Задача с параметром как основа для организации продуктивного повторения

Для развития творческого подхода к работе практика решения задач с параметрами должна, на мой взгляд, начинаться довольно рано. Тогда в выпускных классах у учащихся формируются отдельные предпочтения в методах решения этих заданий. Но я полагаю, что, предлагая учащимся решить задания как можно большим числом способов и проводя сравнительный анализ различных вариантов решения, учитель способствует расширению круга излюбленных учениками приемов. Для данной конкретной задачи обычно только один из них обладает красотой и изяществом, однако можно показать ученикам, что в отдельных случаях более громоздкие варианты решения обладают большей общностью.
При обобщающем повторении материала на примере задач с параметрами удобно закреплять на практике связи между различными разделами программы. При такой организации работы у ребят вырабатываются и закрепляются навыки исследовательского подхода к решению поставленных задач, и несмотря на то, что число фактически рассмотренных отдельных примеров уменьшается, это сокращение с лихвой компенсируется систематизацией различных приемов решения, умением эффективно применять их в конкретной ситуации.

Рассмотрим такое задание:
Сколько корней, в зависимости от значения параметра a имеет уравнение x2 + a| x – 2 | = 0?
Способ I. Повторение свойств квадратичной функции и ее графика.
Исходное уравнение равносильно совокупности двух систем

Исследуем первую систему. Определим, сколько корней, не меньших 2, имеет уравнение, входящее в эту систему. Этот шаг удобно и наглядно объяснять ученикам, используя графики, иллюстрирующие различные варианты расположения параболы y = x2 + ax – 2a. Так как ветви параболы направлены вверх, то предварительный анализ позволяет отметить соответствующие случаи:
1. Уравнение имеет два устраивающих нас корня (рис. 1).

2. Уравнение имеет один устраивающий нас корень (рис. 2).

3. Устраивающих нас корней нет (рис. 3).

Пусть f(x; a) = x2 + ax – 2a, тогда f(2; a) = 4. Если абсцисса вершины соответствующей параболы xb, то
Учитывая, что f(2; a) = 4, для уравнения первой системы существование нужных корней возможно только в случаях, представленных на рисунке 4.

Накладываемые на xb и D требования являются необходимыми и достаточными для существования корней уравнения x2 + ax – 2a = 0, удовлетворяющих неравенству первой системы. Случай для значений а, определяемых системой

показан на рисунке 5,а. Ситуация для значений а,
определяемых системой

отражена на рисунке 5,б. Следовательно, уравнение x2 + ax – 2a = 0 имеет два устраивающих нас корня при a < –8, один корень при a = –8 и не имеет устраивающих нас корней в остальных случаях.

Исследование второй системы проводится аналогично. Пусть g(x; a) = x2 – ax + 2a, тогда g(2; a) = 4,

Для наличия двух корней уравнения
x2 – ax + 2a = 0,
удовлетворяющих неравенству второй системы, необходимо и достаточно выполнения системы условий (см. рис. 5,а).

Один нужный корень это уравнение может иметь при D = 0, xb < 2, то есть при а = 0 (см. рис. 5,б).
Поскольку обе системы могут иметь только отличающиеся друг от друга решения (одна содержит неравенство x > 2, другая неравенство x < 2),
то, сопоставляя результаты их исследования, окончательно получаем: при a < –8 исходное уравнение имеет четыре корня; при a = –8 — три корня; при –8 < a < 0 — два корня; при а = 0 — один корень; при a > 0 исходное уравнение корней не имеет.

Способ II. Повторение построения графиков функций.
Исходное уравнение легко разрешимо относительно параметра а, что позволяет провести исследование функции а(х) и повторить основные этапы схемы построения графиков функций.

Простая подстановка показывает, что значение х = 2 не является решением совокупности систем ни при каком значении параметра а. При х ≠ 2 получаем совокупность

Построим на координатной плоскости xOa множество точек А, задаваемых этой совокупностью. Оно определяется функцией

Исследуем функцию

Область определения D(f) = (–∞; 2) (2; +∞); функция f(x) непрерывна и дифференцируема на каждом из промежутков своей области определения. Знаки функции f(x) и ее производной определяем с помощью метода интервалов, а также находим ее промежутки возрастания и убывания (рис. 6, а и б).

Найдем производную функции:

Причем D(f') = D(f), f'(x) = 0 при х = 0 или х = 4.
Так как f(x) → +∞ при х → 2 – 0, f(x) → –∞ при х → 2 + 0, то прямая х = 2 является вертикальной асимптотой графика функции f(x). Точка
x = 0 является точкой минимума и f(0) = 0, точка
x = 4 — точкой максимума и f(4) = –8.
Тот факт, что f(x) → –∞ при х → +∞ и f(x) → +∞
при х → –∞, позволяет сделать заключение о количестве корней исходного уравнения без привлечения информации о наличии и виде наклонных асимптот.
Комментарий. В этот момент перед учителем стоит дилемма: неплохо бы повторить нахождение наклонных асимптот графика функции, с другой стороны, эта особенность графика для ответа на вопрос задачи является избыточной. Я полагаю, что в качестве компонента отдельного исследования лучше предложить найти наклонные асимптоты в ходе домашней работы.
Пусть график функции a= f(x) имеет наклонную асимптоту вида a = kx + b. Тогда

Для функции f(x) имеем:

Значит, прямая a = –x – 2 является наклонной асимптотой. Эскиз графика функции a = f(x) изображен на рисунке 7.

