Графический метод решения алгебраических задач с параметром
Демонстрационный вариант ЕГЭ-2009 [1] под номером В8 содержал следующую задачу.
Задача В8. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
| | x | + 5 – a | = 2 (1)
имеет ровно 3 корня.
В сборнике [2] предлагается следующий метод решения этой задачи (в [2] решение дано для аналогичной задачи из другого варианта КИМ).
1-й шаг. Поскольку правая часть уравнения (1) является положительным числом, это уравнение распадается на два уравнения (без всякого анализа знаков выражения | x | + 5 – a под внешним знаком модуля):
| x | + 5 – a = 2 ⇔ | x | = a – 3;
| x | + 5 – a = –2 ⇔ | x | = a – 7.
2-й шаг. На плоскости (x; y) построим графики функций y = | x |, y = a – 3, y = a – 7. Уравнение (1) имеет ровно 3 корня тогда и только тогда, когда прямая y = a – 3 пересекает график y = | x | в двух точках, а прямая y = a – 7 — в одной. Так как
a – 3 > a – 7, это возможно только в случае
| x | = a – 7 = 0, то есть для a = 7.
Итак, ответом задачи является единственное значение a: a = 7.
Описанный метод решения задачи с параметром в методической литературе называется прямым методом.
Он заключается в том, что уравнение (неравенство, система) с параметром начинает решаться как обычное уравнение (неравенство, система). Обычно до некоторого места рассуждения и характер вычислений совершенно не зависят от наличия параметра (как будто вместо него стоит конкретное число). Однако, начиная с некоторого места, рассуждения начинают зависеть от параметра. В сложных задачах это приводит к логическому «дереву случаев», состоящему из достаточно большого числа причудливо переплетенных «ветвей». Разобраться в структуре этого «дерева случаев» довольно тяжело.
Рассматриваемая задача очень легкая, так что больших сложностей с этим анализом не возникает. Тем не менее его нужно проводить, и он требует определенной культуры и аккуратности.
В общем, в прямой метод решения легко ввязаться, но в действительно интересных случаях, для задач сложных, из него довольно тяжело выбраться и довести решение до ответа.
Гораздо удобнее графический метод решения. Он заключается в следующем. В уравнении (неравенстве) с параметром a и неизвестной x следует рассмотреть величины a и x не как параметр и неизвестную, а как две равноправные переменные величины, и нарисовать на координатной плоскости (x; a) фигуру Φ,
задаваемую данным уравнением (неравенством). Тогда при заданном значении параметра a множество решений исходного уравнения является проекцией на ось абсцисс точек пересечения горизонтальной прямой, проведенной на высоте a, с фигурой Φ. Эту горизонтальную прямую удобно мыслить как движущуюся ось Ox. Тогда ее пересечение с вышеупомянутой фигурой непосредственно дает множество решений исходного уравнения (неравенства).
Поэтому, например, ответом задачи, в которой спрашивается, при каких a уравнение имеет три корня, будет множество значений a, при которых горизонтальная прямая, проведенная на высоте a, пересекает фигуру Φ ровно в трех точках. Этот метод особенно удобен, когда параметр входит в исходное уравнение линейно. В этих случаях исходное уравнение обычно удается преобразовать к виду a = f(x), то есть свести дело к построению графика функции f(x).
После этих общих соображений решим исходную задачу графическим методом.
Чтобы нарисовать на координатной плоскости (x; a) фигуру, задаваемую уравнением (1), следует, конечно, раскрыть внешний модуль:
| x | + 5 – a = 2,
| x | + 5 – a = –2.
Однако после этого нужно записать полученные равенства в виде a = f(x) (то есть разрешить их относительно a):
a = | x | + 3,
a = | x | + 7.
Таким образом, фигура Φ, задаваемая уравнением (1), является несвязной и состоит из двух частей (графиков функций a = | x | + 3 и a = | x | + 7).
Эта фигура изображена на рисунке 1. Этот рисунок немедленно дает ответ задачи: исходное уравнение имеет 3 корня тогда и только тогда, когда a = 7.
Следует особо подчеркнуть, что хотя в решении из [2] и появляются графики, сам этот метод решения, как метод решения задачи с параметром, не является графическим. Просто в использовавшемся прямом методе уравнение относительно x решалось не алгебраически, а графически.
Преимущество графического метода решения задач с параметром наиболее ощутимо проявляется для сложных задач. Рассмотрим, например, задачу С4 из демоверсии ЕГЭ-2004.
