Турнир Архимеда. Московская математическая регата. 10 класс
7 марта 2009 года в Московском городском дворце детского (юношеского) творчества состоялась математическая регата 10-х классов, в которой приняли участие 58 команд из Москвы, Долгопрудного, Костромы, Королёва, Переславля и Селятино.
Многие команды — участники регаты показали высокие результаты, поэтому призами (математической литературой) были награждены 17 команд. Тринадцать лучших команд были награждены также дипломами Турниров Архимеда. Дипломами первой степени были награждены одна из команд СУНЦ МГУ и команда школы № 57.
Полные итоги регаты опубликованы на сервере МЦНМО (http://www.mccme.ru/olympiads). Там же можно найти материалы регат предыдущих лет. Подробно о том, как проводятся математические регаты, и материалы всех прошедших регат — см. Московские математические регаты / Cост.: А.Д. Блинков, В.М. Гуровиц, Е.С. Горская. — М.: МЦНМО, 2007.
Тексты решений опубликованы в том виде, в котором они готовились для работы жюри.
Условия задач
Первый тур
(10 минут; каждая задача — 6 баллов)
1.1. Найдите значение выражения 
если
x2 + y2 = 6xy и x ≠ y.
1.2. При показе итогов регаты изображение вылезло за пределы квадратного экрана на 20 см (с каждой стороны). На какое наименьшее расстояние (выраженное целым количеством сантиметров) надо приблизить экран к проектору, чтобы изображение поместилось на экран полностью, если «угол зрения» проектора равен 60°?
1.3. Кузнечик прыгает по координатной прямой. Сначала он прыгает из точки с координатой 0 в точку с координатой 1, а длина каждого следующего прыжка вдвое больше предыдущего. Сможет ли он вернуться в исходную точку, двигаясь подобным образом? (Направление каждого прыжка: влево или вправо – не зависит от направления предыдущего прыжка.)
Второй тур
(15 минут; каждая задача — 7 баллов)
2.1. Решите систему уравнений
2.2. Найдите наибольший периметр параллелограмма, диагонали которого 6 см и 8 см.
2.3. В футбольном турнире участвовали 5 команд. Каждая команда сыграла с каждой по одному разу (выигрыш — 3 очка, ничья — 1 очко, проигрыш — 0). Все участники, кроме победителя, набрали очков поровну. Каков наименьший возможный отрыв команды-победителя?
Третий тур
(20 минут; каждая задача — 8 баллов)
3.1. Изобразите такой график функции, определенной на отрезке [–4; 4], что при повороте на 90°° с центром в начале координат он переходит в себя.
3.2. Биссектрисы углов треугольника АВС пересекают стороны ВС, СА и АВ в точках P, Q и R соответственно. Р1 – точка пересечения прямой, проходящей через точку Р параллельно АВ, со стороной СА. Аналогично определяются точки Q1 и R1. Найдите сумму
если длины сторон исходного треугольника равны а, b и с.
3.3. Найдите все натуральные числа, которые можно представить в виде 
где m и n — также натуральные числа.
Четвертый тур
(25 минут; каждая задача — 9 баллов)
4.1. Пусть an — целое число, ближайшее к 
Найдите все такие натуральные n, что
4.2. На гипотенузе АВ равнобедренного прямоугольного треугольника АВС отмечены точки М и N так, что угол МСN равен 45° (точка M лежит между А и N). Докажите, что
АМ2 + BN2 = MN2.
4.3. Дано 51 различное натуральное число, меньшее 100. Докажите, что из них можно выбрать шесть таких чисел, что никакие два из выбранных не имеют одинаковых цифр ни в одном разряде.
Пятый тур
(15 минут; каждая задача — 7 баллов)
5.1. Числа а, b, x, y удовлетворяют равенствам: (a + b)(x + y) = 1 и (a2 + b2)(x2 + y2) = 1.
Докажите, что ax + by ≥ 0.
5.2. На столе стоит правильная треугольная пирамида РАВС (сделанная из стекла), все ребра которой равны 1 (рис. 1). Муравей ползет из точки М, лежащей на луче АВ на расстоянии 2 от точки В, в точку N — середину ребра РС. Найдите длину его кратчайшего пути.
5.3. Найдите все целые решения уравнения k(k + 1) = n3.
Решения задач
1.1. 
