Факультативный курс «Линейные уравнения и неравенства с параметрами»

Занятие № 6 Линейная функция и ее график

Линейной называется функция, задаваемая уравнением вида y = kx + b, где x — независимая переменная или аргумент, а k и b — произвольные действительные числа. Графиком линейной функции является прямая. Задавая конкретные значения параметров, мы выделяем из множества линейных функций одну или несколько функций, обладающих тем или иным свойством. Множество функций, обладающих указанным свойством, называют семейством функций, а множество их графиков — семейством графиков (семейством прямых).
Упражнение 1. Каким общим свойством будут обладать все графики функций, задаваемых уравнениями вида y = kx – 1?
Упражнение 2. Из множества линейных функций выделите семейство графиков, задаваемых уравнениями вида y = 2x + p.
Итак, задавая значение параметра b, мы выделяем семейство линейных функций, графики которых проходят через точку (0; b). Задавая значение параметра k, мы выделяем семейство линейных функций, графики которых параллельны прямой y = kx.
Упражнение 3. При каком значении k график функции y = kx + 2 проходит через точку A(1; 4), а при каких через точку B(–2; 0)?
Упражнение 4. График функции y = kx + b проходит через точки A(0; –4) и B(3; 5). Найдите значения k и b.
Упражнение 5. График функции y = kx + b проходит через точку B(3; 5) и параллелен графику функции y = 2x. Найдите значения k и b.
Полезно напомнить, что параметр k называют угловым коэффициентом. Если угловые коэффициенты равны, то прямые или параллельны (при b1 ≠ b2), или совпадают (при b1 = b2); если угловые коэффициенты различны — прямые пересекаются.
Упражнение 6. При каких значениях параметра a графики данных функций пересекаются:
а) y = (2a – 1)x и y = (4a + 3)x + 2a;
б) y = ax + 6a и y = ax?
Упражнение 7. При каких значениях параметра a графики данных функций параллельны:
а) y = (3 – a)x + 1 и y = (a – 1)x + 5;
б) y = (a – 3)x + 2a и y = (3 – 2a)x + a;
в) y = (a – 2)x + 6 – a и y = (2a – 3)x + 2a + 3?
Упражнение 8. При каких значениях параметра a графики данных функций совпадают:
а) y = 2ax + 7 и y = 4ax + 7;
б) y = (5a – 3)x + 2a – 1 и y = (a + 1)x + 14 + a;
в) y = (5a – 3)x + 3a и y = (5a + 1)x + 3a?
Упражнение 9. Проанализируйте, как изменяется наклон прямой в зависимости от параметра k, на примере функции y = kx (прямая пропорциональность).

Задание на дом
1. При каких значениях параметра a прямые y = –ax + 2 и будут: пересекаться, совпадать, параллельны?
2. Найдите значения параметра a, при которых прямая y = ax + 2 пройдет через точку пересечения прямых y = 5x – 7 и y = 3x + 1?
3. Постройте графики функций:
а) y = | x |; б) y = | x | + 1; в) y = | x + 1 |.

Занятие № 7 Линейная функция и ее график

Цель этого занятия — познакомить учащихся с «плавающей» и «вращающейся» прямыми, разобрать решение задач с параметрами, где используются эти понятия. Учащиеся 7-го класса более подробно изучают только линейную функцию, а также знакомы с графиками вида y = x2 и y = x3. Однако им еще не знакомы преобразования графиков, а также не известны другие функции. Поэтому, чтобы расширить представление учащихся о графиках, полезно познакомить их с кусочно-заданными функциями и способами построения их графиков и еще раз обратить внимание на понятие области определения функции.

Упражнение 1. Постройте графики функций:
а) y = 1,5x – 2, где –2 ≤ x ≤ 2,
(график — отрезок);
б) y = 1,5x – 2, где x ≤ 2,
(график — луч, идущий влево,
с началом в точке (2; 1));
в) y = 1,5x – 2, где x ≥ –2,
(график — луч, идущий вправо,
с началом в точке (–2; –5)).

Упражнение 2. Постройте графики кусочно-заданных функций и графики функций, содержащих знак модуля:
а)  в) y = | x | – 2;
б) г) y = | x – 2 | – 2.

