Дорогу осилит идущий

В этом учебном году 9-м физико-математическим классам запретили сдавать устный экзамен по геометрии. «Только в виде теста!» Наступление на российское математическое образование продолжается. Но есть и хорошие новости.  21 сентября 2009 года Государственной Думой РФ были приняты федеральные законы «О Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова и Санкт-Петербургском государственном университете», им придается особый статус, позволяющий в числе прочего проводить дополнительные вступительные экзамены.

А как обстоят дела с ЕГЭ по математике? Чуть больше года назад совершенно неожиданно появилась версия, предложенная МИОО. Еще Штирлиц заметил, что запоминаются первая и последняя фразы. Так и здесь. Первая задача (она обидела) — своей примитивностью, а последняя (эта напугала) – названием «олимпиадная». Может быть, употреби авторы нового подхода название «нестандартная» или «повышенной трудности», спокойнее была бы реакция? Кто знает.

Я тоже обеспокоился. От такой резкой перемены правил игры могли пострадать как самые лучшие ученики, а я выпускал исключительно сильный класс, так и слабейшие, обучать которых тому, как правильно расставить нужное число крестиков, я уже умел. За год многое прояснилось, более продуманным стал демонстрационный вариант, появились тренировочные варианты. Замысел разработчиков нового подхода стал мне понятнее, и он мне понравился.

Теперь у меня гуманитарии. И на следующий год сильных выпускников не предвидится — закончилось золотое время. Кто-то остроумно заметил, что гуманитариями называют детей, не научившихся в 5–6-х классах складывать дроби (речь не идет о шпане, которой все больше и больше становится в школах, сталкиваюсь с нею и я, приходя на замены в общеобразовательные классы). И оказалось, что группа В, это как раз для таких учеников. Как это ни печально, но и «в В1» они могут запутаться. Большинству из них математика при поступлении в вузы не потребуется, и раз результаты ЕГЭ не влияют на отметку в аттестате, то разделение экзамена на «выпускную» и «вузовскую» части вполне оправдано. Но, освоившись с задачами первой части, кто-то и из них наверняка захочет пойти дальше, это заложено в природе человека. Что тогда? Дорогу осилит идущий!

Согласитесь, что первые четыре задачи группы С — это средний уровень ушедших в прошлое (неужели навсегда?) вступительных экзаменов, еще лет пять назад он был доступен многим. Правда, за те 7–8 лет экзаменов (еще до ЕГЭ), когда крутились лототроны, и после этого «таинства» в ход шли решебники, учителя могли отвыкнуть от таких задач, эти годы не могли не сказаться на их квалификации. Вины их в этом нет, но надо наверстывать! Ведь ученики будут задавать вопросы!

Даже логарифмическим неравенствам (С3), какими бы сложными они ни казались, реально обучить тех, кто действительно захочет научиться. А, например, для подготовки к геометрическим задачам (С2 и С4) я буду для начала рекомендовать ученикам книги Владимира Алексеевича Смирнова «Готовимся к ЕГЭ. Геометрия. Планиметрия» и «Готовимся к ЕГЭ. Геометрия. Стереометрия», по ним многому можно успеть научиться. 

Теперь об олимпиадных задачах. Их включение в вариант очень встревожило многих учителей (как и меня поначалу), но совершенно не беспокоит выпускников. Они знают свой уровень, им бы В12 и С1 осилить. А вот как решаются некоторые задачи «из С6», им бывает интересно, спрашивают. Если решил – показываю, если нет – так и говорю: «Еще не решил, не получается».

17 октября выпускники подмосковного Троицка решали прошлогоднюю декабрьскую диагностическую работу МИОО. Последняя задача, как меня, так и учеников, заинтересовала:

С18.  При каких натуральных n существует рациональное число x, удовлетворяющее равенству n2 + 2 = (2n – 1)x?

Устав от проверки доброй сотни работ, я уснул на пару часов, а проснувшись, сразу понял идею: n² + 2 делится на 2n – 1. Вот что у меня получилось:

1. Из того, что при всех n: (n² + 2) > (2n – 1), следует, что искомое число   больше единицы: k > m.

2. Для чисел, удовлетворяющих условию задачи, равенство (n² +2)^m =(2n –1)^k определяет натуральное число, единственным образом разлагаемое на простые множители. Это значит, что в разложении на простые множители числа 2n – 1 присутствуют все простые множители числа n² + 2, но в меньших степенях. Это значит, что n² + 2 делится на 2n – 1.

3. Следовательно, n² + 2 = d(2n – 1), где d — натуральное число. Рассмотрим квадратное уравнение относительно n:

n ² – 2dn + (d + 2) = 0.

Его дискриминант, деленный на 4, должен быть квадратом натурального числа, которое обозначим  j (убеждаемся, конечно, что при равном нулю дискриминанте чисел, удовлетворяющих исходному равенству нет): d² – d – 2 = j².