Способ I. Так как
то
Способ II. Пусть 
(x ≠ 0, так как в противном случае из равенства в условии следует, что
y = 0). Тогда, разделив все члены исходного равенства на x2, получим, что t2 – 6t + 1 = 0. Корни этого уравнения: 
Тогда 
1.2. На 35 см.
Посмотрев на ситуацию «в профиль», получим следующую картинку (рис. 2), где А — проектор, PQ и Р1Q1 — начальное и искомое положения экрана соответственно. Рассмотрим прямоугольный треугольник Р1РВ: BP = 20 см;
Изображение полностью поместится на экран, если
Оценим полученное число исходя из условия задачи. Так как 
то 
При этом 
поскольку 
< 352 = 1225.
1.3. Нет, не сможет.
Заметим, что длины прыжков кузнечика являются последовательными степенями двойки: 1, 2, 4, 8... Далее можно рассуждать различными способами.
Способ I. Поскольку длина первого прыжка нечетна, а остальные длины прыжков — четные, то и сумма длин всех прыжков нечетна. А для того, чтобы вернуться в начальную точку, кузнечику нужно преодолеть путь четной длины.
Способ II. Заметим, что в любой момент длина последнего прыжка больше, чем сумма длин всех предыдущих прыжков:
2n > 1 + 2 + 22 + ... + 2n – 1 = 2n – 1.
Это означает, что после n – 1 прыжков кузнечик не может оказаться от начала координат на расстоянии 2n.
2.1. (1; 1); (−1; 1).
Так как y = 1 является одним из решений последнего уравнения, то, разделив многочлен в левой части этого уравнения на (y – 1), получим уравнение y3 + y2 + 5y + 1 = 0. При y ≥ 0,5 левая часть полученного уравнения принимает только положительные значения, поэтому других корней, удовлетворяющих данной системе уравнений, оно не имеет. Если y = 1, то x4 = 1 ⇔ x = ±1.
2.2. 20 см.
Докажем, что среди всех параллелограммов с данными длинами диагоналей наибольший периметр имеет ромб.
Действительно, пусть a и b — длины соседних сторон параллелограмма, а d1 и d2 — длины его диагоналей (рис. 3). Тогда периметр параллелограмма P = 2(a + b).
Из равенства 
выражающего теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма, следует, что у всех параллелограммов с данными диагоналями сумма квадратов сторон есть величина постоянная. По неравенству между средним арифметическим и средним квадратичным:
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда a = b. Значит, параллелограмм с наибольшим периметром является ромбом.
Находим сторону этого ромба:
Комментарий. Отметим, что вместо теоремы о сумме квадратов диагоналей параллелограмма можно было дважды использовать теорему косинусов (например, для треугольников АОВ и BОC), выразив стороны а и b через длины диагоналей и угол ϕ между диагоналями (см. рис. 3). Далее используется то же самое неравенство.
2.3. 1 очко.
Меньшим, чем 1 очко, разрыв быть не может. Приведем пример турнирной таблицы, удовлетворяющей условию, где требуемый разрыв составляет 1 очко (рис. 4):
3.1. См., например, рисунок 5.
Комментарий. Поясним, что в этом примере искомая функция f — нечетная и f(0) = 0; f(1) = 2; f(2) = –1; f(3) = 4; f(4) = –3.
3.2. 
Из подобия треугольников АВС и P1PC следует, что 
то есть 
(рис. 6).
Выразим PC через стороны треугольника АВС. Для этого используем свойство биссектрисы треугольника: 
и равенство
PB + PC = BC = a. Из системы уравнений
получим, что 
Следовательно, 
Аналогично находим, что
Тогда искомая сумма:
3.3. В указанном виде можно представить любое натуральное число.
Пусть m = n + 2, где n — некоторое натуральное число. Тогда
Следовательно, для требуемого представления произвольного натурального числа x достаточно, чтобы 
Тогда при n = 2x – 1, m = 2x + 1
получим, что 
Комментарий. Отметим, что для некоторых натуральных чисел возможны и другие способы представления, например, 
4.1. 1056.
Способ I. Обратим внимание на следующую закономерность:
1) a1 = a2 = 1, то есть 
2) a3 = a4 = a5 = a6 = 2, то есть 
и т.д.
