Решаем задачи по геометрии
| Элементы произвольного треугольника ABC обычно обозначаются так: BC, CA, AB — стороны; a, b, c — их длины; α, β, γ — величины противолежащих углов; ha, ma, la — высота, медиана и биссектриса, выходящие из вершины A; R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности; S — площадь, p — полупериметр. Отметим, что в отдельных задачах обозначения могут отличаться от стандартных. |
Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть
c2 = a2 + b2,
где c — гипотенуза треугольника.
Теорема 2. Для прямоугольного треугольника (рис. 1) верны следующие соотношения:
a = c cos β = c sin α = b tg α = b ctg β,
где c — гипотенуза треугольника.
Теорема 3. Пусть ca и cb — проекции катетов a и b прямоугольного треугольника на гипотенузу c, а h — высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу (рис. 2). Тогда справедливы следующие равенства:
h2 = ca∙cb, a2 = c∙ca, b2 = c∙cb.
Теорема 4 (теорема косинусов). Для произвольного треугольника справедлива формула
a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Теорема 5. Около всякого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Центр этой окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам. Центр описанной окружности лежит внутри треугольника, если треугольник остроугольный; вне треугольника, если он тупоугольный; на середине гипотенузы, если он прямоугольный (рис. 3).
Теорема 6 (теорема синусов). Для произвольного треугольника (рис. 4) справедливы соотношения
Теорема 7. Во всякий треугольник можно вписать окружность и притом только одну (рис. 5).
Центр этой окружности есть точка пересечения биссектрис трех углов треугольника. Центр вписанной окружности лежит всегда внутри треугольника.
Теорема 8 (формулы для вычисления площади треугольника).
4
Последняя формула называется формулой Герона.
Теорема 9 (теорема о биссектрисе внутреннего угла).
Биссектриса внутреннего угла треугольника (рис. 6) делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника, то есть
b : c = x : y.
Теорема 10 (формула для вычисления длины биссектрисы) (см. рис. 6)
.
Теорема 11 (формула для вычисления длины биссектрисы).
Теорема 12. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке на отрезки, длины которых относятся как 2 : 1, считая от вершины (рис. 7).
Теорема 13 (формула для вычисления длины медианы). 
Доказательства некоторых теорем
Доказательство теоремы 10. Построим треугольник ABC и проведем в нем биссектрису AD (рис. 8). Пусть CD = x и DB = y. Применим к треугольникам ABD и ACD теорему косинусов:
BD2 = AB2 + AD2 – 2∙AB∙AD∙cos ∠BAD;
CD2 = AC2 + AD2 – 2∙AC∙AD∙cos ∠CAD.
Или, что то же самое,
Выразим из каждого неравенства 
и приравняем полученные результаты:
Применив теперь к треугольнику ABC теорему о биссектрисе внутреннего угла, получим, что
Отдельно преобразуем выражение cx2 – by2:
Последнее равенство верно в силу того, что 
Имеем далее:
Если c ≠ b, то, сократив обе части равенства на c – b, получим требуемую формулу; если же c = b, то данная теорема сводится к теореме Пифагора.
Доказательство теоремы 11. Построим треугольник ABC и проведем в нем биссектрису AD (см. рис. 8). Имеем:
С другой стороны,
Приравнивая полученные двумя способами значения площади треугольника ABC, имеем:
При этом мы использовали формулу 
Доказательство теоремы 13. Построим треугольник ABC и проведем в нем медиану AA1 (см. рис. 7). Применим в треугольниках AA1B и AA1C теорему косинусов:
Или, что то же самое,
где ϕ = ∠AA1B. Так как cos (π – ϕ) = –cos ϕ, сложив последние два равенства, получим:
Решение задач
Задача 1. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены биссектриса CL и медиана CM (рис. 9). Найти площадь треугольника ABC, если LM = a, CM = b.
Решение. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Поэтому AM = BM = b,
откуда AL = b – a, LB = b + a. Применим к треугольнику ABC теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника:
Применив теперь к треугольнику ABC теорему Пифагора, получим:
откуда
А искомая площадь равна 
Ответ: 
Задача 2. В треугольнике ABC задана точка M на стороне AC, соединенная с вершиной B отрезком MB (рис. 10). Известно, что AM = 6,
MC = 2, ∠ABM = 60°, ∠MBC = 30°. Найти площадь треугольника ABC.
Решение. Применим к треугольникам ABM и BCM теорему синусов:
Так как треугольник ABC прямоугольный, то 
Разделив равенство (1) на равенство (2), с учетом sin ∠AMB = sin ∠BMC находим, что 
откуда ∠ACB = 60°.
Значит, площадь треугольника ABC равна 
Ответ: 
Задача 3. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, углом B, равным 30°, и катетом CA = 1 проведена медиана CD. Кроме того, из точки D под углом 15° к гипотенузе проведена прямая, пересекающая отрезок BC в точке F (рис. 11). Найти площадь треугольника CDF.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC. В нем 
значит, BD = CD = 1.
