Аналогия – инструмент поиска и систематизации знаний

Аналогия, по-видимому, имеет долю во всех открытиях, но в некоторых она имеет львиную долю.

Дьёрдь Пойа

Надо учить рассуждать

В начале XX века о. Павел Флоренский писал, что основная задача обучающего заключается в том, чтобы пробудить мысль, интерес и, таким образом, дать возможность человеку начать самому работать, мыслить и творчески участвовать в обсуждении тех вопросов, которые поднимает учитель.

Почти на полторы тысячи лет раньше Сократ утверждал: задача говорящего состоит не в том, чтобы просто давать знания, а в том, чтобы создать условия для возникновения знаний в головах учеников. Д.К. Ушинский ставит перед учителем задачу «воспитания ума», а Гераклит предупреждает: «Многознание уму не научает».

Что же все-таки «уму научает»? Каким образом помочь нашим выпускникам занять достойное место во взрослой жизни, максимально реализовать свои способности? Ситуация напоминает известную притчу о двух вариантах помощи голодному человеку: а) подарить 10 кг рыбы или б) подарить удочку. Ответ напрашивается сам собой: вариант «б». В таком случае главная задача учителя — научить ребят пользоваться умом как великолепным инструментом познания, помочь овладеть простейшими приемами открытия нового, наконец, ознакомить с азами методики умственной деятельности.

В некотором смысле необходимо создать в сознании учащихся подобие инфраструктуры (без которой невозможно никакое строительство) или методический каркас, пользуясь которым можно решать задачи не вслепую, а вооружившись ассоциациями, правдоподобными рассуждениями и отработанными способами их проверки.

По статистике, в среднем около 10% школьников будут во взрослой жизни пользоваться математикой более или менее профессионально. Но и для остальных 90% наши уроки не должны пропасть даром. Именно к этой категории учащихся может относиться известная мысль М.В. Ломоносова о математике, которую «уже для того изучать нужно, что она ум в порядок приводит». Забудут эти ребята «тучи» формул и «горы» теорем, но неординарные повороты мысли, неожиданные образы, сопричастность к потрясающим открытиям на уроке не исчезнут без следа.

Таким образом, учителю необходимо вооружить учеников методами и инструментами исследовательской работы, без которых не обойтись в любой области деятельности. Простейшим из таких инструментов является метод аналогии. Он настолько естественен, что применяется человеком уже в младенческом возрасте («хватай-держись» и «попробуй на съедобность»). Да и взрослые люди рассуждают и действуют по аналогии, чаще всего не вполне сознавая это. Не удивительно, что этот метод в тесном взаимодействии с другими мыслительными операциями стал ведущим инструментом в научной деятельности.

Мы часто забываем, что для учеников важнее всего интерес, он и является главным стимулом в обучении. Если интересно, то ребенок учится незаметно, как будто играючи. Работа с аналогиями дает нам лишний шанс заинтересовать ребят, удивить, озадачить, вызвать восторг или несогласие.

Главное — инициировать общую дискуссию в классе. Тогда и доказательство, и опровержение пойдут в плюс. В любом случае нам нужно исключить тихое безразличие. Только тогда возможно серьезное, деловое обсуждение проблемы. Можно даже надеяться, что кто-нибудь из ребят предложит на следующем уроке свою сенсационную идею. И заработает «вечный двигатель» интереса и увлеченности!

Аналогия из «сладкой жизни»

Как известно, учащиеся 10-х классов воспринимают тему «Сложная функция» с трудом. Здесь можно воспользоваться следующим (или похожим) приемом: сравнить сложную функцию с технологической линией изготовления драже на кондитерской фабрике.

Когда-то нам с ребятами довелось побывать на кондитерской фабрике и познакомиться с процессом изготовления «изюма в шоколаде». Линия состояла из трех агрегатов, каждый из которых выполнял определенную операцию: увлажнить, обвалять в шоколадном порошке, упаковать. Прозрачные стенки машин позволяли воочию наблюдать процесс. И тут один пытливый восьмиклассник задал вопрос: «А бывает так, что вместо изюминки в первую машину попадает какой-нибудь посторонний предмет?» Мастер честно ответил: «Бывает, что вместо изюма шоколадом покрывается капля смазки, а то и гайка».

