Факультативный курс «Линейные уравнения и неравенства с параметрами»

Курс для учащихся 7-го класса, рассчитан на 32 учебных часа. Продолжительность занятия — два урока.

Программа курса

Номер занятия	Содержание
1	Понятия постоянной и переменной величин
2	Понятие линейного уравнения
3	Общее решение линейных уравнений
4	Частные решения линейных уравнений
5	Решение линейных уравнений с параметрами
6–8	Линейная функция и ее график
9	Уравнение с двумя переменными и его график. Координатная плоскость Oxa
10	Системы линейных уравнений с двумя неизвестными
11	Системы линейных уравнений
12	Решение линейных неравенств с одной переменной
13	Решение систем линейных неравенств с одной переменной
14	Линейные неравенства с двумя переменными и их системы
15	Решение неравенств с параметрами. Плоскость Oxa
16	Решение задач с параметрами

Занятие № 1 Понятия постоянной и переменной величины

Выбор обозначения той или иной величины — дело учащегося. При рассмотрении обозначений следует упомянуть, что встречаются случаи использования отдельных букв в качестве идентификаторов постоянных величин, например π.

Упражнение 1. Укажите постоянные и переменные величины, входящие в уравнения:
а) 7x – 1 = a; б) 6 = ax;
в) 5 – x = ax; г) ax + a = 1 + x;
д) a – x = a2x – 1; е) x = a – ax2;
ж) x = a3x; з) ax – a2 = 7;
и) ax – a2 = 4 – x.

Упражнение 2. Решите уравнения 1–4 (из упражнения 1):
а) при a = –1; 0; 1; б) при x = –1; 0; 1.
Данное упражнение позволяет понять, что все входящие в уравнение переменные равноправны и каждая из них может быть объявлена неизвестной (аргументом). Все оставшиеся переменные объявляются параметрами, которым присваиваются по умолчанию некоторые числовые значения, входящие в область определения данного аналитического выражения.

Упражнение 3. Решите относительно x уравнение:
а) 6x – 3y = 1; б) –x + 3a + y = 0;
в) –x + 2y = 5.

Упражнение 4. Решите относительно y уравнения из упражнения 3.
Эти упражнения позволяют показать, что приоритетная переменная может быть указана, тогда как другие переменные будут являться параметрами.

Упражнение 5. Выразите x через другие переменные, входящие в уравнение:

Задание на дом
1. При каких значениях параметра a уравнение имеет один корень? два корня? не имеет корней?
а) | x | = a; б) | x | = a2; в) | x | = a2 + 1.
2. Из равенства выразите сначала a через m,
а затем m через a:
а) 2a + 3m = 6; б) 9a – 2m = –18;
в) am + a = 4.
3. Сколькими способами можно заменить показатели m и n натуральными числами так, чтобы при любых значениях переменных x и y многочлен x6y2 + 6x4y2 + xmyn + 1 принимал положительные значения и степень многочлена была равна 8?

Занятие № 2 Понятие линейного уравнения

Следует обратить внимание на определение как степени одночлена, так и степени многочлена с несколькими переменными. Вместе с традиционными определениями вводится определение степени одночлена и многочлена относительно выделенной переменной.
Упражнение 1. Определите степень одночлена:
а) 5a3b9; б) –xy;
в) a4b11c; г) (–0,1)2c3y;
д) 3xmy; е) –xnyn.
Упражнение 2. Какова степень многочлена:
а) 3x8 – x3 – x8 + 6x – 2x8 – 1;
б) xy + 12x5y – 10x2y – 6?
Упражнение 3. Замените M каким-либо одночленом, чтобы получился многочлен четвертой степени:
а) M + 4x4 + 3x3 – x2 – 106;
б) 5x5 – M + 12x4 – x3 + x;
в) x + M + x4 – x5 – 3x2 – 1.
Упражнение 4. Какова степень многочлена в задании б) упражнения 2 относительно переменой x? относительно переменной y?
Далее дается определение линейного уравнения как уравнения вида f(x) = 0, где f(x) — двучлен первой степени относительно выделенной переменной (совершенно необязательно, чтобы обозначение этой переменной было x).
Упражнение 5. Укажите уравнения, линейные относительно переменной x, содержащие параметры:
а) x + 3 = 13x – 2; б) (a – 1)x = 3;
в) 12x – a = 12; г) bx – a = 1;
д) –5x = 4; е) 3x + 6 = 3(x – 1) + 4;
ж) 5 – x = (a + 1)x; з) 2x – (x – 19) = –x;
и) x = (a – 1)2x; к) 5x = 2 – (12 – 5x).
Упражнение 6. Найдите все значения параметра x, при которых уравнение (a2 + 1)x + a + 1 = 0
является линейным.
Решение. Выбрав переменную x в качестве параметра, мы тем самым сделали неизвестной переменную a. Уравнение (a2 + 1)x + a + 1 = 0 будет линейным относительно переменной a, если старшая степень этой переменной, входящей в уравнение, будет равна 1. Это возможно тогда, когда коэффициент при второй степени переменной a будет равен 0, то есть если значение параметра x будет равно 0.
Ответ: при x = 0.
Простейшими линейными уравнениями являются уравнения с одной переменной. Полезно вспомнить, что такие уравнения могут не иметь корней, иметь единственный корень, иметь бесконечное множество корней.
Упражнение 8. Решите уравнение:
а) x – 5 = 2; б) 2m + 3 = 4;
в) 2y – 3 = 3y – 2; г) 5(x + 1) – 2x = 3x + 5.
Упражнение 9.
а) Составьте линейное уравнение относительно переменной x, корнем которого является число 1.
б) Составьте линейное уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого является число 0,4.
в) Составьте линейное уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет являться любое действительное число.
г) Составьте линейное уравнение, не имеющее корней.

