подсчитают объем второй упаковки, то удивятся: 9∙9∙9 = 729 — очень много! Даже если просто прикинуть, сколько «маленьких» упаковок умещается в большой упаковке, то легко увидеть, что поднять втроем большую упаковку будет не просто затруднительно, а невозможно.

На этом и аналогичных примерах можно показать ребятам, что при увеличении линейных размеров в 2 раза объем увеличивается в 8 раз, в три раза — в 9 раз и т.д., то есть коэффициент возводится в «куб» — третью степень, и объем растет очень быстро!

Теперь можно решить и задачу про арбузы. Радиус «мякоти» второго арбуза составляет 0,8 от радиуса мякоти первого арбуза. Чтобы узнать, во сколько раз будет меньше объем мякоти второго арбуза, надо 0,8 возвести в куб: 0,8∙0,8∙0,8 = 0,64∙0,8 = 0,512, то есть объем мякоти оказывается меньше почти в два раза! Почти половина объема второго арбуза идет в корку! И покупать, конечно, надо первый арбуз.

Комментарий. Может показаться, что эта задача очень простая, не глубокая и не заслуживает обсуждения — ну просто подсчитали объем. Однако на таких задачах как раз вырабатывается интуитивное понимание такого важного понятия, как размерность. С теми ребятами, кто увлекается математикой или физикой, можно даже обсудить, что с ростом размерности «арбуза»-«шара» при одинаковой доле корки «по радиусу» растет доля «по объему»:

Размерность	Доля корки «по радиусу»	Доля мякоти «по объему»	Доля корки «по объему»
1	0,2	1 – 0,2 = 0,8	0,2
2	0,2	0,82 = 0,64	0,36
3	0,2	0,83 = 0,512	0,488
4	0,2	0,84 = 0,4096	0,5904
5	0,2	0,85 = 0,32768	0,67232
N	0,2	0,8n	1 – 0,8n