Решение уравнений с помощью оценки их левой и правой частей

Цель урока-практикума:
— закрепление навыков решения уравнений с помощью оценки их левой и правой частей;

Ход урока

Организационный момент
Класс делится на три группы. Каждая группа учащихся выбирает своего капитана и повторяет методы решения уравнений.

Жеребьевка
Капитаны выходят к доске и по очереди называют имеющиеся методы решения уравнений. Более подробно прошу остановиться на «Методе оценки». За каждый метод капитан получает 1 балл. Капитан, набравший наибольшее количество баллов, имеет право выбора для своей группы карточки с открытым заданием. Уравнения, записанные на карточках, прошу решить «Методом оценки».

Работа в группах
Карточка № 1
Решите уравнение (1–2).

Карточка № 2
Решите уравнение (1–2).

Карточка № 3
Решите уравнение (1–2).
1. (cos 6x – cos 4x)2 = 5 – sin 3x.
2. log2 (2x – x2 + 15) = x2 – 2x + 5.
Для уравнений, предложенных учащимся, рациональным вариантом решения является метод оценки значений ее левой и правой частей.

K1

Решение. Так как x2 + x + 1 > 0 при всех
x ∈ R, то областью допустимых значений переменной является любое число. Пусть

В силу ограниченности косинуса 0 ≤ f(x) ≤ 1.
Так как
Равенство f(x) = g(x) возможно, если значения функций равны 1 одновременно:

Решим уравнение (2):

x = 0 является корнем уравнения (1). При x = –1
cos2 (–1∙sin (–1)) ≠ 1.
Ответ: 0.

Решение. Область допустимых значений определяется системой неравенств

Так как функции и y = lg t  возрастающие и x ∈ [0; 1), то

Так как   — функция убывающая

Решениями уравнения будут значения переменной x, при которых каждое слагаемое равно нулю, при этом

где 0 ≤ x ≤ 1. Решим уравнение (1): x = 0. При x = 0 уравнения (2) и (3) обращаются в верные равенства, следовательно, x = 0 — единственный корень уравнения (1).
Ответ: 0.

K2

Решение. –1 ≤ sin x ≤ 1, y = 3t — функция возрастающая, значит, 3–1 ≤ 3sin x ≤ 3t, то есть


при x ∈ R. Значит, уравнение имеет корни только в том случае, если

Решением уравнения (1) является

Решим уравнение (2):

Следовательно, должно выполняться равенство поэтому Число l будет целым, если k = 2 + 3p, p ∈ Z. Тогда решением уравнения (1) является


Ответ:

2. tg2 3x = cos 2x – 1.
Решение. Запишем уравнение в виде tg2 3x = –2sin2 x. Так как tg2 3x ≥ 0, а –2sin2 x ≤ 0, то уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда

Решением уравнения (1) являются числа k ∈ Z, а уравнения (2) — x = πn, n ∈ Z. Решением системы будут являться числа x = πn, n ∈ Z.
Ответ: πn, n ∈ Z.

K3

1. (cos 6x – cos 4x)2 = 5 – sin 3x.
Решение. Левая часть уравнения не превосходит 4, так как | cos 6x – cos 4x | ≤ 2, а правая не меньше 4. Отсюда следует, что уравнение имеет решения при выполнении условий

Если справедливо равенство (1), то

При этом

Из (3) и (4) следует, что равенство (2) верно тогда, когда cos 4x = 1, то есть когда число 4n + 1 делится на 3. Числа вида 4n + 1 кратны 3 при n = 2, n = 5, n = 8, ..., то есть при n = 3k + 2, k ∈ Z, следовательно,

Ответ:

2. log2 (2x – x2 + 15) = x2 – 2x + 5.

Решение. Оценим левую часть уравнения:
2x – x2 + 15 = –((x2 – 2x + 1) – 1 – 15) = –(x – 1)2 + 16 ≤ 16.
Если 0 < 2x – x2 + 15 ≤ 16, то log2 (2x – x2 + 15) ≤ 4 (y = log2 t — функция возрастающая).
Оценим правую часть уравнения:
x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4 ≥ 4.
Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда

Решением уравнения (2) является x = 1.
При x = 1 уравнение (1) примет вид
log2 (2 – 1 + 15) = 4, что верно.
Следовательно, x = 1 является корнем уравнения.

Ответ: 1.

Защита решений

Представитель группы, определяемый капитаном, рассказывает решение у доски. Учащиеся из других групп имеют право задавать вопросы по обоснованию и уточнению решения. Учитель, в случае необходимости, оказывает помощь выступающим и дает оценку группе.

Задание на дом

Поменяться заданиями в группах.
Решите методом оценки уравнение
.

Ответ: (2; –2 + πn); (–2; 2 + πn), n ∈ Z.

Хорхордина А.