Обучение с помощью серий задач на уроках и кружках
Статья подготовлена при поддержке бюро переводов «Дружба народов». Если вы решили совершить бизнес-поездку, то вам обязательно понадобится услуги письменного перевода. На сайте, расположенном по адресу www.DruzhbaNarodov.Com.Ua, вы сможете, даже будучи в поездке, заказать профессиональный перевод документов, по выгодной цене. Специалисты бюро переводов «Дружба народов» имеет огромный опыт работы с более чем 240 языками и диалектами.
Это не просто собрание задач на одну тему. Их расположение должно побудить читателя к самостоятельной работе и привить ему навыки творческого мышления.
Д. Пойа. «Задачи и теоремы анализа»
Идею обучения анализу с помощью серий задач впервые выдвинул венгерский математик Д. Пойа и реализовал ее, совместно с Г. Сеге, в знаменитом двухтомнике задач.
В этой статье я попытаюсь обосновать полезность применения идей Д. Пойа к школьной математике.
Детская серия
1. Как в три приема положить в холодильник слона?
[Открыть холодильник.
Положить туда слона.
Закрыть холодильник.]
[Открыть холодильник.
Достать оттуда слона.
Положить жирафа.
Закрыть холодильник.]
[Конечно слон, ведь жираф сидит в холодильнике.]
Эта шуточная серия хорошо иллюстрирует одну характерную особенность серий задач, которую отметил еще Д. Пойа: «Многие задачи, которые, будучи предложены изолированно, были бы неприступны, здесь окружены задачами подготовительного и пояснительного характера и преподнесены в такой связи, что без особого труда могут быть осилены самостоятельно».
В педагогической литературе описан метод листочков. Особенно часто он применяется на кружковых занятиях. Ребята получают листочек с несколькими задачами на заданную тему и до конца занятия должны их самостоятельно решить и сдать преподавателю. Причем порядок решения задач не имеет большого значения и решение одной задачи не очень облегчает решение другой. В этом состоит различие метода листочков и метода серий. В серии порядок следования задач очень важен. Первая задача серии должна быть очень легкой для решения. И если ученик решил предыдущую задачу серии, он должен иметь возможность легко решить следующую задачу.
В правильно составленной серии большинство учащихся должно решить самостоятельно большую часть задач, лишь изредка прибегая к помощи преподавателя. С помощью серий задач мы можем формировать и закреплять формальные и неформальные навыки решения математических задач. Приведем некоторые серии для формирования теоретических навыков и прокомментируем их.
Серия «Перевод бесконечной десятичной дроби в обыкновенную дробь»
1) x = 0,3333333...
2) x = 0,7777777...
3) x = 0,98989898...
4) x = 0,4252525...
5) x = 5,2766666...
6) Сформулируйте правило перевода десятичной дроби в
обыкновенную дробь.
Комментарий . Первая задача служит для создания иллюзии у учащихся, что они все могут сами.
Критическая трудность — во второй задаче, учащимся тяжело работать с бесконечностью. Подсказка учителя: «Если бы мы знали y = 7,777..., смогли бы найти x? Со всеми остальными переходами учащиеся могут справиться самостоятельно. Если нет, немножко поможем им. В итоге у учащихся создается иллюзия, что они сами вывели правило (ну помог учитель немного в одном или двух местах). А правило, которое вывел и сформулировал сам, уже тяжело забыть.
Серия «Формула корней квадратного уравнения»
Образец: x2 – 9 = 0, x2 = 9, x = 3 или x = –3.
Решить:
1) x2 + 2x + 1 – 9 = 0;
2) x2
– 2x – 8 = 0;
3) x2 + 6x + 5 = 0;
4) 
5) x2 + 3x – 10 = 0;
6) x2
– x – 3 = 0;
7) 3x2 + 12x – 8 = 0;
8) x2
+ px + q = 0;
9) ax2 + bx + c = 0.
Комментарий. Обучающая серия должна решать только одну задачу, не отвлекаясь на дополнительные сложности. Поэтому все коэффициенты в серии хорошие, корней всегда два, и до шестой задачи они иррациональные, а до четвертой — целые. Задач в серии должно быть, с одной стороны, как можно меньше, а с другой стороны, все переходы должны быть доступны учащимся.