Вот этот давний эпизод и припомнился мне однажды на уроке. Машина выполняет определенную операцию вне зависимости от предмета-аргумента и с одинаковым упорством увлажняет и покрывает шоколадом изюминку, орешек или жучка. Функция и машина «работают» аналогично: функция выполняет определенную операцию, но она будет возводить в квадрат или логарифмировать аргумент только допустимого формата.

Сложная функция похожа на технологическую линию, составленную из нескольких агрегатов, вступающих в действие в определенном порядке (рис. 1).

В каждую следующую машину попадает предмет, уже обработанный на предыдущих агрегатах. Конечный результат будет зависеть не только от каждой функции, но и от последовательности функций.

Пример-аналогия из «сладкой жизни» сыграл свою положительную роль. Тем более что в качестве упражнения ребятам пришлось анализировать последствия перестановки машин в технологической линии. Уже в 7-м классе, когда впервые вводится понятие «функции», я предлагаю образ функции-машины. Так эта аналогия-помощница сопровождает ребят до 11-го класса.

Аналогия сложения и умножения

Рассмотрим две аналогичные арифметические системы и попробуем извлечь некоторые уроки для себя и для наших учеников.

Сложение и умножение аналогичны по трем линиям:

• переместительное свойство,
• сочетательное свойство,
• наличие нейтрального элемента.

Схожесть этих систем дети могут заметить и сами. Учителю нужно акцентировать внимание учеников на этой аналогии, учитывая возрастные особенности, и находить время для того, чтобы возвращаться иногда к этому вопросу. Со временем эта незаметная работа может принести обильные плоды.

При изучении свойств степеней (рис. 2) полезно обратить внимание учащихся на такую закономерность: сложение показателей заменяет умножение степеней с одинаковыми основаниями, умножение показателей заменяет возведение степени в степень. Аналогичную закономерность замечаем в ходе деления степеней и извлечения корня из степени.

В записи степени в нижнем регистре пишем основание, а в верхнем — показатель. Статус операции умножения естественно считать более высоким, чем статус операции сложения. В таком случае в результате применения свойств степени переход в верхний регистр записи сопровождается понижением (как бы в компенсацию) статуса операции.

Таким образом, налицо иерархическая цепочка (лестница) операций: сложение – умножение – возведение в степень. Обратная цепочка (вычитание – деление – извлечение корня n-й степени) может быть полностью рассмотрена в ходе изучения квадратных корней.

Завершение этой линии наступает при знакомстве со свойствами логарифмов. Отработав определение логарифма как показателя степени, можно предложить ученикам спрогнозировать свойства логарифмов по аналогии со свойствами степеней. Для определенности отметим, что операции с логарифмами нужно отнести к верхнему регистру, а операции внутри аргумента – к нижнему. Если прогнозирование по каким-либо причинам не состоится, то приведенные аналогии все равно должны сыграть положительную роль на уроках повторения и систематизации знаний.

«Полезные» и ложные аналогии

Признаки делимости дают возможность не только успешно воспользоваться «полезными» аналогиями, но и столкнуться с аналогиями ложными. Ложная аналогия возникает в сознании учащихся, чаще всего в том случае, когда не учитывается какое-нибудь важное условие ее применения.

Так, ученик может решить, по аналогии с признаком делимости на 4, что 124 кратно 8, а 132 кратно 16 (ведь двузначное число 24 делится на 8, а 32 делится на 16). Происхождение таких ошибок каждому учителю известно. А вот предотвращать их приходится по-разному. В сильном классе есть возможность проводить четкое обоснование признаков с помощью свойств делимости («если каждое слагаемое кратно n, то и сумма делится на n» и аналогичное свойство для разности). Тогда становится ясно: так как 1000 = 2³·5³, а 8 = 2³; значит, достаточно проверить кратность восьми остатка от деления данного числа на 1000. То есть проверять надо число, составленное из трех последних цифр, а не из двух! В работе со слабыми детьми, по всей вероятности, придется ограничиться требованием использовать только отработанные признаки, а в случае возникновения новых гипотез обращаться к учителю.

