Уравнения с параметрами на уроках повторения

Задачи с параметрами часто встречаются в КИМ ЕГЭ и не всегда оказываются по силам учащимся и абитуриентам.
Программа по математике средней общеобразовательной школы не уделяет большого внимания решению задач с параметрами. Я стараюсь восполнить этот пробел на уроках повторения. Такие задачи представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков.
Все рассмотренные упражнения имеют дидактическую цель — помочь учащимся составить представление о параметре, о том, что значит решить уравнение с параметром. Предложенные упражнения помогают им осмыслить всего несколько строк определения: «Пусть дано равенство f(x; a) = 0 с переменными x, a.
Если ставится задача для каждого значения a решить это уравнение относительно x, то уравнение
f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной x и параметром a. Решить уравнение с параметром a — это значит для каждого значения a найти значение x, удовлетворяющее этому уравнению».
Считаю, что каждый учитель должен найти время на решение таких задач.

Особенность уравнений с параметрами
В самом начале знакомства с параметрами у учеников возникает психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой — конкретное значение параметра не дано. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой — может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении — это «неизвестная величина», «переменная постоянная». Этот «каламбур» довольно точно отражает суть тех сложностей, которые нужно преодолеть ученикам.

Мне представляется целесообразным начинать изучение уравнений с параметрами с решения уравнений без ветвлений.

Решение простейших уравнений

Подобные упражнения помогают учащимся привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений. Даже такие элементарные уравнения требуют комментариев и объяснений.
Следующий шаг — решение простейших уравнений с небольшим числом легко угадываемых ветвлений.
1. ax = 10. Ответ: при a = 0 корней нет.
2. 0∙x = a. Ответ: при a ≠ 0 корней нет; при
a = 0 x ∈ R.
3.  при a < 0 корней нет.

Аналитический и графический способы

1. Решите уравнение | x | = a.
Решение.

Способ I (аналитический).
1. При a > 0 уравнение имеет два корня: x = ±a.
2. При a = 0 уравнение имеет один корень: x = 0.
3. При a < 0 уравнение корней не имеет.
Способ II (графический).
1. При a > 0 графики пересекаются в двух точках (–a; a) и (a; a), значит, уравнение имеет два решения: x = ±a.

2. При a = 0 точка пересечения графиков одна — начало координат, следовательно, уравнение имеет одно решение: x = 0.
3. При a < 0 графики функций не пересекаются — решений нет.
Ответ: при a < 0 корней нет; при a = 0 один корень: x = 0; при a > 0 два корня: x = ±a.

2. Решите уравнение ax = | x |.
Решение.

Способ I (аналитический).
1. При x ≥ 0 уравнение равносильно уравнению ax = x, или x(a – 1) = 0. Следовательно:
а) при a ≠ 1 уравнение имеет только одно решение: x = 0;
б) при a = 1 уравнение имеет бесконечное множество решений: x ∈ [0; +∞).
2. При x ≤ 0 уравнение равносильно уравнению ax = –x, или x(a + 1) = 0. Следовательно:
а) при a ≠ –1 уравнение имеет одно решение: x = 0;
б) при a = –1 — множество решений, x ∈ (–∞; 0].
Способ II (графический).
Строим графики функций y = | x | и y = ax. Графиками функций y = ax являются прямые, проходящие через начало координат, угловой коэффициент которых равен 0.

1. При a ≠ ±1 уравнение имеет одно решение x = 0.
2. При a = 1 прямая y = x содержит луч OA, и уравнение имеет бесконечное множество решений x ∈ [0; +∞).
3. При a = –1 прямая y = –x содержит луч OB, и уравнение имеет бесконечное множество решений x ∈ (–∞; 0].
Ответ: при a = –1 x ∈ (–∞; 0]; при a = 1 x ∈
∈ [0; +∞); при x ≠ ±1 x = 0.

Несложные уравнения с параметром, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничениями их области определения, составляет следующий шаг в изучении уравнений с параметром.
1. Решите уравнение
Решение. Очевидно, что x ≠ 2. Умножив обе части уравнения на x – 2 ≠ 0, получим a = x – 2 или x = a + 2. Проверим, нет ли таких значений параметра a, при котором найденное значение x было бы равно числу 2, то есть решим уравнение 2 = a + 2 относительно a. Получим, что при a = 0 x = 2, но число 2 не входит в область определения, следовательно, не может быть его корнем.
Ответ: при a = 0 корней нет; при a ≠ 0 x = a + 2.