Задание на дом
1. Решите относительно x уравнение:
а) 5x – 10y = 2; б) –x + 3y = 7;
в) –x + 2a + m = 0; г) 2 – 11x + 3m = 2a.
2. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение (a2 – 1)x2 + ax + 1 = 0 является линейным.
3. При каких значениях x выражение

а) не имеет смысла;
б) равно нулю?

Занятие № 3 Общее решение линейных уравнений

Поскольку на занятии будет использовано понятие допустимых значений переменной, то уместно выполнить задание на повторение этого понятия.
Упражнение 1. При каких значениях переменной выражение имеет смысл:

Объяснение нового материала полезно начать с задания, при выполнении которого учащиеся еще раз обратят внимание на управляющую роль параметра.
Упражнение 2. Решите уравнение
(m2 – m)x = 2m – 2
при m = 0; 1; 3.
Итак, мы подошли к введению алгоритма нахождения общего решения линейного уравнения.
Определение. Уравнение вида f(a)∙x = g(a), где f(a), g(a) — некоторые аналитические выражения, называется линейным относительно переменной x с параметром a. Если поставлена задача решить такое уравнение, это значит, что для каждого допустимого значения параметра a надо найти значение переменной x, удовлетворяющее этому уравнению.

Алгоритм решения:
1. Найти допустимые значения параметра.
2. Если f(a) = 0, то существование или отсутствие корней уравнения зависит от значения g(a). Если g(a) = 0, то уравнение принимает вид 0∙x = 0, и его корнем служит любое действительное значение переменной x. Если g(a) ≠ 0, то при любом значении переменной x возникает неверное числовое равенство, то есть уравнение корней не имеет.
3. Если f(a) ≠ 0, то получим, что
Можно раздать учащимся памятку в виде таблицы.

Упражнение 3. Решите уравнение относительно переменной x:

Решение. а) Приведем уравнение к виду ax = a – 8. Коэффициент при x равен a. Возможны два случая:
1) a = 0, тогда уравнение примет вид 0∙x = –8; следовательно, уравнение не имеет корней;
2) a ≠ 0, тогда ax = a – 8,
Ответ:
г) Приведем уравнение к виду
1) При a = 0 выражение не имеет смысла. Значит, уравнение не имеет корней.
2) Если выражение равно 0 (то есть a = –1), то получим уравнение 0∙x = 2, которое не имеет корней.
3) Если a ≠ 0 и a ≠ –1, то
Ответ: при a = 0 или a = –1 x ∈ ѕ; при a ≠ 0 и a ≠ –1
Данные упражнения помогают отработать алгоритм нахождения решения линейного уравнения с параметрами, при этом следует обратить внимание учащихся на влияние допустимых значений параметра. Упражнение 3 учитель должен разобрать, а упражнение 4 полезно предложить учащимся для самостоятельного решения.
Упражнение 4. Решите уравнение:

а) (k2 – 1)x = k + 1; б) ax – a = x – 1;

Задание на дом
1. Решите уравнение относительно x:
 
2. При каких значениях параметра a один из корней уравнения 5ax2 + 4x + a + 3 = 0 равен 0?
3. Какие из уравнений равносильны:
а) | x | + 1 = 0; б) x2 – 4 = 0;
в) x – 6 = 2x – (x + 2); г) x – 2 = 0:
д) | x | – 2 = 0?