Учащиеся часто пользуются теоремой «Если N кратно b и N кратно с, то N кратно bc», забывая, что эти множители должны быть взаимно простыми числами. Так возникают ошибочные утверждения типа «18 кратно 12, так как 18 делится на 6 и 18 делится на 2, а 6·2 = 12». Если нет технической возможности четко отработать условие применения этой теоремы, то, может быть, лучше ее и не вводить.

Сокращение дробей также часто производится учащимися с ошибками. Причина здесь другая. Дети создают аналогию по формальным признакам и путают понятия. В результате возникают такого рода ошибки: Здесь фактически сокращали не числитель и знаменатель данной дроби, а фантомные дроби и а потом формально сложили по отдельности полученные числители и знаменатели.

Существуют и другие варианты ошибок, связанные чаще всего с путаницей: так как сокращение и взаимное уничтожение противоположных слагаемых оформляется обычно с помощью вычеркивания, то в сознании получается подмена (ложная аналогия). Преобразование уравнения по ложной аналогии дает такую ошибку:

Здесь нужно заметить, что психологически неверно демонстрировать ошибки, пока их не сделали учащиеся (так сказать, в превентивном порядке). У некоторых учеников происходит аберрация восприятия. В результате ошибочная запись на доске (хотя и исправленная) может воспроизводиться позже как нормативная. Если все-таки учитель считает важным исключить возникновение ошибочных рассуждений, то можно предложить два варианта действий:

1) предложить из трех вариантов сокращения дроби выбрать правильный, обосновав свой выбор;

2) проводя сокращение дроби на доске «нечаянно» сделать ошибку. Кое-кто из ребят заметит это, что даст повод обсудить вопрос подробно. Если ученики «прозевают» оплошность, то учитель сам должен спохватиться, признаться в ошибке и попросить учеников найти и объяснить, что сделано неверно. Применение этого приема требует в некоторой степени мужества от учителя и во многом зависит от степени взаимопонимания между педагогом и учениками.

Тема «Проценты», как правило, приносит свои неприятности. Известно, что поставив перед учениками вопрос: «Во сколько раз подорожает товар, если его цена увеличится на 200%?» — мы, скорее всего, получим ответ: «В 2 раза!» Прибавление удвоенной цены по ложной аналогии превращается в простое удвоение. Бороться с этой напастью не так уж и сложно. Во-первых, почаще давать устные задания, аналогичные приведенному выше. Во-вторых, найти время для подробного разбора двух типов задач:

• на последовательное удорожание и удешевление товара на одинаковое количество процентов;
• на «усыхание» разных фруктов и ягод.

Например: «За время транспортировки арбузов в Москву по Волге в баржах их влажность снижается с 99% до 98%. Сколько будут весить арбузы к моменту прибытия в Москву, если при погрузке их масса составляла 100 тонн». Полезно сначала выслушать прогнозы ребят, а потом уже приступить к решению. Учащиеся настолько бывают поражены ответом (50 т), что одно упоминание об этой задаче сразу вызывает в сознании ребят правильный алгоритм решения задач на проценты.

Метод аналогии

Мы так часто и непринужденно употребляем в устной и письменной речи слово «аналогия», что разъяснение этого термина может показаться излишним.

Чаще всего под аналогией мы понимаем более или менее определенное сходство явлений, процессов или систем.

Известный специалист по методике преподавания математики и подготовке учителей Д. Пойа пишет, что «существенное различие между аналогией и другими видами сходства заключается в намерениях думающего. Сходные предметы согласуются между собой в каком-то отношении. Если вы намереваетесь свести это отношение к определенным понятиям, то вы рассматриваете эти сходные предметы как аналогичные. Если вам удается добраться до ясных понятий, то вы выяснили аналогию». Выяснение аналогии не является самоцелью.

Основная идея метода аналогии заключается в том, что «сходство двух систем в некоторых свойствах предполагает сходство в других свойствах». Применение его дает возможность исследователям экономить силы и время, пользуясь переносом знаний из одной области в другую, еще не изученную. При этом надо иметь в виду 2 момента:

1) схожесть по некоторым свойствам и качествам надо заметить, для этого должны быть развиты навыки сравнения: нахождение сходств и различий;

2) перенос знаний об элементах изученной системы на элементы новой системы возможен лишь после обязательной дополнительной проверки.

