Квадрат из 1000 частей

Верно ли, что любой прямоугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?
Эта замечательная задача на геометрическую интуицию в более сложном варианте — о разрезании треугольника на 1000 частей, из которых требуется сложить квадрат, — была предложена С. Маркеловым для Московской математической олимпиады в 2005 г.
Сначала зададимся таким вопросом: «А можно ли из произвольного прямоугольника сложить квадрат?» Если не ограничивать число частей, то ответ положительный. (Такая задача была, например, на Турнире Ломоносова в 1980 г., она разобрана в книге В.О. Бугаенко «Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике».)
А как быть, если число частей ограничено? Тысячью или, например, десятью? После нескольких неудачных попыток можно заметить,
в чем же может быть одно из препятствий.
Пусть площадь исходного прямоугольника равна S. Площадь квадрата, который мы сложим из частей прямоугольника, разумеется, тоже будет равна S. Значит, отрезок максимальной длины, который содержится в полученном квад­рате, — а это его диагональ (см. рис.), имеет длину
И если исходный прямоугольник был очень-очень вытянутым, например, с длинным основанием и очень маленькой высотой, то он имеет очень длинную диагональ, которая может быть численно больше S и в миллион раз.
Разрезав прямоугольник на 1000 частей, мы разрежем диагональ не более чем на 1000 частей, и хотя бы один из «кусков» диагонали будет настолько длинным, что не «влезет» в квадрат. Это противоречие и доказывает, что ответ на вопрос задачи должен быть отрицательным.
Решим же нашу задачу.
Рассмотрим, например, прямоугольник со сторонами, равными 10 000 и Его площадь равна 1. Предположим, что его можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квад­рат. Тогда сторона этого квадрата должна быть равна 1.
После разрезания прямоугольника на 1000 частей, хотя бы одна из частей, на которые окажется разрезанной его диагональ (а ее длина больше 10 000), будет иметь длину не менее 10. И она заведомо не может поместиться в квадрат со стороной 1. (Отрезок максимальной длины, который можно уместить в этот квадрат, имеет длину )