Тема урока: «Метод оценки при решении уравнений и неравенств»

Без уроков обобщения и систематизаций знаний процесс усвоения учебного материала нельзя считать завершенным. Основная цель таких уроков заключается в усвоении учащимися взаимосвязей между понятиями, в формировании у них целостного представления об изучаемом материале, его применении в конкретных условиях.

Цели урока:
— повторить свойства элементарных функций (нахождение области определения и множества значений);
— познакомить учащихся с приемом решения нестандартных заданий путем оценки левой и правой частей уравнений, неравенств;
— развивать умение наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать математические ситуации.
Оборудование: карточки с заданиями, оценочные листы, графопроектор.

Ход урока

Урок начинается с вводной беседы, в которой учитель отмечает, что нахождение множества значений функции часто вызывает у учащихся значительные трудности, в то же время есть уравнения и неравенства, решаемые с помощью оценки левой и правой частей, и здесь приходится находить множество значений, которые может принимать каждая часть уравнения или неравенства.

Этап 1

Устная работа в течение 3 минут.
1. Что называют областью определения функции?
2. Что называют множеством значений функции?
3. Укажите множество значений функции:

Ответы: а) б) (–∞; 5]; в) [1; 2]; г) [1; +∞); д) [1; +∞); е) (–∞; 7) ∪ (7; +∞); ж) (–∞; 1) ∪ (1; +∞); з) (–∞; 5]; и) [3; +∞); к) [2; +∞); л) [1; +∞); м) (–∞; –1].

Этап 2

Класс делится на 2 группы: первая группа (первый ряд) — учащиеся, занимающиеся на «3»; вторая группа (второй, третий ряд) — учащиеся, занимающиеся на «4» и «5».
На столах — листы с заданиями для самостоятельной работы.
1-я группа выполняет А1–А12, В2, В3.
2-я группа выполняет А8–А15, В1, В4, С1.
Проверка: сначала проверяются задания, выполненные первой группой, при этом учащиеся второй группы следят за ответами, затем проверка заданий второй группы. Задания уровней В и С проверяются с помощью графопроектора.
За каждое правильно выполненное задание уровня А — 1 балл, уровня В — 2 балла, уровня С — 4 балла.

Самостоятельная работа

Уровень А

Найдите область значений функции (1–15).

Уровень В

1. Найдите наименьшее значение функции
g(x) = log0,5 (2 – x2).

2. Найдите наибольшее значение функции
y = 25∙2cos x cos 3x + sin 4x sin 3x – 2.

3. Найдите наименьшее значение функции


4. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [1; 3].

Уровень С
Решите уравнение (1–2).

2. x2 + 18x + 82 = (1 – lg (x + 10))(1 + lg (x + 10)).

Ответы:

Уровень А: 1. [4; 6].  2. [–3; –1].  3. [–5; 5].  
4. [3; 5].  5. [3; 4].  6. (–2; +∞).  7. (–∞; +∞).  8. [–4; +∞).
9. [1; +∞).  10. [–3; +∞).  11.  12. [5; +∞).
13. [3; +∞).  14. (–∞; –5]. 15.    
Уровень В: 1. –1.  2. 12,5.  3. 1.  4. 3.
Уровень С: 1. x = 3. Квадратичная функция
t = x2 – 6x + 13 ограничена снизу (ветви параболы направлены вверх). Функцию можно представить в виде при всех действительных значениях х. Правая часть уравнения при любом х. Равенство возможно, если значения и левой части, и правой части уравнения равны 1, что выполняется при х = 3.  
2. x = –9. Перепишем уравнение в виде (x + 9) 2 + 1 = 1 – lg2 (x + 10). Левая часть уравнения может принимать значения только большие или равные 1, а значения правой части, наоборот, всегда меньше или равны 1. Равенство верно, если обе части уравнения принимают значение 1, то есть при x = –9.
Баллы заносятся в оценочные листы.

Этап 3

Индивидуальная самостоятельная работа. Выполняется по вариантам.
Дано уравнение f(x) = a. Какие из уравнений не имеют корней? Поставьте в соответствующей клетке таблицы «+», если есть корни, или «–», если нет корней.

По окончанию работы учащиеся проверяют вариант соседа по парте. Затем – проверка с места с комментариями учащихся. За каждое правильно выполненное задание дается 1 балл и в оценочный лист выставляется сумма полученных баллов.

Этап 4

Решение уравнений и неравенств методом оценки в течение 10 минут.
Метод оценки основывается на утверждении: если некоторое число n является наибольшим значением функции f(x) и одновременно наименьшим значением функции g(x), то уравнение f(x) = g(x) равносильно системе двух уравнений

1. Решить уравнение
Решение. Оценим левую часть уравнения: x2 + 2 ≥ 2 при любом x, отсюда так как показательная функция 2t возрастает на всей числовой прямой. Оценим правую часть уравнения:
0 ≤ sin2 x ≤ 1 ⇒ –1 ≤ –sin2 x ≤ 0 ⇒ 3 ≤ 4 – sin2 x ≤ 4.
Значит исходное уравнение равносильно системе двух уравнений:
Решим первое уравнение

Проверим, удовлетворяет ли число 0 уравнению 4 – sin2 x = 4. Равенство верно, так как sin 0 = 0.

Ответ: 0.

2. Решить неравенство
Решение. Оценим квадратичную функцию t = x2 – 4x + 5. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, значит, функция ограничена снизу. Найдем координаты вершины параболы: x0 = 2, t0 = 1.
Тогда t ≥ 1 при любом х, и в силу монотонности показательной функции.
Оценим функцию q = 4x – 2 – x2. Эта квадратичная функция ограничена сверху, координаты вершины параболы: x0 = 2, q0 = 2. Следовательно, q ≤ 2. Исходное неравенство равносильно системе уравнений

Эти равенства верны при x = 2.

Ответ: 2.

Этап 5

Обучающая самостоятельная работа на 5 минут.

Решите уравнение (1–3).

Ответы: 1. 0.  2. 1.  3. 2.

Проверка решения проводится с помощью графопроектора.
За правильно решенное задание — 2 балла в оценочный лист.

Этап 6

Собираются оценочные листы. Максимально можно было заработать 47 баллов.

Критерии оценки:
отметка «5» — 40–47 баллов;
отметка «4» — 33–39 баллов;
отметка «3» — 25–32 балла.
Подводится итог урока.

Задание на дом

Решите уравнение (1–6).
. 

Сергеева Н.