Снова приведем слова Д. Пойа: «Аналогия также является обильным источником новых фактов. В простейших случаях можно почти копировать решение близкой, родственной задачи». Именно в подобных случаях чаще всего и появляется сакраментальное слово «аналогично» в тетрадях наших учеников. «В более трудных случаях хрупкая аналогия может не принести сразу реальной помощи, однако она может указать направление, в котором следует продолжать работу».

Метод аналогии является мощным инструментом в научном и образовательном процессе, поэтому стоит потратить некоторое время на формирование у наших учеников соответствующих умений и навыков (рис. 3).

Необходимо только соблюдать известные принципы:

• постепенность,
• доступность,
• непрерывность,
• системность.

Предвестником возможного открытия часто является некое смутное волнение, которое охватывает нас в тот момент, когда мы что-то подметили, осознали какую-то связь. В этом свете особое значение имеет умение наблюдать и накапливать опыт наблюдений. Важно научить ребят сравнивать. Психологически учащимся проще находить различия. Несколько позже развивается умение замечать и прояснять сходство. Постоянно необходимо формировать «вкус» к систематизации (вначале по одному, а затем и по нескольким признакам). Работа эта кропотливая, к тому же вести ее нужно непрерывно.

Владение методом аналогии позволяет ощутить разнообразие и целостность предмета, полюбить его. Цепочки ассоциаций и аналогий постепенно выстраиваются в опорную сеть, образуют своеобразную систему координат изучаемого предмета, помогающую хорошо ориентироваться и свободно перемещаться мыслью между ее узлами. Значит, возникает возможность не просто следовать за чьей-то мыслью, а формулировать свои гипотезы и проверять их. Появляется мощный внутренний стимул к развитию.

Пример с прогрессиями

При изучении темы «Прогрессии» метод аналогии позволяет как прогнозировать формулы геометрической прогрессии, так и систематизировать полученные знания. Хорошо работает уже упомянутая иерархическая цепочка операций (рис. 4).

Подводя итоги изучения арифметической прогрессии, можно предложить учащимся проблему для обсуждения: что если в определении заменить сложение умножением, оставив остальной текст без изменения? Заменяя операции согласно иерархической цепочке, ребята сами формируют «пакет для тестирования» предполагаемой аналогичной системы.

Остается доказать или опровергнуть прогнозы. При этом предоставляется повод убедиться в том, что аналогия редко бывает всеобъемлющей. Если найдется время, можно не только констатировать ошибку в моделировании формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии (прогноз предлагает извлечь квадратный корень из n-й степени произведения 1-го и n-го членов), но и обсудить возможные причины неудачного прогноза. Во всяком случае, ошибка с последней формулой принесет несомненную пользу, напомнив учащимся, что применение метода аналогии требует внимания и осторожности.

Из планиметрии в стереометрию

Рассмотрим понятия: длина отрезка, площадь области и объем тела. Все они постулируются аналогичными наборами основных свойств (аксиом). Таким образом, работа с этими понятиями облегчается: каждое следующее звено легко моделируется по аналогии с предыдущим; любое из них вызывает в памяти остальные. Вместе эти звенья составляют важнейшую вертикаль, пронизывающую всю конструкцию школьной геометрии.

Плоскость в пространстве аналогична прямой на плоскости. Часть плоскости может быть ограничена минимум тремя прямыми (треугольник). Трехмерной аналогией треугольника является тетраэдр (для ограничения части пространства требуется не менее четырех плоскостей). Если вернуться к прямой, то отрезок на ней ограничивается двумя точками. Учащимся нетрудно заметить, что количество ограничивающих элементов всегда на единицу больше размерности соответствующего геометрического пространства.

Итак, цепочка основных неопределяемых фигур геометрии точка – прямая – плоскость связана аналогией с метрической цепочкой: длина – площадь – объем. Причем в последней цепочке привычные квадрат и куб заменены по принципу минимизации треугольником и тетраэдром.

Впрочем, геометрический материал дает возможность проводить аналогии, руководствуясь разнообразными принципами. Так, в основу классического варианта метрической цепочки отрезок – квадрат – куб может быть положен параллельный перенос на вектор, коллинеарный последовательно каждой из осей декартовой системы координат (начинать придется с точки).

Площади и объемы

В планиметрии известно равенство площадей треугольников, основания которых равны и лежат на данной прямой, а вершины скользят по прямой, параллельной данной (рис. 5).