Задача С4. Найдите все значения параметра a, при которых множество решений неравенства
x(x – 2) ≤ (a + 1)(| x – 1 | – 1) (2)
содержит все члены некоторой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным 1,7, и положительным знаменателем.
Перед тем, как приступить к решению задачи, отметим, что фраза «множество содержит все члены некоторой ... прогрессии» означает: «существует ... прогрессия... все члены которой являются элементами этого множества».
Поскольку в неравенство (2) параметр входит линейно, можно нарисовать на плоскости (x; a) фигуру Φ, задаваемую этим неравенством. Для этого прежде всего стандартным способом освободимся от модуля:
Второе неравенство первой системы (то есть исходное неравенство (2) в случае x – 1 ≥ 0) равносильно неравенству:
(a + 1)(x – 2) – x(x – 2) ≥ 0 ⇔
⇔ (x – 2)(a – x + 1) ≥ 0,
так что оно распадается на две системы:
Аналогично, второе неравенство второй системы (3) (то есть исходное неравенство (2) в случае x – 1 < 0) равносильно неравенству:
(a + 1)x + x(x – 2) ≤ 0 ⇔ x(a + x – 1) ≤ 0,
так что оно распадается на две системы:
Соответственно, исходное неравенство (2) распадается на четыре системы:
Теперь не составляет никакого труда изобразить искомую фигуру Φ; это сделано на рисунке 2.
Как мы говорили, при заданном значении параметра a множество решений исходного неравенства образуется от пересечения с фигурой Φ числовой оси, проведенной на высоте a. В качестве примера на рисунке 2 рассмотрен случай a = 0,4.
Из рисунка 2 ясно, что при a ≤ 0 множество решений исходного неравенства — отрезок
[0; 2]. Это множество содержит число 1,7, и, каким бы ни был знаменатель q ∈ (0; 1), все остальные члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии с этим знаменателем образуют последовательность, которая, монотонно убывая, стремится к 0.
При a > 0 множество решений исходного неравенства будет состоять из двух отрезков (при a = 1 они выродятся в точки). Это множество содержит число 1,7 только для a ≤ 0,7. Для этих значений параметра множество решений исходного неравенства содержит и некоторый промежуток вида (0; ε].
Поэтому если знаменатель q настолько мал, что число b2 = b1q попадет в этот промежуток, то тем более и остальные члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии с этим знаменателем попадут в этот промежуток. Таким образом, все значения a ≤ 0,7 (и только они) удовлетворяют условию задачи.
Хотя это и не играет никакой роли для решения задачи, отметим, что при 0 < a < 1 множество решений неравенства (2) является объединением отрезков [0; 1 – a] и [a + 1; 2], так что в качестве ε можно взять число 1 – a, а q должно удовлетворять неравенству 
Более формальное решение предложено в
[3, с. 191–196]. Мы рекомендуем читателю сопоставить это решение с нашим.
Более подробно о применении описанного метода (его также называют метод координатной плоскости (x; a)) можно прочесть в [3]–[4].
Задачи для самостоятельного решения
1. При каких значениях параметра b уравнение | | x | + b | = 2x имеет три корня?
2. (Олимпиада «Ломоносов-2005», № 8.) Найдите все значения a, при которых уравнение
| | x + a | – 2x | – 3x = 7| x – 1 |
имеет не более одного корня.
3. (Геологический факультет МГУ, 2001, май, № 7.) При каких значениях y уравнение
3x + 6 | + | 3x – 8 | = yx + 12
имеет единственное решение x?
4. (Олимпиада «Покори Воробьевы горы», 2006, очный тур, № 3.) При каких значениях параметра a уравнение x∙2ax = 2 не имеет решений?
Ответы:
Литература
1. Единый государственный экзамен по математике. Демонстрационный вариант КИМ 2009 г. — М.: ФИПИ, 2008.
2. Самые новые реальные задания: ЕГЭ-2009: Математика / Авт.-сост. В.И. Ишина, Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков и др. — М.: АСТ: Астрель, 2009 (ФИПИ).
3. Сергеев И.Н. ЕГЭ. Математика. Задания типа С. — М.: Экзамен, 2009.
4. Фалин Г.И., Фалин А.И. Алгебра на вступительных экзаменах по математике в МГУ. — М.: Бином, 2006.