Разрезаем квадрат на кружки

Можно ли вырезать из квадрата со стороной 10 см много маленьких кружков так, чтобы расположенные вдоль прямой они образовывали цепочку, длиной больше 1 м?

Решение. Решая эту задачу, ребята обычно сначала стараются вырезать максимально большой круг, то есть круг, вписанный в квадрат со стороной 10 см. Но дальше возникают трудности, — конечно, можно вырезать из образовавшихся «уголков» четыре кружка, только они будут совсем маленькими (обязательно спросите, какой у них диаметр), и дальше вырезать максимально возможные (пусть и быстро уменьшающиеся) кружки. В этот момент иногда произносят такие слова: «так как кружки выреза`ть можно сколь угодно долго, то и сумма их диаметров может стать сколь угодно большой» (в частности, больше 1 м). Оставим в качестве интересного дополнительного упражнения для старшеклассников выяснение того, ограничена или нет сумма диаметров кружков, получающихся описанным выше способом, и перейдем к другому решению, которое доступно и шестикласснику.
Итак, вместо того, чтобы вырезать круг, вписанный в исходный квадрат, мы, сначала разделив стороны исходного квадрата пополам, разделим его на четыре квадрата с вдвое меньшей стороной (5 см) и вырежем из каждого из них по кругу. У нас получится четыре круга, каждый диаметром 5 см, то есть сумма диаметров — 20 см — увеличилась в два раза.
А если делить сторону на три части? 9 квадратиков, каждый со стороной  см, и сумма диаметров вписанных в них кружков равна  
Аналогично, разделив стороны на 10 частей, мы получим 100 кружков диаметром 1 см, то есть сумма диаметров будет равна как раз одному метру.
И вообще, если делить стороны на n частей, то получится n² квадратиков со стороной сумма диаметров вписанных в них кружков равна следовательно, можно сделать сумму длин диаметров сколь угодно большой.
Комментарий. К сожалению, изучая понятие площади, ребята часто формально запоминают, что площадь квадрата со стороной а равна а² и что квадрат со стороной n разрезается на n² маленьких квадратиков. Однако, если попросить их отвечать быстро, не задумываясь, многие говорят, что 100 см² — это 1 м².
Данная задача развивает интуицию, связанную с понятием размерности. Ключевая идея состоит в том, что при разрезании квадрата на мелкие квадратики сторона каждого из них убывает линейно, а количество растет квадратично. Сумма диаметров вписанных в них кружков будет расти линейно. Таким образом, увеличивая n, можно добиться того, что сумма диаметров кружков станет больше любого наперед заданного числа.