Можно обсудить с учащимися два возможных варианта стереометрических аналогий:

• При переходе к трехмерному пространству воспользуемся тетраэдром как аналогом треугольника. При этом придется заменить параллельные прямые на скрещивающиеся (иначе задача останется «плоской»). Вместо равенства площадей предположим равенство объемов тетраэдров, у которых два ребра неизменной длины скользят по данным скрещивающимся прямым. Ученики сами могут сформулировать задачу. А задачи принято решать. Усиление мотивации налицо. Доказательство можно провести по следующему плану: совместим левый отрезок длиной b с его правым «собратом», получим промежуточный тетраэдр, объем которого равен объему левого тетраэдра (поскольку их основания равновелики, а соответствующая высота общая); аналогично доказываем, что промежуточный тетраэдр-«посредник» равновелик и правому тетраэдру.
• Если в качестве аналогии треугольника рассмотреть пирамиду или конус, то вместо параллельных прямых следует рассмотреть параллельные плоскости. По одной из них скользят неизменные по площади замкнутые области (общий случай), а по другой перемещается точка — вершина пирамиды (конуса). Этот вариант гораздо проще первого.

Аналог для теоремы Пифагора

Теорема Пифагора может быть применена к диагонали прямоугольника или гипотенузе прямоугольного треугольника (рис. 6).

Если перейти в трехмерное пространство, то в первом случае аналогом является прямоугольный параллелепипед, а равенство теоремы повторяется с точностью до количества измерений. К этому стоит добавить, что сумма квадратов четырех диагоналей любого параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер (аналог свойства параллелограмма).

Во втором случае аналогия дает пирамиду с прямоугольным трехгранным углом при вершине M. Прямоугольные грани аналогичны катетам, а грань ABC заменяет гипотенузу. Естественно предположить равенство с участием площадей. Для доказательства можно провести из вершин В и M перпендикуляры к ребру AC. Основания их совпадают по теореме о трех перпендикулярах. Далее применяем формулы для вычисления площадей произвольного и прямоугольного треугольников.

Инварианты

Поиски аналогий на плоскости и в трехмерном пространстве нередко приводят к таким ситуациям, когда в изменившихся условиях некоторые свойства сохраняются в неизменном виде. Такие неизменные свойства можно назвать инвариантами. При этом трехмерный случай является обобщением плоской задачи.

На рисунках 7 и 8 представлены два необходимых и достаточных условия перпендикулярности диагоналей четырехугольника (в стереометрическом случае мы имеем дело с «пространственным четырехугольником», то есть тетраэдром, в котором два скрещивающихся ребра играют роль диагоналей четырехугольника).

Первый пример доступен (рис. 7) для всего класса, поскольку предполагает знание свойства серединного перпендикуляра к отрезку, а также определения и признака перпендикулярности прямой и плоскости. Второй пример (рис. 8), заимствованный из учебника И.Ф. Шарыгина, можно предложить сильным ученикам (трудность заключается в некоторой громоздкости решения плоской версии; после этого стереометрический вариант доказывается проще).

Метод аналогии в системе

Метод аналогии тесно связан с такими мыслительными операциями, как сравнение, обобщение, специализация (переход от общего утверждения к частным случаям) и т.д. Он требует также умения анализировать данные, синтезировать новое знание и находить его место в существующей системе, а при необходимости модернизировать ее или даже создать новую. Нельзя обойтись без навыков пользования индуктивным и дедуктивным способами рассуждения.

Великолепный пример сочетания обобщения, специализации и аналогии в ходе доказательства теоремы Пифагора демонстрирует в своей книге «Математика и правдоподобные рассуждения» Д. Пойа. Передадим ход рассуждений автора (рис. 9).

Нужно доказать, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах:

a ² + b² = c² .           (1).

Как можно обобщить это утверждение? Квадраты подобны, их стороны пропорциональны соответствующим сторонам треугольника. На этих сторонах можно построить три подобных фигуры произвольной формы, площади которых будут относиться, согласно принципу подобия, как квадраты a, b и c, то есть составят соответственно ka², kb² и kc², где k зависит от выбранной формы фигур. Очевидно, равенство ka² + kb² = kc² равносильно равенству (1) при любом значении k. Выходит, частный случай равносилен общему!

