Устные упражнения на уроках по теории вероятностей и статистике

1. Какие из следующих событий являются невозможными, какие достоверными, какие случайными?
А: Футбольный матч команд «Локомотив» и «Динамо» закончится вничью.
Б: Вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее.
В: На день рождения вам подарят говорящую лошадь.
Г: 1 сентября будет контрольная работа по математике.
Д: 30 февраля будет вьюга.
Е: Когда вы вырастите, вас выберут президентом России.
Ответ: невозможные события — В, Г, Д; достоверное — Б; случайные — А, Е.

2. Охарактеризуйте события:
А: Вода в реке замерзает при температуре плюс 25 градусов по шкале Цельсия.
Б: После воскресенья наступит понедельник.
В: При телефонном звонке абонент оказался занят.
Г: «Наступило утро» и «Пошел дождь».
Д: «Идет дождь» и «На небе нет ни облачка».
Е: «Бутерброд упал маслом вниз» и «Бутерброд упал маслом вверх».
Ж: Бутерброд упал.
З: Вода в чайнике закипает при 100 градусах по шкале Цельсия.
Ответ: А — невозможное; Б —достоверное; В — случайное, возможное; Г — возможное, случайное, совместное; Д — невозможное, несов­местное; Е — равновозможные; Ж — случайное, возможное; З — достоверное.

3. В коробке лежат 10 красных, 2 синих и
1 белый шар. Из коробки наугад вынимают два шара. Какие из следующих событий являются достоверными, какие невозможными, какие случайными?
А: Вынули два красных шара.
Б: Вынули два синих шара.
В: Вынули два белых шара.
Г: Вынули шары разных цветов.
Д: Вынули два шара.
Е: Вынули два кубика.
Ответ: достоверное событие — Д; невозможные — В, Е; случайные — А, Б, Г.

4. В школе учится N человек. При каких значениях N событие «В школе есть ученики с совпадающими днями рождения» является случайным, а при каких — достоверным?
Ответ: при N ≤ 366 данное событие случайное, при N > 366 — достоверное (по числу дней в году).

5. В коробке лежат 20 белых шаров, 2 черных и 1 красный. Из нее наугад вынимается один шар. Какое из следующих событий является более вероятным?
А: Вынутый предмет окажется белым шаром.
Б: Вынули черный шар.
В: Вынули красный шар.
Г: Вынули разноцветный шар.
Ответ: более вероятным событием является событие А.

6. Сколькими способами двое учащихся могут занять места за одной двухместной партой в классе?
Ответ: двумя. Пояснение. Один слева, другой справа или наоборот.

7. Назовите все двузначные числа, в записи которых встречаются только цифры 0, 1 и 2, при условии, что в записи чисел цифры:
а) различны;
б) могут повторяться.
Ответ: а) 10, 12, 20, 21;
б) 10, 11, 12, 20, 21, 22.

8. Назовите все трехзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 4 и 5.
Ответ: 444, 445, 454, 455, 544, 545, 554, 555.

9. Папе, маме и их взрослому сыну подарили два билета в Большой театр. Сколько существует различных вариантов посещения театра?
Ответ: 3 варианта (ПМ, ПС, МС).

10. Сколько различных трехзначных чисел можно составить с помощью цифр 3, 4 и 5, при условии, что цифры в записи числа не повторяются.
Ответ: шесть вариантов (345, 354, 435, 453, 534, 543).

11. Ира и Оля пришли в магазин, где продавались в достаточном количестве шоколада «Аленка», «Бабаевский» и «Вдохновение». Каждая из них купила по одной плитке. Сколько существует способов покупки?
Ответ: девять вариантов. Пояснение. Ира может купить плитку шоколада любого из трех видов, но и Оля также может выбрать один из трех видов, значит, всего существует 3∙3 = 9 способов покупки.

12. У Насти 3 брюк и 5 блузок, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды она может составить?
Ответ: 15.

13. Четыре подруги решили обменяться фотографиями на память (причем каждая девочка подарила каждой подружке по одной фотографии). Сколько всего фотографий было подарено?
Ответ: 12 фотографий. Пояснение. Каждая из четырех девочек подарила подружкам 3 фотографии, следовательно, всего было подарено 4∙3 = 12 фотографий.