Все это проверяется экспериментально. Сначала делаем рабочую серию, при необходимости добавляя промежуточные вспомогательные задачи; для более слабых учащихся должна быть разработана система подсказок. Далее оптимизируем серию, выбрасывая ту или иную задачу и наблюдая за решаемостью.
Задача. Мы должны научиться находить суммы членов геометрических прогрессий.
q = 2:
S1 = 1,
S2 = 1 + 2 = 3,
S3 = 1 + 2 + 4 = 7,
S4 = 1 + 2 + 4 + 8 = ?
S100 = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + ? = ?
Sn = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + ? = ?
q = 3:
S1 = 1,
S2 = 1 + 3 = 4,
S3 = 1 + 3 + 9 = 13,
S4 = 1 + 3 + 9 + 27 = ?
S100 = 1 + 3 + 9 + 27 + ... + ? = ?
Sn = 1 + 3 + 9 + 27 + ... + ? = ?
q = 4:
S100 = 1 + 4 + 16 + 64 + ... + ? = ?
Sn = 1 + 4 + 16 + 64 + ... + ? = ?
q — любое:
Sn = 1 + q + q2 + q3 + ... + ? = ?
Докажите последнюю формулу.
Контрольный вопрос:
Sn = b1 + b1 ·q + b1·q2 + ... + ? = ?
Комментарий. Критическая задача в этой серии — задача о вычислении S100 при q = 3.
Подсказка такая: «Мы хотим, чтобы Sn = 3n – 1, то есть S1 = 2, S2 = 8, S3 = 26. А у нас?»
Серии задач можно использовать не только для получения новых
формул, но и для закрепления и отработки навыков применения этих формул для
решения задач. Для этого нужно придумать и предложить учащимся учебные серии.
Каким образом их составлять? Прежде всего, в большом навыке мы должны выделить
ряд поднавыков. В навыке «применение формулы корней квадратного уравнения» я,
например, выделил такие поднавыки: «коэффициенты», «дискриминант», «неполные»,
«перенос влево» 
«идея замены», «биквадратные», «квадратичная замена» ((x2
+ x)2 – 4(x2 + x) + 16 = 0),
«модуль», «параметр», «четный большой b».
Для отработки элементарного поднавыка предлагаю использовать серию из четырех задач следующих типов:
а) образец;
б) аналог образца (отличается от образца лишь числами);
в) усложнение-1 (легко сводится к образцу);
г) усложнение-2 (для сведения к образцу требуется некоторое усилие).
Для домашнего задания рекомендую давать аналоги «б» и «в».
Приведу несколько конкретных примеров.
Серия «Коэффициенты»
а) x2 – 10x + 9 = 0; a = 1, b = –10, c = 9;
D = b2 – 4ac = (–10)2 – 4·1·9 = 100 – 36 ≥ 0;
б) –2x2 + 3x + 2 = 0;
в) 0,25x2 – 6x + 36 = 0;
г) x2 – 4 = 0.
Серия «Идея замены»
Серия «Биквадратные»
а) x4 – 5x2 + 4 = 0;
б) 9x4 + 23x2 – 12 = 0;
в) (x + 2)4 – 13(x + 2)2 + 36 = 0;
г) (x – 1)4 – x2 + 2x – 73 = 0.
Список поднавыков можно получить, анализируя тексты учебников и задачников. По каждой теме выделяем набор серий и порядок их следования. Далее каждый преподаватель сам выбирает тот набор серий, которые должны выполнить его ученики. Если класс слабый, преподаватель может детализировать серию, разбив ее на ряд подсерий, уменьшив шаг между задачами и увеличив число повторов. Если класс сильный, то можно объединить некоторые серии, уменьшив число задач и увеличив тем самым сложность перехода от одной к другой.
Таким образом производится подстройка серий под конкретный
класс. Возможна подстройка и под конкретного учащегося. Допустим, учащийся не
смог самостоятельно в биквадратной серии перейти от задачи «б» в задаче «в»; в
таком случае можно немного подсказать учащемуся, дав промежуточную задачу
Серии задач легко использовать для формирования неформализуемых навыков (например, навыков решения логических задач). Поэтому их удобно применять на кружках, формируя те или иные умения по решению нестандартных задач.
