Рождение математического понятия

Введение

Учитель. Изучая математику, мы то и дело вводим в рассмотрение различные новые понятия. Откуда они берутся? Как возникли, например, такие понятия, как «прямая», «цилиндр», «число», «множество», «функция» и многие другие?

Человек вглядывается в окружающий мир и начинает подмечать в разном (предметах, явлениях) что-то общее. Проанализировав, стремится описать «это общее», его формализовать, другими словами — построить его математическую модель.

Что свойственно траектории светового луча, направлению человеческого взгляда и натянутой нити? Прямизна! Отсюда и понятие — «прямая».

Что свойственно карандашам в коробке, страницам в книге и рыбам в косяке? Множественность! Отсюда понятие «множество».

За более простыми понятиями приходят более сложные (вспомните схему построения любой теории, в частности геометрии: первичные понятия (ПП) → аксиомы (правила игры с ПП) → новые понятия и т.д.

За каждым новым понятием стоит человек, и подчас не один. Так получилось и с понятием «производная функции»: И. Ньютон и Г. Лейбниц на рубеже XVII–XVIII веков, идя разными путями, практически одновременно ввели понятие производной. По-разному ее описали и назвали, а потом яростно оспаривали друг у друга право первооткрывателя. На описание этого понятия на принятом сегодня языке, языке бесконечно малых, ушло еще два века. Среди тех, кто это сделал, есть и ученый, близкий нам, гимназистам, учитель Софьи Ковалевской — Карл Вейерштрасс. Но это уже — другая история.

Сегодня мы с вами тоже попытаемся стать первооткрывателями.

Задачи и их решение

Учитель. Разберем вначале три задачи из разных областей знания: геометрии, физики и химии.

Задача 1. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в точке x₀.

Учитель. Вы уже сталкивались с понятием касательной в курсе планиметрии. Скажите, как вы понимаете: что такое касательная?

Ученики. Касательная — это прямая, которая имеет одну общую точку с окружностью.

Учитель. Хорошо. А если мы возьмем параболу y = x² (рис. 1), то в ее вершине оси координат имеют с ней только одну общую точку. Какая из них будет касательной к параболе?

Ученики. Конечно ось Оx. А ось Оy пересекает параболу.

Учитель. Значит, по вашему мнению, касательная не может пересекать линию. А как вы думаете: чем будет являться ось Оx для кубической параболы y = x³, касательной или секущей?

Ученики. ??? Вроде бы секущая, но что-то в ней есть и от касательной.

Учитель. Значит, пока у нас нет четкого представления о касательной. Давайте посмотрим, как математики определили понятие касательной.

В точке M₀ проведем касательную к кривой так, как мы ее сейчас понимаем, и секущую M₀M₁ (рис. 2). Будем сдвигать точку M₁ по кривой, приближаясь к точке M₀, тогда секущая будет поворачиваться вокруг точки M₀ и стремиться к касательной. Теперь проведем другую секущую — M₀M₂. Приближая точку M₂ по кривой к точке M₀ с другой стороны, мы увидим, что и эта секущая, поворачиваясь вокруг точки M₀, будет стремиться занять положение касательной. Одна секущая слева, другая справа... Не напоминает ли это вам что-нибудь знакомое?

Ученики. Предел!

Учитель. Верно! Равенство левого и правого пределов говорит о том, что предел в точке существует.

И математики, вводя определение касательной, руководствовались тем же предельным переходом.

Какое бы определение вы теперь дали касательной?

(Ученики вместе с учителем формулируют определение касательной.)

Определение. Касательной к непрерывной кривой в ее точке M₀ (точка касания) называется предельное положение секущей M₀M, проходящей через точку M₀, когда точка M неограниченно приближается по кривой к точке M₀.

Учитель. Ну вот мы попутно ввели еще два новых понятия: «касательная» и «точка касания»! А вы не забыли, для чего мы это делали?

Ученики. Мы хотим решить задачу о касательной.

Учитель. Точнее, об угловом коэффициенте касательной! А что это за коэффициент?

Ученики. Так ведь касательная — это  прямая, а у прямой, если она не перпендикулярна к оси Оx, есть угловой коэффициент.