Остается удачно специализировать, то есть найти ведущий (очевидный) частный случай. Мы достигнем цели, если используем стороны данного треугольника как гипотенузы трех новых прямоугольных треугольников (причем развернем их внутрь данного треугольника). Естественно, один из новых треугольников совпадет с данным. Равенство k₁a² + k₁b² = k₁c² следует из свойств площадей. Теорема Пифагора доказана.

Из стереометрии в планиметрию

С помощью параллельного проектирования мы получаем в плоскости еще одну систему, аналогичную трехмерному пространству.

Некоторые свойства оказываются при определенных условиях инвариантными. Речь идет об отрезках, прямых и плоскостях, не являющихся параллельными проектирующей прямой:

• сохраняется отношение отрезков на прямой и на параллельных прямых,
• параллелограмм и трапеция не меняют своего статуса,
• изображением медианы является медиана и т.д.

В большинстве случаев форма фигуры искажается, поскольку при проектировании, как правило, изменяются величины углов. В результате окружность превращается в эллипс — фигуру, как и окружность, представляющую замкнутую, всюду выпуклую плоскую кривую, имеющую центр симметрии. Осей симметрии остается только две. За исключением единственного случая, взаимно перпендикулярные диаметры окружности в эллипсе теряют это свойство, но остаются сопряженными (каждый из них проходит через середины всех хорд, параллельных второму диаметру). Таким образом, окружность аналогична эллипсу, являясь одновременно его крайней специализацией.

Метод аналогии в расширении понятий

В школьной математике достаточно понятий, смысл которых разъясняется постепенно. При этом фактически происходит обобщение путем снятия ограничений. Вместе с учениками мы в ускоренном темпе проходим исторический путь расширения понятий. Этот процесс требует соблюдения определенных правил-принципов. Приведем примеры расширяющихся понятий:

• числа натуральные – целые – рациональные – ...
• углы плоские – углы поворота;
• тригонометрические функции острого угла – плоского угла – угла поворота – ...
• степени с натуральным – целым – рациональным – действительным показателями.

Практически во всех случаях поводом для расширения понятия является рассмотрение задач, не имевших решения в старой системе. Приходится прибегать к индуктивному пути, продвигаясь от частных случаев к более общим.

Бросается в глаза отсутствие в двух цепочках последних звеньев. Дело в том, что эти звенья представляют собой не обобщения, а аналоги предыдущих ступеней.

Действительно, среди иррациональных чисел мы не найдем ни нуля, ни единицы. Иррациональное число, в отличие от дроби, не может быть равным целому. Множества рациональных и иррациональных чисел не пересекаются, но зато аналогичны друг другу: над иррациональными числами выполнимы все операции, известные во множестве рациональных; с помощью операций возведения в степень и извлечения корня n-й степени возможен переход из одного множества в другое. Объединение их в одно множество действительных чисел позволяет окончательно установить взаимно однозначное соответствие и одновременно фундаментальную аналогию между числами и точками координатной прямой.

Замена в тригонометрии углового аргумента на числовой порождает новые понятия. Они являются не расширениями, а аналогами понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса углового аргумента. Эта аналогия разъясняется с помощью однозначного (без взаимности) соответствия между точками координатной прямой и числовой окружности. Таким образом, каждому числу соответствует единственная точка единичной окружности, а вместе с ней и определяемые ею тригонометрические величины.

В последнем случае обратим внимание детей на простоту и гениальность реализации задачи. Представив координатную прямую как нерастяжимую нить, совместим ее точку отсчета с «западной» точкой единичной окружности; затем положительный луч, как на катушку, будем наматывать на окружность против часовой стрелки, а отрицательный луч — по часовой стрелке. Наш опыт показывает, что этот образ-аналогия хорошо запечатлевается в сознании всех учеников благодаря оригинальности и красоте и очень помогает в усвоении темы.

Математический анализ

Этот раздел математики дает обширный материал для обнаружения и использования аналогий.

Уже в самом начале изучения темы выясняется аналогия между различными явлениями. Сходными оказываются

• мгновенная скорость движения в момент времени t₀;
• предел разностного отношения функции f(x) в точке x₀ при стремлении Δх к нулю;
• предел положения секущих графика функции f(x), проходящих через точку (x₀; f(x₀)), при стремлении Δх к нулю.