Далее знакомим учащихся с понятиями «плавающей» и «вращающейся» прямых.

Упражнение 3. Постройте семейство прямых:
а) y = a;
б) y = ax.
Семейство прямых, задаваемых уравнением вида y = a — это прямые, параллельные оси абсцисс («плавающая» прямая). Семейство прямых, задаваемых уравнениями вида y = ax — это прямые, проходящие через начало координат («вращающаяся» прямая). Полезным будет вспомнить, что с увеличением a прямая вращается против часовой стрелки.

Упражнение 4. Сколько общих точек имеют графики функций из упражнения 2 и прямая
y = a в зависимости от значения параметра a?
Решение.

Ответ:

а) при a < 0 или a > 3 — нет точек пересечения;
при 0 ≤ a < 3 — две общие точки;
при a = 3 — одна общая точка;

б) при a < –2 или a > 2 — нет точек пересечения;
при –2 < a < 2 — одна общая точка;
при a = ±2 — бесконечное множество общих точек;

в) при a < –2 — нет точек пересечения;
при a = –2 — одна общая точка;
при a > –2 — две общие точки;

г) при a < –2 — нет точек пересечения;
при a = –2 — одна общая точка;
при a > –2 — две общие точки.

Упражнение 5. Сколько общих точек имеют графики функций из упражнения 2 и прямая
y = ax в зависимости от значений параметра a?
Решение.

Ответ:

а) при a < 0 или a > 1 — одна общая точка;
при 0 ≤ a < 1 — две общие точки;
при a = 1 — бесконечное множество общих точек;

б) при a ≤ 0 или a > 1 — одна общая точка;
при 0 < a < 1 — три общие точки;
при a = 1 — бесконечное множество общих точек;

в) при a ≤ –1 или a ≥ 1 — одна общая точка;
при –1 < a < 1 — две общие точки.

Комментарий. В данном примере нужно обратить внимание учащихся на то, что количество общих точек будет зависеть от того, параллельна ли прямая y = ax какому-либо участку графика или нет. Условие параллельности — равенство угловых коэффициентов.
г) при a < –1 или a ≥ 1 — одна общая точка;
при a = –1 — бесконечное множество общих точек;
при –1 < a < 1 — две общие точки.

Задание на дом
1. Сколько общих точек имеют прямая y = a и ломаная, задаваемая условием

2. Найдите все значения параметра a, при которых прямая y = ax пересечет в двух различных точках ломаную

3. Решите уравнение (a – 1)(a – 5)x = a – 1. Придумайте задачу с графиками функций, где пришлось бы решать данное уравнение.

Занятие № 8 Линейная функция и ее график

Упражнение 1. Найдите координаты точки пересечения прямых, заданных уравнениями
y = ax + 5 и y = 1,5x + 0,5b,
если известно, что график первой прямой проходит через точку A(–2; 3), а второй — через точку B(3; 4).

Упражнение 2. Найдите все значения параметра a, при которых графики функций
y = (2a – 3)x + a – 7 и y = (4a – 1)x + 5 – 3a
параллельны. Постройте графики этих функций при найденных значениях параметра a.

Упражнение 3. Найдите общие точки функций
y = (4 – a)x + a и y = ax + 2.
Решение. Абсциссы общих точек двух графиков можно найти из уравнения
(4 – a)x + a = ax + 2.
Приведя уравнение к стандартному виду, получим:
(2a – 4)x = 2 – a.
Допустимые значения переменных — любые числа. Решим это уравнение относительно переменной x.
Если 2a – 4 = 0, то есть a = 2, то получим уравнение 0∙x = 0. Его корнями являются любые числа, поэтому графики функций совпадают. Общие точки графиков — прямая y = 2x + 2.
Если a ≠ 2, то x = –0,5, а ордината точки пересечения y = –0,5a + 2.
Ответ: при a = 2 координаты общих точек — (x; 2x + 2), где x — любое число;
при a ≠ 2 координаты общих точек — (–0,5; –0,5a + 2).

Упражнение 4. При каких значениях параметров b и k графики функций y = kx – 4 и y = 2x + b
симметричны относительно:
а) оси абсцисс; б) оси ординат?
Ответ: а) при b = 4, k = –2; б) при b = –4, k = –2.