Применим теперь к треугольнику BDF теорему синусов:
Далее, так как треугольник CDB равнобедренный, имеем:
∠DCB = ∠DBC = 30° ⇒
⇒ ∠CDB = 120° ⇒ ∠CDF = 105°.
Значит,
Найдем, чему равен sin 105°:
Таким образом, 
Ответ: 
Задача 4. В треугольник ABC, все стороны которого различны, биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке D (рис. 12). Известно, что AB – BD = a, AC + CD = b. Найти длину отрезка AD.
Решение. Обозначим длину отрезка BD через x,
а длину отрезка CD через y. Тогда AB = a + x,
AC = b – y. Применив к треугольнику ABC формулу для вычисления длины биссектрисы, получим:
AD2 = AB∙AC – BD∙CD =
= (a + x)(b – y) – xy = ab – ay + bx – 2xy. (*)
Найдем значение этого выражения, воспользовавшись теоремой о биссектрисе внутреннего угла треугольника, примененной к треугольнику ABC:
Используя полученное равенство совместно с равенством (*), находим, что AD2 = ab, откуда
Ответ: 
Задача 5. В прямоугольном треугольнике меньший угол равен α. Перпендикулярно гипотенузе проведена прямая, делящая треугольник на две равновеликие части. Определить, в каком отношении эта прямая делит гипотенузу.
Решение. Пусть ∠A = α — меньший угол треугольника ABC, MK — данная прямая (рис. 13).
Ясно, что часть, содержащая точку A, является треугольником (а не четырехугольником). Далее, треугольники AKM и ABC подобны. По условию 
поэтому коэффициент подобия равен 
Значит, 
Из треугольника AKM находим, что AK = AM cos α. Следовательно,
Ответ: 
Задача 6. В треугольнике ABC сторона AB имеет длину 3, высота CD, имеет длину 
Основание D высоты CD лежит на стороне AB, длина отрезка AD равна длине стороны BC (рис. 14). Найти длину стороны AC.
Решение. Пусть AD = x, BC = x, тогда BD = 3 – x.
Применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику BCD, получим уравнение:
Применив теперь теорему Пифагора к треугольнику ACD:
Ответ: 
Задача 7. В треугольнике ABC (рис. 15) длина стороны AC равна 3, угол BAC равен 
и радиус описанной окружности равен 2. Доказать, что площадь треугольника ABC меньше 3.
Решение. Применим к треугольнику ABC теорему синусов:
Имеем далее:
Предположим, что S∆ABC = 3. Тогда
S∆ABC = 3 ⇔ sin ∠ACB = 1 ⇔ ∠ACB = 90°.
Значит,
Но с другой стороны имеем:
Следовательно, предположение о том, что S∆ABC = 3, неверно, и, значит, S∆ABC < 3, что и требовалось доказать.
Задача 8. В треугольнике ABC медианы AE и BD, пересекаются под прямым углом (рис. 16). Длина стороны BC равна a. Найти длины других сторон треугольника ABC, если AE2 + BD2 = d2.
Решение. Пусть O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Пусть OE = x и OD = y. Так как медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины, то OA = 2x и OB = 2y.
Условие AE2 + BD2 = d2 перепишем в виде
(*)
Из прямоугольного треугольника OBE и равенства 
применив теорему Пифагора, получим:
(**)
Далее, применив теорему Пифагора к треугольнику ABO, найдем, что
откуда 
Наконец, применив теорему Пифагора к треугольнику AOD, получим:
откуда 
Ответ: 
Задача 9. В треугольнике ABC биссектриса угла ABC пересекает сторону AC в точке K (рис. 17). Известно, что BC = 2, KC = 1, 
Найти площадь треугольника ABC.
Решение. Пусть AK = x. Тогда из теоремы о биссектрисе внутреннего угла, примененной к треугольнику ABC, следует, что
Применим к треугольнику ABC формулу для вычисления длины биссектрисы:
Значит, стороны треугольника ABC равны
AB = 3, 
и BC = 2, а полупериметр этого треугольника равен 
Воспользуемся формулой Герона:
Ответ: 
Задача 10. В треугольнике ABC длина стороны AC равна 5, сумма длин двух других сторон равна 7, косинус угла BAC равен 
(рис. 18). Найти площадь треугольника ABC.
Решение. Пусть AB = x, тогда BC = 7 – x. Применив к треугольнику ABC теорему косинусов, получим:
BC2 = AB2 + AC2 – 2∙AB∙AC∙cos ∠BAC ⇔
Следовательно, AB = 4, BC = 3. Так как
AB2 + BC2 = 42 + 32 = 52 = AC2, то по теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что треугольник ABC — прямоугольный и ∠ABC = 90°. Поэтому
Ответ: 6.
Задача 11. Длины сторон AB, BC и AC треугольника ABC в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию (рис. 19). Найти отношение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины A, к радиусу вписанной окружности.
Решение. Можем считать (применив, если нужно, подобие), что AB = 1. Пусть разность прогрессии равна d, тогда BC = 1 + d и AC = 1 + 2d.
Пусть h — длина высоты треугольника ABC, опущенной из вершины A. Имеем равенство:
Ответ: 3.