14. Сколько различных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 и 5?
Ответ: 120 различных чисел. Пояснение. Задача сводится к подсчету числа перестановок из 5 элементов. При этом первая цифра может занимать 5 позиций, вторая — 4, третья — 3, четвертая — 2, а пятая — 1, следовательно, всего возможно 5∙4∙3∙2∙1=120 перестановок, а значит, и 120 различных чисел.

15. В таблице приведены результаты решения задач (в баллах) на школьной олимпиаде по математике:
По данным таблицы ответьте на вопросы:
а) Кто из участников занял первое место?
б) Кто занял второе? третье?

в) Какое задание вызвало у учащихся наибольшую трудность? Почему?
г) Кто из участников набрал одинаковое число баллов?
д) Сколько баллов «стоило» каждое задание, если известно, что каждое задание решил абсолютно верно хотя бы один из участников?
е) Кто из участников набрал ровно половину возможных баллов?
ж) Были ли среди заданий такие, за решение которых участники получили одинаковое число баллов?

Ответ: а) участник № 3 занял первое место, участник № 13 — второе, участник № 2 — третье;
б) наибольшую трудность у учащихся вызвало задание № 4 (с ним справился только один участник);
в) одинаковое число баллов за олимпиаду набрали участники под номерами: 4, 12, 14; 6 и 8; 10 и 11;
г) задание № 1 — 4 балла; задание № 2 — 6 баллов; задание № 3 — 6 баллов; задание № 4 — 10 баллов; задание № 5 — 10 баллов; задание № 6 — 8 баллов;
д) участник № 2;
е) задания № 3 и № 4.

16. Предположим, вам необходимо оценить вероятность исходов в экспериментах по подбрасыванию монеты, кнопки, кубика, пуговицы.
В каких из этих ситуаций вы готовы дать ответ, не проводя самого эксперимента? Почему?
Ответ: в ситуации подбрасывания монеты или кубика, так как они представляют собой симметричные математические объекты.

17. Сравните частоту событий.
А: При бросании монеты выпадет «орел».
Б: При бросании монеты выпадет «решка».
Ответ: частота событий одинаковая 

18. Найдите частоту событий.
А: При бросании кубика выпадет число 1.
Б: При бросании кубика выпадет число 6.
В: При бросании кубика выпадет четное число очков.
Г: При бросании кубика выпадет нечетное число очков.
Д: При бросании кубика выпадет число 0.
Е: При бросании кубика выпадет любое натуральное число от 1 до 6.
Ответ: Е — 1.

19. Какие из событий, рассмотренных в задании № 18, можно назвать:
а) достоверными;
б) невозможными;
в) равновозможными;
г) случайными?
Ответ: а) достоверное — Е; б) невозможное — Д;
в) равновозможные — А и Б; В и Г; г) случайные — все, кроме события Д.

20. Сравните частоту наступления событий А и Г в задании № 18.
Ответ: частота наступления события А меньше, чем частота события Г, так как

21. Сравните между собой шансы наступления событий.
А: Новый электрический чайник не сломается в течение месяца.
Б: Новый электрический чайник не сломается в течение года.
Ответ: А более вероятно, чем событие Б. Пояснение. Всякий раз наступление события Б означает, что наступило и событие А. Обратное же неверно: электрический чайник может исправно работать в течение ближайшего месяца, а в следующем сломаться.

22. Сравните между собой шансы наступления событий.
А: Новый телевизор не сломается в течение пяти ближайших лет.
Б: Новый компьютер не сломается в течение пяти ближайших лет.
Ответ: дать однозначный ответ в этой ситуации невозможно.

23. После десяти бросаний двух кубиков сумма 12 не была получена ни разу. Можно ли утверждать, что вероятность этого события равна нулю?
Ответ: нет, нельзя (слишком мало сделано испытаний).

24. О каком событии идет речь? «Из 31 учащегося в классе хотя бы у одного день рождения 31 февраля».
Ответ: о невозможном событии. Пояснение. В феврале не бывает 31 день.

25. Охарактеризуйте вероятность случайного события: «Купленная в магазине электролампа оказалась неисправной».
Ответ: событие маловероятное. Пояснение. Как правило, исправность ламп продавец проверяет перед продажей.