Тогда (d – j)(d + j) = d + 2. Но j = 1 не дает нам натурального d и, следовательно, натурального n. При j = 2 имеем d = 3, откуда находим, n = 5, x = 1,5 (при n = 1 исходное уравнение не имеет корней).

Если j > 2, то левая часть равенства (d – j)(d + j) = d + 2 больше правой, так как само d + j > d + 2,
да еще умножается на (d – j). То есть для j > 2 равенство (d – j)(d + j) = d + 2 невозможно.

Итак, лишь при n = 5 исходное уравнение имеет рациональный корень. Ответ. При n = 5.

Возможно и иное, более простое, завершение этого решения, оно пришло мне в голову через несколько дней. Вернемся в начало пункта 3. Найдем, при каких натуральных значениях n, выражение  является натуральным числом, мы его уже обозначили буквой d. Задачи с подобными формулировками можно встретить, например, в сборнике М.Л. Галицкого и др., там, где объясняется деление уголком. Но здесь есть определенные технические трудности, которые я лет 10 назад научился преодолевать. Умножим числитель на 4. Если d — натуральное число, то 4d — также натуральное. Могут появиться лишние решения, но мы сделаем проверку! Зато теперь удобнее делить уголком! Получаем остаток 9, который должен делиться на 2n – 1, откуда следует, что 2n – 1 — это либо 1, либо 3, либо 9. Находим три значения  n (это 1, 2 и 5), нам подходит только n = 5.

Это решение я показывал ученикам, многие из которых все еще ошибаются, находя по клеточкам производную. Но они все поняли, им было интересно. Посмотрите решение еще одной интересной задачи из диагностической работы МИОО (1.10.2009).

C6.  Найдите все пары натуральных чисел, являющихся решениями уравнения 3n – 2m = 1.

Замечу, что другому варианту было предложено другое уравнение: 2^m – 3ⁿ = 1, оно более известно по олимпиадным сборникам. Внешне уравнения похожи, а решаются по-разному.

Решение.  При m = 1 это равенство выполняется при n = 1, других решений при m = 1 нет.

Предположим, что равенство 3ⁿ – 1 = 2^m
справедливо и при каком-то натуральном числе m > 1. Тогда 2^m делится на 4.
Так как при делении на 4 числа 3ⁿ остатки равны 3, 1, 3, 1, ..., а числа 3ⁿ – 1 равны 2, 0, 2, 0, ..., то 3ⁿ – 1 делится на 4 только при четных n. Обозначим n = 2k,
где k — натуральное число.
Тогда равенство 3ⁿ – 1 = 2^m можно записать так: (3^k – 1)(3^k + 1) = 2^m.
Откуда следует, что каждое из двух последовательных четных чисел: 3^k – 1 и 3^k + 1, является степенью числа 2, то есть 3^k – 1 = 2^p и 3^k + 1 = 2^q,
где p и q — натуральные числа, причем p < q,  p + q = m. Вычитая из второго равенства первое, получим, что 2 = 2^p (2 ^q-p – 1), а это возможно лишь при q = 2 и p = 1 (с увеличением p число 2^p будет больше 2, а наименьшее значение второго множителя 1). Тогда k = 1, n = 2 и m = 3. Других решений нет. Ответ. n = 1, m = 1 и n = 2 и m = 3.

Как видите, и здесь не потребовалось никаких специальных знаний. Красота замысла раскрывается очень простыми средствами. Тем и хороши олимпиадные задачи, а у разработчиков новой концепции ЕГЭ очень хороший вкус в подборе таких задач, который, надеюсь, не изменит им на летнем экзамене.

Но на примере этой задачи мы сталкиваемся с реальной проблемой. Даже две очень похожие задачи неравноценны. Подрывается принцип «экзамен един для всех»? А раньше он разве соблюдался? Да, прошлым летом задачи С4 и С5 для всей страны были «единого» типа, очень простые в объяснении, без малейших вычислительных трудностей. Но вот только благодаря этому, а также современным техническим средствам, они становились известными в более западных регионах еще до начала экзамена. Может Дальнему Востоку начинать ЕГЭ после обеда? Опять неравные условия!

Олимпиадную же задачу, например, уровня первой из разобранных, можно смело давать одну во всех вариантах для 3–4 часовых поясов. Ведь ученики сидят по одному, из них до двух последних задач доберутся нынче немногие, да и аудитории опустеют к тому моменту, сами знаете.

Но как все это будет на самом деле, узнаем только летом. А в Интернете, я надеюсь, будут представлены типы задач только группы В. Они там уже появились, и это очень хорошо. Пусть дети решают. Пусть учатся. Наша задача – помогать им и не мешать разработчикам. Задача перед их командой нелегкая, но они справятся, у них получится.

А напоследок (не забыли о совете Штирлица?) предлагаю читателям замечательную задачу. Какая она («олимпиадная», «нестандартная», или «на сообразительность») – решайте сами:

Докажите, что неравенство C6.  Найдите все пары натуральных чисел, являющихся решениями уравнения . выполняется для всех

Пукас Ю.