Учитель. Верно. Но что же это такое?

Ученики. Угловой коэффициент — это тангенс угла наклона прямой к оси Оx.

Учитель. Правильно. Вот теперь мы готовы решать нашу задачу.

(Далее учитель записывает решение первой задачи, оставляя место для записи решений второй и третьей задач. Причем делает это так, чтобы одни и те же шаги алгоритма расположились рядом — на одних горизонталях.)

Итак, нам дан график функции y = f(x) и точка M₀ с абсциссой x₀. Проведем через эту точку касательную TM₀ и секущую M₁M₀. Углы наклона к оси Ox касательной обозначим α, а секущей — φ и выполним дополнительные построения (рис. 3).

Переходя от точки M₀ к точке M₁, мы меняем абсциссу точки графика функции с x₀ на x₁ и наоборот. Математики говорят, что мы даем значению x₀ приращение ∆x и получаем x₁ = x₀ + ∆x. Соответствующие точкам x₀ и x₁ значения функции будут y₀ = f(x₀) и y₁ = f(x₁). Принято говорить так: когда абсциссе x₀ мы даем приращение ∆x = x₁ – x₀, то функция получает приращение ∆y = y₁ – y_0. Угловой коэффициент секущей находится из треугольника M₀M₁K:

А теперь будем сдвигать по кривой точку M₁ в сторону точки M₀ . Видим, что:

Таким образом,

Задача решена.

Задача 2. Зная закон движения точки по прямой, найти скорость движущейся точки для любого момента времени.

Пусть закон движения задан формулой s = s(t), где s — расстояние, пройденное точкой, отсчитываемое от некоторого ее начального положения — точки О, а t — время движения. Найдем скорость точки в момент времени t₀, то есть мгновенную скорость в этот момент времени.

Пусть к моменту времени t₀ точка находилась на расстоянии s₀ от точки О — начала движения (рис. 4), а в некоторый следующий момент времени t₁ оказалась на расстоянии s₁. Какое время точка находилась в пути?

Ученики. t₁ – t₀ = ∆ t.

Учитель. Какое расстояние она прошла за это время?

Ученики. s₁ – s₀ = ∆s.

Учитель. А с какой средней скоростью она двигалась на отрезке M₀M₁?

Ученики.

Учитель. Подчеркнем, что движение точки не обязательно равномерное (то есть ее скорость меняется от точки к точке). Очевидно, что средняя скорость точки на наблюдаемом промежутке отличается от ее скорости в момент времени t₀. Но если мы будем уменьшать промежуток наблюдения, что будет происходить?

Ученики. Значения средней скорости будут все меньше отличаться от истинной скорости движения в момент t₀!

Учитель. А тогда как можно связать среднюю скорость движения точки на промежутке M₀M₁ с мгновенной скоростью в точке M₀?

Ученики.

Учитель. Таким образом, мы решили поставленную задачу. Посмотрите на решение этих двух задач: вы ничего не заметили?

Ученики. Их решение свелось к вычислению одинаковых пределов.

Учитель. Верно! И что удивительно: быстрота протекания физических, химических, биологических и других процессов также описывается при помощи аналогичных пределов.

Задача 3. Пусть масса вещества, образующегося в результате химической реакции (или в процессе размножения), изменяется по закону m = m(t) и нужно определить быстроту (скорость) его образования (размножения) в момент времени t₀.

Как бы вы решили такую задачу?

Ученики:

— Проследили бы за ходом процесса некоторое время њt.

— Определили бы изменение массы за это время:

њm = m(t₀ + ∆ t) – m(t₀).

— Нашли бы среднюю скорость образования вещества

а потом мгновенную:

Введение нового понятия

Учитель. Надеюсь, вы поняли ход наших рассуждений. А теперь давайте абстрагируемся от конкретности наших задач и запишем то общее, что мы увидели.

1. Имеется функция y = f(x) и некоторая точка x.
Функция определена в этой точке и некоторой ее окрестности.

2. Даем аргументу x приращение ∆x и находим соответствующее приращение функции: ∆y = f(x + ∆x) – f(x).

3. Находим отношение

4. Вычисляем предел

Учитель. Поскольку полученный предел — часто повторяющийся объект (!), то он представляет большой интерес для математиков. А это значит, что теперь надо:

а) назвать его — присвоить термин;

б) ввести для него краткое обозначение;

в) изучить его свойства;

г) научиться его вычислять;

д) научиться применять к решению задач (иначе зачем он нам нужен?!).

Определение. Предел отношения приращения функции в данной точке к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, называется производной функции в данной точке.

Встречаются различные обозначения производной:

Мы чаще будем использовать первые два обозначения. Теперь можно записать определение производной в математических символах:

В каждой конкретной точке производная — число. Проводя рассуждения для произвольной точки x, мы получаем выражение, зависящее от x (новую функцию!). Операцию нахождения производной называют дифференцированием. Это новая операция, которую можно производить над функциями, знак «R» — символ операции, такой же как «+» для сложения или «:» для деления.

Первичное закрепление

(Учитель записывает на доске решения примеров, ученики говорят ему, что нужно писать.)

Пример 1. Продифференцировать функцию

y = x² – 3x + 4.

Решение.

1) f(x) = x² – 3x + 4,
f (x + ∆x) = (x + ∆x)² – 3(x + ∆x) + 4;

2) f(x + ∆x) – f(x) = (x + ∆x)² – 3(x + ∆x) + 4 – (x² – 3x + 4) =
= x ² + 2x∆x + (∆x)² – 3x – 3∆x + 4 – x² + 3x – 4 = 2x∆x + (∆x)² – 3∆x;

3) 

4) 

Таким образом,

y ' = (x² – 3x + 4)' = 2x – 3.

Пример 2. Найти f '(3), если

Решение.

1)

2) 

3)

4)  

Итак,

Обратим внимание:

— что найти производную функции — это значит ее продифференцировать, а продифференцировать функцию — это значит найти ее производную;

— в результате операции дифференцирования функции получается новая функция;

— дифференцируемая функция на некотором промежутке — это функция, имеющая производную в каждой точке этого промежутка.

Так вычисляется производная. Какие есть вопросы?

Ученики. И что, производная всегда находится так сложно?

Учитель. Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно поближе познакомиться с производной — этим новым математическим объектом, чем мы и займемся на следующих уроках. А сейчас давайте вернемся к нашим задачам.

Производная есть единая математическая модель различных задач, которая допускает различные толкования (интерпретации)!

Так, с точки зрения физики (задача 2): s'(t) = v_мгн(t) — производная от пути по времени — это мгновенная скорость прямолинейного движения в момент времени t (механический смысл производной).

С точки зрения геометрии (задача 1): f'(x) =k_кас(x) — производная функции — это угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке x (геометрический смысл производной).

Обратим внимание, что производную можно истолковать и как быстроту изменения функции (значений у при изменении значений х)! То есть с функциональной точки зрения производная — мгновенная скорость изменения значений функции.

Последняя интерпретация говорит нам о том, что при помощи производной мы в дальнейшем сможем исследовать функцию на монотонность и, возможно, определять и другие ее свойства. И то, что это будет так, мы убедимся в дальнейшем.

Итог

Учитель. Вот мы и прошли путь первооткрывателей:

— заметили «схожесть» и общность различных задач;

— формализовали эту «общность», то есть построили математическую модель;

— ввели новое понятие и обозначение для него;

— дали истолкование этой модели на разных языках.

Чем мы не Лейбницы и не Ньютоны?! Только есть одно маленькое отличие нас от них: я положил перед вами эти задачи рядом и нацелил на поиск общего в них, а ученые сами эти задачи увидели, положили их рядом и нашли их единообразное решение! Мимо этих задач проходили многие и, возможно, даже их решали, но не увидели того, что увидели Ньютон и Лейбниц. Как здесь не сказать, что смотрят все, а видят немногие! В этом и проявляется гениальность первооткрывателей. И я приглашаю вас вглядываться в то, что вы изучаете, в то, что вас окружает. На этом пути вас ждут удивительные открытия. Пусть и не столь значимые открытия! А это всегда — торжество человеческого духа!

Козлов С.