26. В непрозрачном пакете лежат 12 конфет «Мишка на Севере» и 8 конфет «Мишка косолапый». Какова вероятность того, что вынутая наугад конфета окажется «Мишкой на Севере»?
Ответ: . Пояснение. Число всех возможных исходов равно 20, число благоприятных исходов 12, значит, вероятность данного события равна 0,6.

27. В коробке лежат 15 красных и 35 белых шаров. Из нее наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что он будет красным?
Ответ: 0,3. Пояснение. Всего в коробке 50 шаров (число всех равновозможных исходов), число благоприятных исходов равно 15, значит, вероятность равна

28. Из карточек с буквами русского алфавита произвольно достается одна карточка. Какова вероятность того, что на карточке будет изображена гласная буква?
Ответ: Пояснение. Всего в русском алфавите 33 буквы (число всех равновозможных исходов), из них гласных букв 10 (число благоприятных исходов), следовательно, вероятность равна

29. Из слова СОБЫТИЕ случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется согласной?
Ответ: Пояснение. Всего в данном слове 7 букв (число всех равновозможных исходов), из них согласных букв 3 (число благоприятных исходов), следовательно, вероятность того, что вытянутая буква окажется согласной, равна

30. При наборе номера телефона абонент забыл последнюю цифру номера и набрал ее наугад. Какова вероятность того, что он правильно набрал нужный ему номер?
Ответ: Пояснение. Число всех равновозможных исходов равно 10, благоприятный исход только 1; следовательно, вероятность правильного выбора последней цифры равна 0,1.

31. Бросают две монеты. Какова вероятность того, что появятся:
а) два «орла»; б) «орел» и «решка»?
Ответ:

32. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. На класс выделили одно место на поездку в Англию. Решили разыграть поездку по жребию. Сравните вероятность наступления событий.
А: Поездку выиграл мальчик.
Б: Поездку выиграла девочка.
Ответ: вероятность события Б выше. Пояснение. Всего в классе 30 человек (число всех равновозможных исходов), число благоприятных исходов события А равно 12, вероятность события А равна число благоприятных исходов события Б равно 18, вероятность этого события равна Так как 0,6 > 0,4, то вероятность события Б выше.

33. В корзине лежат яблоко и груша. Из корзины достают один фрукт. Какова вероятность того, что достали яблоко?
Ответ:

34. В корзине лежат два яблока и одна груша. Из корзины одновременно достают два фрукта. Какова вероятность того, что оба фрукта яблоки?
Ответ: Пояснение. Из трех равновозможных событий ЯЯ, ЯГ, ГЯ, благоприятный исход только один — ЯЯ, значит, вероятность равна

35. В коробке находятся 3 ручки с черной, 4 с красной и 5 с синей пастой. Наугад вынимается одна ручка. Найдите вероятность того, что вынута:
А: Ручка с черной пастой.
Б: Ручка с красной пастой.
В: Ручка с синей пастой.
Г: Ручка.
Д: Не ручка, а карандаш.
Е: Ручка не с черной пастой.
Ж: Жучка не с красной пастой.
З: Ручка не с синей пастой.
И: Ручка с черной, или красной, или синей пастой.
К: Ручка с зеленой пастой.
Ответ:

36. Какие из перечисленных в задании № 35 событий являются:
а) достоверными;
б) невозможными;
в) случайными?
Ответ: а) достоверными являются события Г и И; б) невозможными — Д и К; в) случайными — А, Б, В, Е, Ж, З.

37. Наугад называется натуральное число от
1 до 30. Какова вероятность того, что это число:
а) 10; б) не 10; в) четное; г) нечетное; д) простое; е) составное; ж) больше 28; з) не меньше 28; и) кратно 5; л) не кратно 5.
Ответ:

38. Саша забыла две последние цифры номера телефона поликлиники и набрала их наугад. Какова вероятность того, что она сразу же дозвонилась до поликлиники?
Ответ: 0,01. Пояснение. Каждую и двух последних цифр можно набрать одним из 10 способов, следовательно, вероятность правильного набора необходимого номера телефона равна 0,1∙0,1 = 0,01.