Упражнение 5. Сколько общих точек имеет график функции

с графиком функции:
а) y = ax; б) y = ax + 3?

Упражнение 6. При каких значениях параметра b графики функций y = | x | + x – 2 и y = b:
а) не пересекаются;
б) пересекаются более чем в одной точке?

Упражнение 7. При каких значениях параметра c графики функций

и y = cx пересекаются в одной точке?

Задание на дом
1. При каких значениях параметра c графики функций y = | x | + 2 и y = cx пересекаются в одной точке?
2. Найдите все значения параметра a, при которых точка пересечения прямых x – y = a и 0,2y – x = 3
лежит на оси абсцисс.
3. При каких значениях параметра p прямая y = px + 2 образует с осями координат треугольник, площадь которого равна 16?

Занятие № 9 Уравнение с двумя переменными и его график. Координатная плоскость Oxa

Равенство, содержащее две переменные, называется уравнением с двумя переменными. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство. Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения. Соотнесение уравнения и геометрического места точек плоскости — один из самых важных шагов в развитии мышления учащихся.

Упражнение 1. Какие из пар чисел (–3; 9),
(–2; 4), (–1; 3), (0; 2), (1; –3), (2; 0), (3; 4) являются решениями уравнения:
а) x2 – y = 0; б) x + y = 2?

Упражнение 2. Постройте графики уравнений:
а) | x – 2 | = 0; б) 2x + 4y = 1;
в) | x – 1 | + (y + 2)2 = 0;
г) 2ax2 – 3x2 – 9y + 6ay = 0 при a = 1,5.
Ответ: а) прямая x = 2;
б) прямая y = –0,5x + 0,25;
в) точка (1; –2);
г) вся координатная плоскость.

Упражнение 3. Найдите все общие точки уравнений x2 – y = 0 и x + y = 2.
Ответ: (–2; 4), (1; 1).
Далее знакомим учащихся с графическим способом решения уравнений с параметром. При этом рассматриваем уравнение с параметрами как уравнение с двумя неизвестными, график которого существует, но только в плоскости Oxa. Сначала рассмотрим уравнение, которое может быть решено как графически, так и аналитически. Далее — уравнение, аналитический способ решения которого явно громоздкий.

Упражнение 4. Решите уравнение
(| x | – 4)(x + 2a) = 0.
Решение. Уравнение (| x | – 4)(x + 2a) = 0 можно решить как аналитически, так и графически. Разберем оба способа.
Способ I (аналитический). В данном случае произведение равно 0, если один из множителей равен 0, то есть | x | – 4 = 0 или x + 2a = 0. Отсюда x = ±4 или x = –2a.
Если –2a = ±4, то есть a = ±2, то уравнение имеет два корня: x = ±4,
Если a ≠ ±2, то три корня: x = ±4 или x = –2a.
Способ II (графический). Построим график уравнения в системе координат Oxa.

График уравнения — прямые x = 4, x = –4 и a = –0,5x. Проводим горизонтальные прямые
a = α. В зависимости от α находим решения уравнения как абсциссы точек пересечения прямой a = α с графиком уравнения (ось ординат не y, а параметр a).
Ответ: при a = ±2 x = ±4;
при a ≠ ±2 x = ±4 и x = –2α

Упражнение 5. Решите уравнение
(x2 – a2)(a – 1 – | x |) = 0.
Решение. Построим график уравнения
(x2 – a2)(a – 1 – | x |) = 0
в системе координат Oxa. Это прямые a = x, a = –x и график функции a = | x | + 1. Проводим горизонтальные прямые a = α. В зависимости от α находим решения уравнения как абсциссы точек пересечения прямой a = α с графиком уравнения. Получаем, что при a < 0 уравнение имеет два корня: x = ±a; при a = 0 — один корень x = 0; при 0 < a < 1 — два корня: x = ±a; при a = 1 — три корня: x = 0 и x = ±a; при a > 1 — четыре корня: x = ±a и x = ±a + 1.

Ответ: при a < 0 или 0 < a < 1 x = ±a;
при a = 0 x = 0;
при a = 1 x = 0 и x = ±a;
при a > 1 = ±a и x = ±a + 1.
Обратим внимание учащихся на то, что графическим способом удобно находить количество решений уравнения с параметрами.

