Куда пропали три точки?

Из опыта изучения темы «Сумма векторов»

Если ученики не участвуют в составлении определения, а получают его в готовом виде, оно как следует не усваивается и вскоре забывается и не может быть ими использовано в дальнейшем при решении задач и доказательстве теорем. Нелегко вызвать у учащихся интерес, когда они только слушают. Когда же они сами открывают новый материал, он усваивается глубже, урок проходит живо и интересно.

Ниже показывается один из способов привлечь учащихся к составлению определения «суммы векторов». Сначала они рассматривают перемещения материальной точки — два последовательных и суммарное. Потом, когда учащиеся вовлекаются в поиск «пропавших» точек, им приходится рассматривать взаимное расположение векторов-слагаемых и вектора-суммы. В результате они получают представление о сумме векторов до того, как услышат определение. Определение не «сваливается на них с потолка», а возникает из рассмотрения суммы двух перемещений.

Работа написана в форме диалога. В ходе урока учитель предлагает наводящие вопросы. Если у учащихся правильный ответ сразу не получается, следует более «прозрачный» наводящий вопрос. Рассмотрение неудачных ответов учащихся заняло бы много места. Поэтому, для краткости приведены лишь верные ответы учащихся.

В случае необходимости часть задач и контрпримеры можно рассмотреть на следующем уроке.

Учитель. Тема урока «Сложение векторов». Вспомним, какой вектор называется нулевым?

Учащийся. Вектор, у которого начало и конец совпадают.

— А что такое модуль вектора

— Это длина отрезка АВ.

— Рассмотрим сначала вот такое равенство: 3 + 5 = 8. Как называется эта операция? Как называются числа, стоящие в левой части?

— Операция называется сложение. В левой части стоят слагаемые, а в правой — их сумма.

— Правильно. Об этом равенстве можно сказать еще и так: к трем прибавили пять и получили восемь. Здесь складывают числа. Рассмотрим другой случай, когда складывают силы. Возможно, вы видели, как длинный состав тянут два тепловоза. Как вы думаете, почему к этому составу прицепили не один, а два тепловоза?

— Наверно, один не справился, силы не хватило.

— Одному не хватило. А когда к составу прицепят два тепловоза? Тогда...

— Тогда сила тяги увеличится.

— Верно. К силе одного тепловоза прибавилась сила другого. Это взаимодействие двух сил можно изобразить на рисунке:

и записать так:

Что мы видим в левой части равенства? Два слагаемых, два вектора. А в правой части? В правой части стоит их сумма, вектор Он имеет то же направление, а модуль в два раза больше.

— Я вспомнил еще пример, когда силы складываются — «Бабка за дедку, дедка за репку».

— Очень хороший, просто отличный пример. Сразу же хочу предупредить: величина вектора-суммы не всегда равна сумме величин векторов-слагаемых. В этих двух примерах силы и изображающие их векторы направлены в одну сторону. Но вспомним, как «однажды Лебедь, Рак да Щука везти с поклажей воз взялись». Вы знаете, сумма их усилий оказалась равной нулю.

Сумму векторов можно изучать на многих примерах. Но особенно интересно и поучительно рассмотреть перемещение материальной точки. Рассмотрим перемещение точки А (рис. 2). Сначала она переместилась в точку В. Это перемещение показано вектором Затем из нового положения она переместилась в точку С, это перемещение изображено вектором Можно сказать, точка А «сделала» два шага. Куда же переместилась точка А в результате?

— Точка А переместилась в точку С. Это перемещение точки А изображает вектор

— Правильно. Вектор называют суммой векторов и записывают этот факт так же, как и сумму чисел:

В этом случае модуль вектора-суммы тоже не равен сумме модулей векторов-слагаемых. Действительно, модули векторов  — это длины отрезков АВ, ВС, АС. Рассмотрим треугольник АВС. Сторона АС, как известно, меньше суммы двух других сторон, то есть

— Но почему же тогда говорят о сумме?

— Прекрасный вопрос. Во-первых, так говорят физики, инженеры: «сумма сил», «сумма скоростей». Они еще называют сумму сил «равнодействующей». (Равнодействующей нескольких сил, одновременно приложенных к телу, называется сила, производящая на тело такое же действие, как все эти силы вместе.) И в нашем примере: перемещения перенесли точку А в точку С, а их сумма — перемещение   — тоже переносит точку А в точку С.

Во-вторых, есть еще одно основание, чтобы называть эту операцию сложением: при сложении векторов тоже выполняются переместительный и сочетательный законы. Запишите выражение

583 + 739 + 17.

Посмотрите на слагаемые и скажите, как вы будете находить эту сумму?

— Сначала переставим числа 17 и 739. Используем переместительное свойство сложения.

— Прекрасно. Давайте убедимся, что и для сложения векторов справедливо равенство Вернемся к рисунку 2 и проведем через точку А прямую, параллельную ВС, а через точку С прямую, параллельную АВ (рис. 3). Получим точку D и параллелограмм АВСD. Рассмотрим векторы
Докажем, что

Ранее мы получили вектор как сумму векторов

Но перемещение точки А в точку С можно получить и другим способом:

Сравним векторы

— Они равны. И векторы тоже равны.

— Значит, в равенстве (2) слагаемые можно заменить равными векторами:

Что же следует из равенств (1) и (3)?

— Что равны их правые части:

Что и требовалось доказать.

— Сделаем рисунок, аналогичный рисунку 2, но с другими обозначениями .

Тут возникает интересный вопрос. Даже загадка. У всякого вектора есть начало и конец. Здесь три ненулевых вектора. Три начала и три конца. Значит, должно быть шесть точек, но на рисунке их только три (они выделены). Где же остальные три точки? Не могли же они пропасть. Посмотрим на рисунок 4. Где находится начало второго вектора?