39. Три человека пришли в гости в одинаковых шляпах, положили их на полку, а уходя, надели их наугад. Какое количество исходов можно выбрать в таком эксперименте, чтобы они были равновозможными?
Ответ: 6 исходов, каждый из которых равновозможен. Пояснение. Обозначим шляпу первого человека цифрой 1, второго — цифрой 2, третьего — цифрой 3, тогда исходом эксперимента можно считать любую перестановку из чисел 1, 2 и 3: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

40. Сколькими способами можно расставить на книжной полке четырехтомник А.С. Пушкина? Какой из них предпочтителен?
Ответ: 24 способа расстановки данных книг. Пояснение. Первую книгу можно расставить 4 способами, вторую уже тремя, третью — двумя, четвертую — только одним, следовательно, всего существует 4∙3∙2∙1 = 24 способа. Предпочтительно поставить книги по номерам томов: № 1, № 2, № 3, № 4.

41. Мама купила яблоки, сливы и груши и решила сварить из фруктов компоты, используя в каждом случае только два из названных видов фруктов. Сколько различных компотов можно сварить при этих условиях?
Ответ: 3 (ЯС, ЯГ, СГ).

42. Назовите событие, противоположное указанному в данном испытании:
а) при бросании монеты выпала «решка»;
б) при бросании игральной кости выпало 6 очков.
Ответ: а) при бросании монеты выпал «орел»; б) при бросании игральной кости выпало меньше 6 очков.

43. Вероятность попадания некоторым стрелком одним выстрелом по бегущей мишени равна 0,8. Какова вероятность того, что этот стрелок промахнется, сделав выстрел?
Ответ: 0,2. Пояснение. Так как сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то вероятность промаха может быть найдена как разность чисел 1 и 0,8.

44. Вероятность выигрыша, приходящегося на один билет в школьной лотерее, равна 0,67. Какова вероятность получения невыигрышного лотерейного билета?
Ответ: 0,33 (1 – 0,67 = 0,33).

45. Могут ли быть противоположными события C и D, если:
а) P(C) = 0,12, а P(D) = 0,78;
б) P(C) = 0,14, а P(D) = 0,86.
Ответ: а) нет, так как сумма вероятностей не равна 1; б) да, так как сумма вероятностей равна 1.

46. Найдите медиану ряда чисел: 14,7; 15,3; 15,4; 15,5; 16,1; 16,9; 18,4; 19,9; 20,2; 21,8; 25,1.
Ответ: 16,9. Пояснение. Числа записаны в порядке возрастания, их нечетное число (одиннадцать), значит, медианой данного ряда чисел будет число, стоящее посередине ряда (6-е по счету), а именно 16,9.

47. Найдите медиану и среднее арифметическое ряда чисел: 9; 8; 5; 4; 2.
Ответ: медиана равна 5; среднее арифметическое 28 : 5 = 5,3.

48. Сравните медиану и среднее арифметическое ряда чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ответ: медиана равна 3,5 (среднее арифметическое двух средних чисел); среднее арифметическое тоже равно 3,5 (21 : 6 = 3,5).

49. Найдите моду ряда чисел:
а) 5; 2; 4; 5; 5; 5; 4; 4; 5; 5; 5;
б) 2, 3, 4, 5.
Ответ: а) мода равна 5; б) данный ряд моды не имеет.

50. Найдите медиану, моду, размах и среднее арифметическое ряда чисел:
а) 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90;
б) 15; 18; 20; 26; 26; 27;
в) –35; –33; –22; –20; 35;
г) –12; –6; –4; 0; 0; 0; 4; 6; 12.
Ответ: а) медиана равна 50; данный ряд моды не имеет; размах равен 80 (90 – 10 = 80); среднее арифметическое равно 50 (450 : 9 = 50); б) медиана равна 23; мода 26; размах равен 12; среднее арифметическое равно 22; в) медиана равна –22; данный ряд моды не имеет; размах равен 70; среднее арифметическое равно –15; г) медиана равна 0; мода равна 0; размах равен 24; среднее арифметическое равно 0.

51. Температура на планете Меркурий колеблется от минус 150 градусов Цельсия до плюс 350. Найдите размах изменения температуры на планете.
Ответ: 350 – (–150) = 500 градусов Цельсия.

52. Размах некоторого числового ряда равен нулю. Что можно сказать про этот ряд?
Ответ: все числа этого ряда одинаковые.

53. Найдите размах, моду и медиану ряда чисел:
а) –3; –2; –2; –2; –1; 0; 1; 1; 2; 3; 3; 4;
б) 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6.
Ответ: а) размах равен 7; мода равна –2; медиана равна 0,5; б) размах равен 5; данный ряд моды не имеет; медиана равна 3.