Дальнейшее изучение основ математического анализа знакомит учащихся с моделями процессов, происходящих синхронно и в тонком взаимодействии. И здесь также можно усмотреть своеобразную аналогию.

Рассмотрим два примера.

1.  Исследование и построение графика функции с помощью производных первого и второго порядка (рис. 10, слева). В точке перегиба x = m знак второй производной меняется.

Заметим, что определение характера выпуклости графика по знаку второй производной вполне доступно для старшеклассника средних способностей. Достаточно на практических примерах показать ребятам, что график исходной функции будет выпуклым сверху, если производная убывает. А для этого достаточно, чтобы вторая производная была отрицательна.

2.  Графики первообразных. Этот случай ребята в состоянии объяснить сами.

Большое удивление вызывает у ребят тот факт, что производная у функции может быть только одна, а первообразных — бесконечно много (рис. 10, справа). Но еще интересней, что любые две первообразные отличаются на константу, а их графики совмещаются параллельным переносом вдоль оси Oy.

Кстати, последний факт дает повод повторить аналогии между преобразованиями графика функции f(x) и операциями вида f(x) + b,
f(x + a), kf(x), f(mx), | f(x) | и f(| x |).

Аналогия и математическое моделирование

В основе образования должна лежать некоторая система мышления, считает академик Н.Н. Моисеев. Ничего другого по своей целостности и логике, сравнимого с системой моделей, еще не придумано. Владея такой системой, чувствуя ее, человеку гораздо легче усвоить все конкретные факты, чего и добивается обычная традиция обучения.

Энциклопедический словарь дает следующее определение модели: «в широком смысле — любой образ, аналог какого-либо объекта, процесса или явления, используемый в качестве его заместителя, представителя». В свою очередь, моделирование определяется как «одна из основных категорий теории познания», на которой «базируется любой метод научного исследования». Итак, моделирование — это исследование явлений, процессов и систем путем построения и изучения их моделей-аналогов.

Вспомним, как вводится одно из важнейших понятий математики. Вряд ли учащиеся смогли бы разобраться, что такое функция, если бы мы не предложили им несколько интерпретаций, называя их «способами задания» функции:

1) описание (легенда);

2) множество пар чисел;

3) таблица соответствующих значений аргумента и функции;

4) формула;

5) график.

Каждая из этих моделей аналогична функции и выявляет при этом различные грани этого понятия, помогая ребятам уяснить его смысл.

На этом простом примере прослеживается важная тенденция научного познания мира, подмеченная Н. Бором: никакое сложное явление нельзя описать с помощью одного языка.

В курсе школьной математики немало понятий, допускающих несколько интерпретаций. Математика является неистощимым источником моделей-аналогов для успешной исследовательской деятельности практически во всех областях знания. Отсюда проистекает особая роль учителя математики в школе: именно на уроках математики сравнительно просто и естественно закладываются основы научного мышления.

Заключение

Итак, наша цель — сформировать понятие о методе аналогии и научить ребят им пользоваться. Какие же конкретные задачи необходимо решить ученикам и их учителю, чтобы добиться этого?

Надо полагать, что удовлетворительный результат для учащихся может состоять в понимании того, что аналогия — это:

• сходство, которое много обещает;
• сходство, которое может обмануть;
• метод исследования;
• средство систематизации;
• то, что может быть полезно каждому, чем бы он ни занимался в жизни.

Учителю для достижения поставленной цели придется научить своих воспитанников, работая с предметами, явлениями, процессами и системами:

• находить различия;
• находить сходства;
• замечать и выяснять аналогии;
• проверять, доказывать или опровергать свои предположения, пользуясь доступными мыслительными операциями;
• использовать аналогии для переноса знаний из одной системы в другую;
• накапливать опыт и умело пользоваться им.

К последнему пункту можно добавить, что именно радостный опыт открытия наряду с врожденными способностями может породить то трудное для понимания, но чудесное явление, которое принято называть интуицией.

Если хотя бы для части выпускников рассуждения по аналогии станут неотъемлемой чертой интеллектуальной жизни, то нашу работу можно будет считать успешной.

Бражников А.