При x > 2 искомое множество точек А совпадает с графиком функции a = f(x), а при x < 2 —
с графиком функции a = –f(x) (рис. 8).

Анализируя рисунок 8, видим, что при a > 0 нет точек, принадлежащих указанному множеству А,
т.е. исходное уравнение не имеет решений.
При а = 0 его единственным корнем будет х = 0. При –8 < a < 0 каждому значению а на множестве А
соответствуют две точки с различными абсциссами (исходное уравнение имеет два корня). При а = –8 — три точки, то есть три корня, и при
a < –8 каждому значению а соответствуют четыре точки из множества А и исходное уравнение имеет четыре корня.
Способ III. Повторение решения иррациональных неравенств

Рассмотрим уравнение x2 + ax – 2a = 0; D = a2 + 8a;
D > 0 при a < –8 или при a > 0 и D = 0 при а = 0 или
а = –8. Уравнение имеет корни:

Определим, при каких значениях параметра а корни х1 и х2 удовлетворяют условию x ≥ 2.
Пусть х1 ≥ 2, тогда

При x2 ≤ 2 получаем:

Таким образом, при a < –8 исходное уравнение имеет два различных корня, не меньших 2, а при а = –8 — один такой корень.
Для уравнения x2 – ax + 2a = 0 имеем D = a2 – 8a;
D > 0 при a < 0 или a > 8; D = 0 при а = 0 и а = 8. Корни уравнения:

Найдем, при каких значениях параметра а корни этого уравнения удовлетворяют условию x < 2.

Уравнение x2 + ax + 2a = 0 имеет корни х3 и х4, меньшие 2, при а < 0, причем х3 = х4 при а = 0.
Мы в очередной раз приходим к ответу, полученному при решении задачи первым способом, при этом надо помнить, что удовлетворяющие нас значения х1, х2 и х3, х4 не могут совпадать.

Способ IV. Привлечение элементов графического метода решения уравнений.
Такой способ решения представляется наиболее простым и иллюстративным. Если целью является привлечение внимания школьников к другим вариантам решений, но рассматривать его стоит в самом конце, поскольку в противном случае естественной будет реакция отторжения учениками более трудоемких вариантов работы. С другой стороны, как показывает многолетний опыт работы со школьниками, сами они предпочитают работать аналитическими методами.
Преобразуем исходное уравнение:
x2 + a| x – 2 | = 0 ⇔ x2 = –a| x – 2 |.
При a > 0 уравнение не имеет решений, так как равенство правой и левой его частей требует выполнения несовместной системы условий:

При а = 0 уравнение имеет единственное решение х = 0.
Рассмотрим случай a < 0, используя элементы графического метода решения уравнений. Построим графики функций
y = f(x) и y = g(x),
где f(x) = x2, g(x) = –a| x – 2 | (рис. 9).

Ветвь графика функции g(x), совпадающая с графиком функции y = ax – 2a при х < 2, пересекается с параболой y = x2 в двух точках. Определим, может ли прямая y = –ax + 2a при x > 2 быть касательной к графику функции y = f(x). Предположим, что касание происходит при а = а0 (а0 <0) в точке с абсциссой х0 (х0 > 2). Поскольку

то для нахождения х0 и а0 получаем систему уравнений

откуда а значения а0 можно определить из уравнения

Случай, когда а0 = 0, мы уже рассмотрели, а значению а0 = –8 соответствует х0 = 4, удовлетворяющее условию х0 > 2.
Можно определить значения а0 и х0 иначе. Уравнение х2 = –ах + 2а имеет единственное решение, соответствующее случаю касания квадратичной параболы и прямой, если дискриминант этого уравнения обращается в нуль. D = a2 + 8a,
D = 0 при а = 0 и а = –8. Так как a < 0, то оставляем для дальнейшего анализа только а = –8, соответствующее значение х0 нас устраивает.
Итак, при а = –8 ветвь графика функции
y = g(x), соответствующая прямой y = –ax + 2a, касается параболы в одной точке; при a > –8 с этой частью графика парабола не имеет общих точек; при a < –8 прямая y = –ax + 2a пересекает график параболы в двух точках. Учитывая наличие двух точек пересечения параболы у = х2 с ветвью графика функции y = g(x), задаваемой формулой y = ax – 2a, при любых a < 0, получаем окончательный ответ.
Комментарий. В качестве домашнего задания можно предложить провести сравнительный анализ предложенных способов решения задачи. Кроме того, интересно предложить решить исходное уравнение, где а — параметр, и оценить возможность применения каждого из методов в этом случае.

Жаворонкова Т.