Упражнение 6. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно три корня?
Решение.

Графиком уравнения будут парабола a = x2 и прямая x = –2. Необходимо также учесть область определения a ≠ x. Проводим горизонтальные прямые a = α и получаем, что уравнение будет иметь ровно три корня: при 0 < a < 1, 1 < a < 4, a > 4.

Ответ: при 0 < a < 1, или 1 < a < 4, или a > 4
уравнение имеет ровно три корня.

Задание на дом
1. Докажите, что уравнение
(a – | x – 1 |)(a + x2) = 0
при любых значениях параметра a имеет два различных корня.
2. Постройте графики уравнений:
а) | x – 1 | + (x + y)2 = 0; б) x2 = 4y2;
в) 
3. При каких значениях параметра a две прямые ax – y = –2a и x – ay = 2 будут пересекаться, совпадать или будут параллельны?

Занятие № 10 Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Одним из способов решения систем уравнений является графический способ.
Упражнение 1. Решите графически систему уравнений

Решение. Упростив формулу, задающую вторую функцию, получим: y = –x2, x ≠ ±2. Тогда график первого уравнения — прямая, а график второго уравнения — парабола с двумя выколотыми точками (x ≠ ±2).
Ответ: (–3; –9).

Упражнение 2. При каких значениях параметра a система

имеет единственное решение?

Решение. Решим задание графически. Построим в одной системе координат графики уравнений, входящих в систему, то есть y = | x | – 4 и y = ax. Из рисунка видно, что графики будут иметь одну общую точку при a ≤ –1 или a ≥ 1.
Ответ: при a ≤ –1 или a ≥ 1 система имеет единственное решение.

Упражнение 3. При каких значениях параметра a система

имеет решения?
Решение. Графиком первого уравнения системы является пара точек на координатной плоскости: (1; 2) и (–1; 2). График второго уравнения — прямая y = 0,5ax – 1,5. Чтобы система имела решения, необходимо, чтобы прямая проходила через точки (1; 2) или (–1; 2). Подставляя координаты этих точек в уравнение прямой
y = 0,5ax – 1,5, получим:
0,5a – 1,5 = 2 или –0,5a – 1,5 = 2.
Откуда a = 7 или a = –7.
Ответ: при a = ±7 система имеет решения.
Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax + by = c, где
a2 + b2 > 0, то есть значение хотя бы одного из коэффициентов (параметров) должно быть отлично от нуля. Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая линия.

Определение. Системой двух линейных уравнений с двумя переменными называется система вида

где a1, a2, b1, b2 — действительные числа, причем
и

Определение. Решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара значений этих переменных, обращающая в верное равенство каждое уравнение системы.
Так как каждому уравнению системы можно поставить в соответствие прямую, то решением системы будут являться координаты точек пересечения этих прямых.
Две прямые на плоскости могут быть параллельны, пересекаться или совпадать. В связи с этим и системы линейных уравнений могут иметь единственное решение, не иметь решений или иметь бесконечное множество решений. Для ответа на вопрос о количестве решений системы уравнений полезно заполнить с учащимися таблицу.

Алгоритм определения количества решений системы линейных уравнений

Упражнение 4. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

не имеет решения.
Решение. Система не имеет решений, если выполняются условия

То есть должно быть

Отсюда a2 = 4, a = ±2.
Если a = 2, то a2 + a – 2 = 4, то есть что неверно.
Если a = –2, то a2 + a – 2 = 0, то есть что верно.
Ответ: при a = –2 система не имеет решений.

Упражнение 5. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет бесконечно много решений.
Решение. Система имеет бесконечно много решений, если выполняются условия

то есть

Отсюда a2 – 3a = 0, то есть a = 0 или a = 3.
Если a = 3, то  — верно.
Если a = 0, то  — неверно.
Ответ: при a = –3 система имеет бесконечно много решений.

Упражнение 6. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.
Решение. Система имеет единственное решение, если выполняется условие то есть

Отсюда a2 ≠ 16, a ≠ ±4.
Ответ: при a ≠ ±4 система имеет единственное решение.