— Начало второго вектора находится в конце первого. Значит, эти две точки совместились.

— А теперь посмотрим на вектор-сумму.

— Его начало совпадает с началом первого вектора, а его конец совпадает с концом второго. Поэтому на рисунке только три точки. Разгадали загадку.

— Сейчас я повторю то, что мы нашли: начало второго вектора находится в конце первого, начало вектора-суммы совпадает с началом первого вектора, а его конец совпадает с концом второго. Итак, запишем:

«Чтобы сложить два вектора, надо:

1) отложить от какой-нибудь точки А вектор равный

2) отложить от точки В вектор равный (отложить второй вектор от конца первого);

3) построить вектор начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго».

Этот вектор называется суммой двух данных векторов.

Мы записали определение суммы двух векторов, его еще называют «правилом треугольника», чтобы отличать от другого способа построения суммы — по «правилу параллелограмма».

Теперь мы можем решить задачу. Пусть даны два произвольных вектора, (рис. 5). Требуется найти их сумму.

Решение. Построим в тетради два произвольных вектора Что дальше?

— Возьмем произвольную точку А и отложим от нее вектор равный вектору от точки В — вектор равный Теперь построим вектор-сумму — Это вектор имеющий начало в начале первого вектора и конец в конце второго (рис. 6).

— Отлично. Нередко бывает, что две силы приложены к телу в одной точке. Пусть векторы и (см. рис. 3) изображают эти силы. Надо найти их равнодействующую. Скажите, какой вектор изображает сумму этих сил? Неясно? Посмотрите на вектор Он равен сумме но

— Значит,

— Верно. Таким образом, мы получили еще один способ сложения векторов, когда данные неколлинеарные векторы отложены от одной точки — «правило параллелограмма»: на этих векторах строится параллелограмм ABCD и диагональ AC, выходящая из той же точки (см. рис. 3). Вектор является суммой векторов Итак, диагональ параллелограмма можно рассматривать как сумму двух неколлинеарных векторов выходящих из одной точки. Вектор является изображением равнодействующей двух сил и Для иллюстрации рассмотрим пример из физики. На рисунке 7 видно, что на шарик действуют две силы — сила упругости нити и сила тяжести, а их равнодействующая направлена к положению равновесия. Она изображена диагональю параллелограмма, построенного на векторах-слагаемых.

— А теперь посмотрим на рисунок 8:

Тут нарисованы три вектора, Нарисуйте в тетради эти три вектора и напишите, какой из них является суммой двух других?

— Это вектор Здесь  — первый вектор, а   — второй. Начало вектора совпадает с концом вектора Начало вектора-суммы (вектор ) совпадает с началом вектора а конец вектора совпадает с концом вектора

— Правильно. В следующей задаче (рис. 9) тоже даны три вектора,

Как вы думаете, является ли вектор суммой векторов

– Нет. Хотя начало вектора совпадает с началом вектора и конец вектора совпадает с концом вектора но вектор не отложен от конца вектора И поэтому вектор не является суммой векторов

— Определение суммы содержит три условия. Какое из них здесь не выполнено?

— Второе.

— Нарисуйте эти векторы в тетради и постройте их сумму.

— Вот на рисунке 10 вектор построен правильно.

— Давайте вспомним, как появилось определение суммы векторов: мы посмотрели, как складываются два перемещения материальной точки, а потом написали такое же правило для сложения двух векторов. В дальнейшем, если кто-нибудь забудет определение, пусть вспомнит, как в два этапа, «в два шага» перемещалась точка А и как были расположены второе слагаемое и вектор-сумма.

Но представим себе, что кто-то, ну, например Юра, все-таки забыл определение суммы и сформулировал его так:

«Суммой двух векторов называется вектор, имеющий свое начало в начале первого вектора, а конец в конце второго».

Он дал «определение» близко к нашему, но «немного» сократил его. Самое простое  — напомнить Юре, какое мы приняли определение, но ведь он снова может забыть. Будет лучше, если он сам увидит, к чему приводит сделанное им изменение. Я покажу Юре контрпример — такую «сумму» двух векторов, которая отвечает его определению, но на самом деле суммой не является. Посмотрите, на рисунке 11 конец второго вектора и начало первого совмещены:

Скажите, чему равна сумма этих векторов, если принять не наше, а Юрино определение? («Сумма — это вектор, имеющий начало в начале первого вектора, а конец в конце второго».)

— Она равна нулевому вектору. Выходит, если совместить конец второго вектора с началом первого, то по этому определению сумма двух любых (любых!) векторов будет равна нулевому вектору. Вот это определение!

— Вижу, пример понравился. Приведу еще один. Посмотрим на рисунок 12:

И прочитаем снова Юрино определение. «Суммой двух векторов называется вектор, имеющий свое начало в начале первого вектора, а конец в конце второго». Скажите, какой вектор на рисунке 12 имеет начало в начале первого вектора, а конец в конце второго?

— Это вектор Он имеет свое начало в начале первого вектора, а его конец, конечно, в конце второго. Значит, вектор по Юриному определению является «суммой» векторов и неважно, каким будет первый вектор по Юриному определению, «суммой» двух векторов всегда будет второй вектор. Надо же так, несколько слов убрали, и всё переменилось.

— Вот что произойдет, если опустить в определении второе условие. Думаю, теперь все убедились, что второе условие необходимо. Скажите, что мы сегодня изучали?

— Сумму векторов.

— А что было интересно?

— Маятник: видно было, как силы складываются. Загадка, которую не сразу разгадали, и убедительные контрпримеры.

Финкельштейн В.