54. В ряду чисел 3; 8; 15; 24; 30; ... пропущено последнее число. Найдите это число, если размах ряда равен 40.
Ответ: 43.

55. Известно, что ряд данных чисел состоит из натуральных чисел. Может ли для этого ряда быть дробным числом:
а) мода; б) размах; в) медиана; г) среднее арифметическое?
Ответ: а) нет; б) нет; в) нет; г) да.

56. В ряду чисел ...; ...; 9; 12 пропущены два числа, одно из которых в два раза меньше другого. Найдите эти числа, если среднее арифметическое этого ряда чисел равно 6.
Ответ: 1; 2. Пояснение. (х + 2х +9 +12) : 4 = 6;
3х + 21 = 24; 3х = 3; х = 1.

57. Вычислите: а) 3!; б) 4!; в) 5!; г)1!
Ответ: а) 3! = 6 (1∙2∙3); б) 4! = 24 (1∙2∙3∙4 или 3!∙4 = 6∙4); в) 5! = 120 (1∙2∙3∙4∙5 или 4!∙5 = 24∙5); г) 1!=1.

58. Какой цифрой заканчивается 6!?
Ответ: цифрой 0.

59. Сколькими нулями заканчивается число 5!?
Ответ: одним.

60. Делится ли 11!:
а) на 2; б) 3; в) 5; г) 6; д) 9; е) 10; ж) 100?
Ответ: а) да; б) да; в) да; г) да; е) да; ж) да. Пояснение. 11! = 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10∙11. Числа 2, 3, 5, 6, 9 и 10 являются множителями данного числа, а число, делящееся на 100, можно получить, например, умножением чисел 4, 5 и 10.

61. Вычислите:

Ответ: а) 8; б) 4; в) 56; г) 2; д) 4; е) 9; ж) 2.

62. Вычислите: а) 2!∙5; б) 5!∙2. Какой результат больше и во сколько раз?
Ответ: а) 10 (1∙2∙5 = 10); б) 240 (1∙2∙3∙4∙5∙2 = 240). Второй результат больше в 24 раза.

63. В классе 7 учащихся успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать двоих из них для участия в математической олимпиаде?
Ответ:

64. Одновременно бросают 3 монеты.
а) Сколько равновозможных исходов у этого эксперимента?
б) С какой вероятностью все монеты упадут на одну сторону?
в) С какой вероятностью выпадет хотя бы один «орел»?
Ответ: а) 8 исходов (ООО, ООР, ОРО, ОРР, РРР, РОО, РОР, РРО);

65. Из коробки с двумя белыми и двумя красными шарами вынимают одновременно, не глядя, два шара. Какова вероятность того, что они оба красные?
Ответ: Пояснение. Число всех возможных исходов будет равно числу сочетаний из 4 по 2, то есть 6. Из них только один исход будет благоприятным.

66. В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется способов освещения коридора?
Ответ: 8 способов. Пояснение. Каждая из трех лампочек может гореть или не гореть независимо друг от друга. Поэтому число возможных исходов можно найти по правилу умножения испытаний, а именно: 2∙2∙2 = 8.

67. Встретились 6 друзей, и каждый пожал руку своему другу. Сколько было сделано рукопожатий?
Ответ: 15. Пояснение. Первый из друзей сделал 5 рукопожатий, второй — 4 (неучтенных ранее рукопожатий), третий — 3, четвертый — 2, пятый — только одно, шестой — ни одного, так как все рукопожатия уже учтены.
Следовательно, всего было сделано 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 рукопожатий.

68. При встрече 8 человек обменялись друг с другом адресами. Сколько при этом было сделано обменов?
Ответ: 28. Пояснение. (8∙7) : 2 = 28.

69. На соревнование по шашкам прибыли 11 девочек и 6 мальчиков, и каждый участник сыграл по одной игре с каждым из остальных.
а) Сколько встреч было между девочками?
б) Сколько встреч было между мальчиками?
Ответ:
а) 55 (10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55);
б) 21 (6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21).

Литература
1. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Основы статистики и вероятность. — М.: Дрофа, 2008.
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. — М.: Просвещение, 2005.
3. Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных (дополнительные параграфы к курсу алгебры 7–9 кл.). — М.: Мнемозина, 2005.

 

Муштакова Л.