Занятие № 4 Частные случаи решения линейных уравнений

Учащиеся должны усвоить, что решение уравнения с параметрами при заданных конкретных условиях — это частные решения уравнения. Например, задание может звучать так: «При каких значениях параметра... уравнение... имеет единственное решение (не имеет корней, имеет корень, равный... и т.д.).
Упражнение 1. Найдите значение параметра a, при котором уравнение ax – 3 = 2x – 1:
а) имеет корень, равный 4;
б) не имеет корней;
в) имеет бесконечно много корней.
Упражнение 2. При каких значениях параметра a равносильны уравнения:
а) 4(3x – a) – ax – 15 = 27 и 0,5(x – 4) + 8x = 15;
б) ax2 = 27 и x – 3 = 0?
Упражнение 3. При каких значениях параметра a уравнения ax = 12 и 3x = a имеют общие корни?
Упражнение 4. При каких целых значениях параметра a уравнение ax = 5 + 2x имеет целые корни? Найдите эти корни.
Решение. Приведем уравнение к виду (a – 2)x = 5. Если a ≠ 2, то Чтобы x был целым числом, необходимо, чтобы значение выражения a – 2 было делителем числа 5, то есть a – 2 может быть равно 1; –1; 5; –5. Отсюда a = 3; 1; 7; –3.
Ответ: при a = –3; 1; 3; 7.
Упражнение 5. При каких значениях параметра b уравнения и не имеют корней?
Упражнение 6. При каких значениях параметра n уравнение (n2 – 4)x = n3 – 2n2 – n + 2:
а) имеет единственный корень;
б) имеет бесконечное множество корней;
в) не имеет корней:
Решение. 1. Выражения n2 – 4 и n3 – 2n2 – n + 2 имеют смысл при любых значениях n.
2. Если n2 – 4 = 0, то n = ±2. При n = 2 значение выражения n3 – 2n2 – n + 2 равно 0. Получаем уравнение вида 0∙x = 0. Оно имеет бесконечное множество корней, то есть x — любое число. При n = –2 значение выражения n3 – 2n2 – n + 2 равно –12, получаем уравнение 0∙x = –12, не имеющее корней.
3. При n ≠ 2 и n ≠ –2 уравнение имеет единственный корень.
Ответ: а) при n ≠ 2 и n ≠ –2; б) n = 2; в) n = –2.
Упражнение 7. Составьте какое-либо уравнение вида ax + c = bx + d с переменной x, которое:
а) имеет корень, равный 7;
б) не имеет корней;
в) имеет бесконечное множество корней.

Задание на дом
1.  При каких значениях параметра a уравнение a2(x – 5) = 25(x – a) не имеет корней?
2. При каких целых значениях параметра a корнем уравнения (a + 1)x = 4 будет целое число?
3. При каких значениях параметров a и b уравнение (a – b + 6)x – 3a + 1 = 0 имеет по крайней мере два корня?

Занятие № 5 Решение линейных уравнений с параметрами

Цель этого занятия — закрепить навык решения линейных уравнений с параметром и научиться использовать полученные навыки при решении нестандартных задач.
Упражнение 1. Решите уравнение относительно переменной x:

Решение. а) Приведем уравнение к стандартному виду, получим:

1. Допустимые значения переметных: a и x — любые числа, b — любое число, кроме 0. Значит, при b = 0 уравнение не имеет корней.
2. Если a + b = 0 (b ≠ 0), то есть a = –b, то уравнение принимает вид 0∙x = 0 и имеет бесконечное множество корней.
3. Если a ≠ –b, b ≠ 0, то уравнение имеет единственный корень

Ответ: при b = 0 x ∈ ѕ; при a = –b (b ≠ 0) x ∈ R;
при
в) 1. Допустимые значения переменных: a — любое число, x — любое число, кроме 2.
2. Если a = 0, то уравнение примет вид

Отсюда x — любое число, кроме 2.
3. Если a ≠ 0, то x = a (x ≠ 2) — единственный корень уравнения. Так как x = a, но x ≠ 2, то получим, что при a = 2 уравнение не имеет корней.
Ответ: при a = 0 x ∈ R, x ≠ 2; при a = 2 x ∈ ѕ; при a ≠ 0, a ≠ 2 x = a.
Упражнение 2. При каких значениях параметра a уравнение (2a – 4)x + a – 1 = 4a – 7 имеет три различных корня?
Решение. Запишем уравнение в виде (2a – 4)x = 3a – 6. Линейное уравнение может иметь единственный корень, либо не иметь корней, либо иметь их бесконечное множество. Так как данное уравнение имеет три корня, значит, оно имеет вид 0∙x = 0. Отсюда должны выполняться условия 2a – 4 = 0 и 3a – 6 = 0. Тогда a = 2.
Ответ: a = 2.
Упражнение 3. Решите уравнение
(ax – 3a)(x – 2)(3 + x) = 0
относительно переменной x.
Упражнение 4. Решите уравнение
| x – 2 | + | x + a | = 0.
Решение. Так как каждое слагаемое неотрицательно, то сумма равна 0, если каждое слагаемое равно 0, то есть x – 2 = 0 и x + a = 0. Первое слагаемое равно нулю, если x = 2, но если x = 2, то второе слагаемое равно 0, если 2 + a = 0, то есть a = –2. Если a ≠ –2, то уравнение не имеет корней.
Ответ: при a = –2 x = 2; при a ≠ –2 x ∈ ѕ.
Упражнение 5. Решите уравнение
| x + 2 | + a2| x | = 0.
Упражнение 6. Найдите натуральные значения параметра a, при которых корень уравнения является числом натуральным:
а) a(3x – 2) + 2(3 + a) = 18;
б) 3x(a + 1) – 2a(x + 4) = 4(1 – 2a).

Задание на дом
1. При каком наибольшем натуральном значении параметра a уравнение 4(x – 2) = a – 15 имеет отрицательный корень?
2. Найдите значения параметра a, при которых уравнение не имеет корней.
3. Даны функции y = x, y = 6 – 3x, y = a. При каких значениях параметра a в треугольнике, ограниченном графиками этих функций, будет содержаться ровно одна точка с целыми координатами?
Продолжение в следующем номере.

 

Овчинникова Т.