Задача 12. В треугольник ABC с длиной стороны BC, равной 9, вписана окружность, касающаяся стороны BC в точке D (рис. 20). Известно, что AD = DC и косинус угла BCA равен 
Найти длину стороны AC.
Решение. Пусть K и M — точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB соответственно. Пусть KC = x, тогда AD = CD = x,
BD = BM = 9 – x (так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны). Пусть AM = y, тогда и AK = y.
Применив теорему косинусов к треугольнику ADC, получим:
AD2 = AC2 + CD2 – 2∙AC∙CD∙cos ∠ACD ⇔
Применим теперь теорему косинусов к треугольнику ABC:
Следовательно, AC = x + y = 4.
Ответ: 4.
Задачи для самостоятельного решения
С-1. В треугольнике ABC сторона BC равна a и угол BAC равен α, причем AB ≠ AC. Медианы, проведенные из вершин B и C к сторонам AC и AB, обратно пропорциональны этим сторонам. Найдите стороны AC и AB треугольника.
С-2. В треугольнике ABC биссектриса AK перпендикулярна медиане BM, а угол ABC равен 120°. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади описанного около этого треугольника круга.
С-3. В треугольнике ABC известны стороны
AB = 40 и BC = 35. Кроме того, угол BAC равен 60°. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, где BD — биссектриса угла ABC.
С-4. В треугольнике ABC угол A прямой, AB = 1,
BC = 2. Биссектриса угла ABC пересекает сторону AC в точке L. Пусть Q — точка пересечения медиан треугольника ABC. Что больше: длина BL или длина BQ?
С-5. В треугольнике ABC 
Точка M лежит на стороне AB, точка O лежит на стороне BC, причем прямые MO и AC параллельны. Отрезок BM в 1,5 раза длиннее отрезка AM. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MO в точке P, лежащей между точками M и O, причем радиус окружности, описанной около треугольника AMP, равен 
Найдите длину стороны AC.
С-6. Внутри треугольника ABC взята точка K. Известно, что AK = 1, 
а величины углов AKC, ABK и KBC равны 120°, 15° и 15° соответственно. Найдите длину отрезка BK.
С-7. В прямоугольном треугольнике величина острого угла равна α, а радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен R. Найдите длину высоты треугольника, опущенной на гипотенузу.
С-8. Дан треугольник со сторонами 4, 8 и 9. Найдите длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.
С-9. Площадь треугольника ABC равна S, угол BAC равен α и AC = b. Найдите BC.
С-10. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AC точка D делит сторону BC в отношении 2 : 1, считая от вершины B, а точка E — середина стороны AB. Известно, что медиана CQ треугольника CED равна 
и DE равно 
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
С-11. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные на основание и боковую сторону, равны соответственно m и n. Найдите стороны треугольника.
С-12. Биссектриса одного из острых углов прямоугольного треугольника в точке пересечения с высотой, опущенной на гипотенузу, делится на отрезки, отношение длин которых равно 1 к 
считая от вершины. Найдите острые углы треугольника.
С-13. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c, а острый угол равен α. Найдите длину биссектрисы прямого угла.
С-14. В остроугольном треугольнике ABC дано, что BC = a, AC = b, F ACB = γ. Найдите высоту CD и угол ABC.
С-15. В треугольнике ABC биссектрисы BL и AE пересекаются в точке O. Известно, что AB =
= BL, периметр треугольника равен 28, BO = 2OL. Найдите AB.
С-16. В прямоугольном треугольнике ABC высота, опущенная на гипотенузу, равна 
а биссектриса прямого угла равна 
Найдите площадь треугольника ABC.
С-17. Середины высот треугольника лежат на одной прямой. Наибольшая сторона этого треугольника равна 10. Какое максимальное значение может принимать площадь треугольника?
С-18. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 20, а диаметр описанной окружности равен 25. Найдите радиус вписанной окружности.
С-19. Известно, что расстояние от центра описанной окружности до стороны AB треугольника ABC равно половине радиуса этой окружности. Найдите высоту треугольника ABC, опущенную на сторону AB, если она меньше 
а две другие стороны треугольника равны 2 и 3.
С-20. Вокруг треугольника MKH описана окружность радиуса R с центром в точке O. Длина стороны HM равна a. Известно, что HK2 – HM2 = HM2 – MK2. Найдите площадь треугольника OLK, где L — точка пересечения медиан треугольника MKH.
С-21. Среди треугольников KLM, у которых радиус описанной окружности равен 10, сторона KL равна 16, высота MH равна 3,9. Найдите угол KML того треугольника, медиана MN которого наименьшая.
С-22. В треугольнике ABC BC = AC = 12, AB = 6.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADC, где AD — биссектриса треугольника ABC.
С-23. В треугольнике ABC AB = c, AC = b, AD — биссектриса угла BAC. Через точку D проведена прямая, перпендикулярная прямой AD и пересекающая прямую AC в точке E.
Найдите AE.
С-24. В остроугольном треугольнике ABC угол ACB равен 75°, а высота, опущенная из вершины этого угла, равна 1. Найдите радиус описанной окружности, если известно, что периметр тре-угольника ABC равен 
Ответы:
