Пятый заочный конкурс учителей математики
Конкурс, в котором учитель может проверить свои профессиональные качества, проводится газетой «Математика» совместно с Московским центром непрерывного математического образования.
Что требуется от участников конкурса? Обычные учительские навыки — умение решать задачи и находить ошибки в решениях. О результатах 2009 года также читайте в № 22/2009.
Что дает участие в конкурсе? Все участники конкурса, решившие хотя бы одну задачу (то есть заработавшие за ее решение не менее 10 баллов), получают свидетельство участника. А победители конкурса, как и в предыдущие годы, будут награждены дипломами газеты «Математика» и учебно-методической литературой по математике. Кроме того, победители традиционно будут приглашены к участию в очном конкурсе или интернет-туре конкурса, которые пройдут в Москве в сентябре 2010 года.
Что нужно делать? Вам предлагается выполнить 8 заданий, разбитых на два блока: математический (задания 1–5) и методический (задания 6–8). Задание 9 выполнять не обязательно, но желательно.
Работы (не ксерокопированные и не сканированные) с пометой «На конкурс» следует выслать к нам в редакцию по адресу: редакция газеты «Математика», Издательский дом «Первое сентября», ул. Киевская, д. 24, Москва, 121165. Срок отправки работ — до 1 мая 2010 года (по почтовому штемпелю).
В работе необходимо указать: фамилию, имя, отчество; домашний адрес, телефон, адрес электронной почты (если есть); название учебного заведения, в котором вы работаете, а также среднюю недельную нагрузку в этом учебном году. Допускаются к участию и коллективные работы.
Всем участникам конкурса будет обеспечена анонимность участия и объективность проверки.
Приглашаем вас к участию в конкурсе и желаем успеха!
I. Математический блок
Решите задачи (1–5).
1. На шхуне капитана Врунгеля «Победа» (а потом «Беда») был четырехзначный номер. Номер был примечателен тем, что являлся квадратом целого числа. Во время шторма смыло первую цифру, и номер стал кубом целого числа. После следующего шторма смыло следующую цифру, и номер стал четвертой степенью целого числа. Какой номер мог быть на шхуне?
2. Рассмотрим все параболы
y = x2 + px + q,
пересекающие ось абсцисс в двух точках. Через три точки пересечения каждой параболы с осями координат проведем окружность. Докажите,
что на координатной плоскости существует точка, принадлежащая всем проведенным окружностям.
3. В летней математической школе на веранде корпуса было выставлено 10 различных пар ботинок. Щенок, играя, утащил 4 ботинка. Какова вероятность того, что среди украденных будет хотя бы два ботинка из одной пары?
4. Треугольник АВС вписан в окружность и еще проведена окружность через середины его сторон.
Рассмотрим третью окружность, которая касается описанной окружности в точке А и касается второй окружности внешним образом в точке А1. Аналогично определяются точки В1 и С1. Докажите, что прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке.
5. Докажите, что при a > 1 выполняется неравенство
8(a – 1)2 + (6 + 4a – 10a2)lna + (3a2 + 4a + 1)ln2a > 0.
II. Методический блок
В предложенных текстах (№ 6–8) могут содержаться математические ошибки (как в утверждениях, так и в ответах, решениях или доказательствах). Если утверждение неверно — приведите контрпример и найдите ошибки в доказательстве. Если неверно только решение (доказательство) — укажите ошибки и приведите верное решение (доказательство).
6. «Задача». Известно, что
x + y + z = a и x–1 + y–1 + z–1 = a–1.
Какие значения может принимать выражение
(x – a)(y – a)(z – a)?
«Ответ»: 0.
«Решение». Из второго равенства следует, что
(xy + yz + xz)a = xyz.
Пусть
xy + yz +zx = b.
Тогда, используя теорему Виета, получим, что
x, y и z – корни уравнения
t3 – at2 + bt – ba = 0.
Полученное уравнение можно записать в виде:
(t2 + b)(t – a) = 0,
тогда одним из корней этого уравнения является число a. Следовательно, хотя бы один из множителей искомого произведения равен нулю.
7. «Задача». Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух скрещивающихся прямых.
«Решение». Пусть прямые а и b — скрещиваются. Построим отрезок АВ — их общий перпендикуляр и плоскость γ, перпендикулярную АВ и проходящую через точку О — его середину
(см. рис.).
Пусть прямые a' и b' — ортогональные проекции прямых а и b на плоскость γ. Тогда любая точка М, лежащая на биссектрисе углов, образованных прямыми a' и b', равноудалена от прямых а и b.
Действительно, пусть MC и MD — перпендикуляры, опущенные из точки М на прямые a' и b' соответственно, A' и B' — ортогональные проекции точек С и D на прямые а и b. Тогда A'M ⊥ a' и B'M ⊥ b' (по теореме о трех перпендикулярах), значит, A'M ⊥ a и B'M ⊥ b. Кроме того, прямоугольные треугольники A'МC и B'MD равны (по двум катетам), поэтому A'M = B'M.
Если точка М не принадлежит ни одной из биссектрис указанных углов, то она не равноудалена от сторон угла, следовательно, не равноудалена от прямых а и b (если CM ≠ DM, A'C = B'D, то
A'M ≠ B'M).
Таким образом, искомое ГМТ — две перпендикулярные прямые, лежащие в плоскости γ.
8. «Теорема». Пусть h(x) = f(g(x)). Тогда если
∃g'(x0) и ∃f'(t0),
где
t0 = g(x0),
то
∃h'(x0) = f'(g(x0))∙g'(x0).
«Доказательство». Рассмотрим
∆h(x0) = h(x0 + ∆x) – h(x0) =
= f(g(x0 + ∆x)) – f(g(x0)) =
= f(g(x0) + ∆g(x0)) – f(g(x0)) =
= f(t0 + ∆t) – f(t0).
Кроме того, функция g(x) дифференцируема в точке x0, поэтому непрерывна в ней, следовательно, ∆t → 0 при ∆x → 0.
III. Аналитический блок
9. В различных школьных учебниках последовательность изучения тем различна. Например, в учебнике геометрии А.В. Погорелова разделы «Декартовы координаты на плоскости», «Движения» и «Векторы» изучаются в конце 8-го класса (именно в таком порядке), а «Площади фигур» — в конце 9-го класса. В учебнике
Л.С. Атанасяна и др. тема «Площадь» изучается в середине 8-го класса, тема «Векторы» — в конце 8-го класса, «Метод координат» — в начале 9-го класса, «Движения» — в конце 9-го класса.
С методической точки зрения оцените «плюсы и минусы» каждой из этих систем изложения курса геометрии основной школы.