Приведем несколько примеров.
Серия «Мудрецы»
Задача 1. В поезде едут два мудреца. Внезапно поезд въезжает в тоннель, и после того, как становится светло, каждый из мудрецов видит, что лицо его коллеги испачкано сажей, влетевшей в окна вагона. Они начинают смеяться друг над другом, однако внезапно самый сообразительный мудрец догадывается, что его лицо тоже испачкано. Как ему это удалось?
Задача 2. В поезде едут три мудреца.
Задача 3. В поезде едут пять мудрецов.
Задача 4. В поезде едут 100 мудрецов.
Комментарий. Первую задачу серии решить довольно легко. Вторую саму по себе уже нет, а вот сведением ко первой — просто. Третья задача напрямую к второй не сводится, надо рассматривать промежуточную задачу про четырех мудрецов. Для того чтобы аккуратно решить последнюю задачу, надо рассмотреть переход от произвольного количества мудрецов к количеству, на единицу большему. В этой серии мы неявно формируем навыки сведения одной задачи к другой, навык использования метода математической индукции.
Задача 1. Имеются две кучки монет. В каждой кучке по две монеты. В одной кучке все монеты фальшивые. Настоящая монета весит 10 грамм, а фальшивая — на один грамм меньше. Как с помощью одного взвешивания на пружинных весах, показывающих вес в граммах, определить кучку с фальшивыми монетами?
Задача 2. Имеется десять кучек монет. В каждой кучке по десять монет. В одной кучке все монеты фальшивые. Настоящая монета весит 10 грамм, а фальшивая — на один грамм меньше. Как с помощью одного взвешивания на пружинных весах, показывающих вес в граммах, определить кучку с фальшивыми монетами?
Задача 3. Имеется десять мешков монет. В некоторых мешках все монеты фальшивые. Настоящая монета весит 10 грамм, а фальшивая — на один грамм меньше. Как с помощью одного взвешивая на пружинных весах, показывающих вес в граммах, определить все мешки с фальшивыми монетами?
Задача 4. Имеется десять мешков монет. В одном мешке все монеты фальшивые. Все фальшивые монеты имеют один вес, а все настоящие — другой, разность этих весов неизвестна. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах, показывающих разность веса на чашках в граммах, определить мешок с фальшивыми монетами?
Комментарий. Критический переход в этой серии — это переход от первой задачи ко второй. Не все решения первой задачи переносятся на вторую. Чтобы найти нужное решение, надо перебрать все решения первой задачи.
Серия «Магические квадраты»
1. Можно ли составить магический квадрат 3 на 3 из девяти первых натуральных чисел?
2. Можно ли составить магический квадрат 6 на 6 из тридцати шести первых простых чисел?
3. Два игрока играют в такую игру: каждый игрок по очереди берет карточки с числами от 1 до 9. Выигрывает тот игрок, у кого на любых трех карточках в сумме получится 15. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?
4. Можно ли составить магический квадрат 5 на 5 по произведению из 25 первых натуральных чисел?
Комментарий. Помимо всего прочего, эта серия служит для разрушения вредной привычки сводить все к последней решенной задаче. Здесь третья задача сводится к первой, а не ко второй, а четвертая аналогична второй, а не третьей. Учащиеся должны быть готовы использовать любую из решенных ранее задач.
По моему мнению, серии задач — это удобный и универсальный способ формирования того или иного навыка. Серии задач не перегружены информацией, при решении ученик не должен помнить внешних, навязанных ему правил. Наоборот, в процессе решения задач он естественно формирует свои правила так, как ему удобно, поэтому и проблем с запоминанием не возникает. Жесткое внешнее управление учебной деятельностью заменяется мягким, через подбор задач, и у учащегося возникает очень полезная иллюзия, что он до всего догадался сам. Серии задач позволяют резко сократить число упражнений, необходимых для формирования и автоматизации того или иного навыка. Если вы самостоятельно научились решать квадратные уравнения, то и через десять лет вы сможете восстановить этот навык. Серии задач годятся как для формирования навыков, так и для их автоматизации и закрепления. Кроме того, их можно использовать и для формирования исследовательских умений и навыков на уроках и на кружках.