2. Решите уравнение

Решение. x ≠ –1. Приведя уравнение к виду (1 – a)x = a, заметим, что при a = 1 уравнение не имеет корней, а при a ≠ 1 получаем Решим уравнение относительно a. Так как уравнение не имеет корней, других вариантов не имеется.
Ответ: при при a = 1 корней нет.
3. Решите уравнение

Решение. x ≠ –3, x ≠ 2, a ≠ –1. При условии, что x ≠ 2, исходное уравнение можно упростить:

После преобразований получаем уравнение 2ax = 1 – a, которое при a = 0 не имеет корней, а при a ≠ 0
Проверим, нет ли таких значений параметра a, при которых найденное значение x было бы равно –3 или 2. Для этого решим относительно a уравнения Корень первого уравнения –0,2, корень второго уравнения 0,2, то есть при a = ±0,2 соответствующие значения x не входят в область определения исходного уравнения.
Ответ: при a = –1; 0; ±0,2 корней нет; при a ≠ –1; 0; ±0,2

Решение более сложных уравнений
Решите уравнение | x + 2 | = ax + 1.
Решение аналитическим способом приводит к достаточно длительным рассуждениям, так как имеет много ветвлений. Графический способ более удобен, он короче и красивее.
Решение. Способ I (графический). Построим график функций y = | x + 2 | и y = ax + 1. График первой функции получается сдвигом графика функции y = | x | на 2 единицы влево по оси абсцисс. Графиком второй функции является прямая, проходящая через точку с координатами (0; 1), угловой коэффициент которой равен a. Рассмат­ривая график функции y = ax + 1 при различных числовых значениях параметра a, получаем пучок прямых, проходящих через точку (0; 1).

Если угловой коэффициент a ∈ (–∞; –1] (1; +∞),
то есть прямые проходят в области 1, то они пересекает правую ветвь (x > –2) графика функции
y = | x + 2 |, и уравнение имеет одно решение.
Если то прямые проходят в области 2, и графики функций пересекаются в двух точках, то есть уравнение имеет два решения.
При прямые расположены в области 3,
в этом случае графики функций не пересекаются, следовательно, уравнение решений не имеет.
При точка пересечения одна, и решение тоже одно.
Таким образом, получаем ответ.
Ответ: при уравнение имеет одно решение; при уравнение имеет два решения; при уравнение решений не имеет.
Способ II (графический). При x = 0 получаем
| 0 + 2 | = a∙0 + 1 или 2 = 1, то есть x = 0 не является решением уравнения ни при каких значениях параметра a. Решим это уравнение относительно a: , и построим график получившейся функции.

При Графиком этой функции является гипербола , сдвинутая на 1 вверх по оси ординат.
При x < –2 График получаем сдвигом гиперболы на 1 вниз по оси ординат.
При различных значениях параметра a графиком функции y = a являются прямые, параллельные оси ординат.
При a ≤ –1 и a > 1 графики имеют одну точку пересечения, следовательно, уравнение имеет одно решение.
При уравнение имеет два решения.
При уравнение имеет одно решение.
При точек пересечения нет, уравнение решений не имеет.

Упражнения на составление уравнений с параметрами
Ученикам, имеющим даже небольшой опыт решения уравнений с параметрами, полезно предлагать упражнения на составление таких уравнений с параметром.
1. Составьте уравнение с параметром a такое, чтобы каждому значению параметра соответствовало единственное значение переменной x.
2. Составьте уравнение с параметром a, которое при любом значении параметра не имеет корней.
3. Составьте уравнение с параметром a, которое не имеет корней при всех a < 0.
4. Составьте уравнение с параметром a такое, чтобы при каком-то одном значении параметра корнем уравнения было любое действительное число, а при всех остальных значениях параметра уравнение не имело бы корней.
5. Составьте логарифмическое уравнение с параметром.

Ответы:

Накладывая различные условия на значение параметра, переменной, на число корней или число ветвлений, на тип уравнения и т.д., в зависимости от целей и подготовки класса учащимся можно предложить много разнообразных заданий на составление уравнений с параметром.

 

Воронина Н.