Упражнение 7. Для каждого значения параметра a определите число решений системы уравнений

Задание на дом
1. При каких значениях параметра a система

имеет:
а) одно решение;
б) бесконечно много решений;
в) не имеет решений?
2. Постройте графики уравнений:
а) | x – 1 | + (x + y)2 = 0; б) x2 = 4y2;
в) 
3. При каких значениях параметра a прямые ax – y = –2a и x – ay = 2 будут пересекаться, совпадать или будут параллельны?

Занятие № 11 Системы линейных уравнений

Упражнение 1. Числа a и b таковы, что система уравнений

имеет единственное решение (1; 1). Найдите a и b.
Решение. Если x = 1, y = 1 — решение системы, то при подстановке данных значений в систему получаем:

Отсюда a = 1, b = –1 или a = –1 и b = 1. Система должна иметь единственное решение. Проверим, выполняется ли условие при найденных значениях параметров.
Если a = 1, b = –1, то  — верно.
Если a = –1, b = 1, то  — неверно.
Ответ: при a = 1 и b = –1 система имеет единственное решение.

Упражнение 2. Найдите все значения параметра b, при каждом из которых система уравнений

имеет бесконечное множество решений, причем одно из этих решений x = 1, y = 3.

Упражнение 3. При каких значениях параметров a и b равносильны системы уравнений

Решение. Системы уравнений равносильны, если имеют одинаковые множества решений. Графиком каждого уравнения этих систем является прямая, причем прямые второй системы пересекаются Значит, и прямые первой системы также должны пересекаться, причем в той же точке. Итак, все четыре прямые пересекаются в одной точке. Найдем эту точку, решив систему Решение системы — точка (3; 0). Подставив ее координаты 4

в уравнения с параметрами, получим: 3a = b + 1 и 6 = a2 + 2. Откуда a = 2, b = 5
или a = –2, b = –7. Проверим, пересекаются ли уравнения первой системы при найденных значениях параметров, то есть выполняется ли условие
Если a = 2, b = 5, то условие не выполняется значит, найденные значения параметров не подходят.
Если a = –2, b = –7, то получим: что верно.
Ответ: при a = –2, b = –7 системы уравнений равносильны.

Упражнение 4. Решите систему уравнений

Упражнение 5. Решите систему уравнений

Решение. Выразим из второго уравнения переменную x и подставим в первое уравнение системы. Получим:

Преобразуем первое уравнение системы к виду: a(a + 3)y = –(a + 3). Допустимые значения переменных — любые числа. Коэффициент при y равен 0, если a = 0 или a = –3. При a = 0 получим уравнение 0жy = –3, которое не имеет корней. При a = –3 получим уравнение 0∙y = 0, которое имеет бесконечное множество корней, y— любое число. Если a ≠ 0 и a ≠ –3, то уравнение имеет единственный корень
Ответ: при a = 0 система не имеет решений;
при a = –3 x = 1 + 3y, y ∈ R;
при a ≠ 0 и a ≠ –3 x = 2,

Упражнение 6. При каких значениях параметра a система

имеет единственное решение? Найдите это решение.

Решение. Решим задачу графически. Построим графики уравнений системы в одной системе координат и по рисунку определим, при каких значениях параметра a графики имеют одну общую точку. y = | x + 2 | — прямой угол с вершиной в точке (–2; 0). y = ax + 1 — «вращающаяся» прямая, центр вращения — (0; 1). Чтобы определить угловой коэффициент прямой y = ax + 1, проходящей через вершину «угла», подставим ее координаты в уравнение прямой. Получим: –2a + 1 = 0, отсюда
a = 0,5. Если a ≤ –1, то абсциссу точки пересечения находим из уравнения x + 2 = ax + 1.
Отсюда
Аналогично при a > 1.
Ответ: при a ≤ –1 решение системы точка при a = 0,5 — точка (–2; 0); при
a > 1 — точка

Задание на дом
1. При каких значениях параметра p система уравнений

имеет решение?
2. При каких значениях параметра m система линейных уравнений

3

имеет одно решение, бесконечно много решений, не имеет решений?
3. Зная, что a < b, сравните:
а) 3a и 3b; б) –5a и –5b;
в) a – 4 и b – 4; г)
4. Верно ли, что если a < b, то:
а) a + 3 < b + 12; б) a – 6 < b – 2;
в) 2a < 2b + 2; г) –2a < –2b?

Окончание следует.

Овчинникова Т.