Делим на 17

На столе лежат 7 карточек с цифрами от 0 до 6. Двое по очереди берут по одной карточке. Выигрывает тот, кто первым из своих карточек сможет составить натуральное число, делящееся на 17. Кто выиграет при правильной игре — «начинающий» или его «противник»?

И. Рубанов

Решение. Эта приятная несложная задача, которую удачно дать на кружке 6–8-х классов. Она была предложена И. Рубановым на первом дистанционном туре олимпиады Эйлера — олимпиады для восьмиклассников, организованной группой энтузиастов, неравнодушных к судьбе математического образования, для того, чтобы дать возможность поучаствовать в олимпиаде высокого уровня учащимся 8-х классов, для которых перестал проводиться региональный этап Всероссийской олимпиады.
Начиная решение этой задачи (да и большинства других задач про игры), стоит устроить в классе небольшой турнир. Рекомендую после каждой игры дать ребятам время немного подумать, обменяться идеями относительно поиска стратегии. Можно также на доске вести статистику того, в скольких сыгранных партиях выиграл первый игрок, а в скольких — второй. Возможно, ребята в процессе игры сами догадаются выписать на листочек (а потом можно и на доску) числа до 100 (а может, и до 200), которые делятся на 17. Это поможет при анализе игры на первых ходах, ведь хорошего признака делимости на 17 не существует.
Также можно в качестве разминки дать упрощенный вариант задачи, добавив карточку с циф рой «7». Тогда, посмотрев на выписанный ряд чисел, делящихся на 17, можно заметить, что если «начинающий» возьмет первым ходом карточку с цифрой «1», то он практически выиграет, сделав вилку — 17, 51. То есть следующим ходом он выигрывает, взяв или «5», или «7», а «противник» своим первым ходом сможет взять лишь одну из этих карточек.
Если же карточки с «7» нет, то можно увидеть, что таких вилок первым ходом не сделаешь. Но если «начинающий» возьмет первым ходом карточку «3», то он обеспечит себе победу чуть более тонкой комбинацией. Действительно, «противник» обязан брать «4», иначе эту карточку возьмет начинающий и выиграет, набрав 34. Этот ход «противника» не создает непосредственных угроз для «начинающего» — единственное двузначное число, делящееся на 17 и содержащее цифру 4, это 34, а «3» уже взято. Теперь «начинающий» возьмет «1» и сделает вилку 51, 136: следующий ход — «5» или «6» — ведет к выигрышу, так как «противник» сможет взять лишь одну из этих карточек.