Докажем указанную закономерность, обосновав ее сначала для уже рассмотренных частных случаев:
1) a1 = a2 = 1, поскольку
2) a3 = a4 = a5 = a6 = 2, поскольку
В общем виде докажем, что для любых натуральных n a(n – 1)n + 1 = a(n – 1)n + 2 = ... = a(n – 1)n+ 2n = n.
Поскольку (n – 1)n + 2n = n(n + 1), то достаточно показать, что выполняется система неравенств
Раскрывая модули и преобразуя, получим равносильную систему неравенств:
Неравенства в последней системе очевидны, поэтому утверждение доказано.
Таким образом, если последовательно брать группы из двух, четырех, шести и так далее дробей, то сумма дробей в каждой группе будет равна 2. Значит, для получения суммы, равной 64, необходимо взять 32 группы, то есть
2 + 4 + 6 + ... + 64 = 33∙32 = 1056 слагаемых.
Способ II. Рассмотрим несколько первых членов натурального ряда и заметим, что в этом ряду между квадратами, числами m2 и (m + 1)2, стоит ровно 2m чисел. Действительно,
(m + 1)2 – m2 = 2m + 1.
Для первых m чисел этого промежутка an = m, а для следующих m чисел an = m + 1. Действительно,
m2 + m = (m + 0,5)2 – 0,25,
то есть
а
m2 + m + 1 = (m + 0,5)2 + 0,75,
то есть
Разобьем теперь натуральный ряд на интервалы постоянства an и найдем их длины. Слева от числа вида (m + 1)2 будет m чисел, для которых an = m + 1, а справа будет m + 1 таких чисел. Всего чисел, для которых an = m + 1, будет
m + 1 + (m + 1) = 2(m + 1).
Следовательно, сумма обратных величин для этих чисел равна
По условию сумма чисел в первых k интервалах равна 64, следовательно, k = 32. Искомое число n соответствует последнему числу последнего интервала, то есть
n = k2 + k = k(k + 1) = 32∙33 = 1056.
Поскольку при увеличении количества членов их сумма увеличивается, то найденное решение – единственное.
4.2. Способ I. Мысленно «перегнем чертеж» по лучам CM и СN и докажем, что в этом случае точки А и В «попадут» в одну и ту же точку D (рис. 7).
Действительно,
∠ ACM + ∠ BCN = 45° = ∠ MCN,
то есть лучи СА и СВ при перегибании совпадают, и СA = CD = СB.
Следовательно,
∠ MDN = ∠ MDC + ∠ NDC = ∠ MAC + ∠ NBC = 90°.
Из прямоугольного треугольника MDN, по теореме Пифагора, получим:
MN2 = MD2 + ND2 = AM2 + BN2.
Комментарий. Основную часть этого способа решения можно более строго изложить, например так. Рассмотрим 
— поворот на 90° (по часовой стрелке) с центром в точке С. Тогда 
(см. рис. 7). С другой стороны, так как угол между прямыми CM и CN равен 45° (вдвое меньше, чем 90°), то рассмотренный поворот можно представить в виде композиции двух осевых симметрий: 
Пусть D = SCN(B) — образ точки В при симметрии относительно прямой СN. Тогда 
то есть точки А и D симметричны относительно прямой СМ.
Так как осевая симметрия сохраняет расстояния между точками и углы между прямыми, то
DN = BN, DM = AM,
∠ NDC = ∠ NBC = 45°,
∠ MDC = ∠ MAC = 45°.
Способ II. Достроим треугольник АВС до квадрата KАCB, обозначив точки пересечения лучей СМ и CN со сторонами квадрата через Р и Q (рис. 8).
Докажем, что точка С является центром вневписанной окружности треугольника PKQ, касающейся стороны PQ.
Действительно, выполняются два условия:
1) точка С лежит на биссектрисе угла PKQ;
2) угол между биссектрисами внешних углов P и Q треугольника PKQ равен:
Проведем перпендикуляр CD к отрезку PQ, являющийся радиусом вневписанной окружности (наряду с отрезками СА и СВ). Так как
CA = CD = CB, то треугольники САР и СDР, СBQ и СDQ — пары равных треугольников (в обоих случаях прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе). Следовательно, DM = AM и DN = BN. Кроме того, ∠ MDC = ∠ MAC = 45° и ∠ NDC = ∠ NBC = 45°. Таким образом, треугольник MDN — прямоугольный, откуда и следует требуемое утверждение.
4.3. По принципу Дирихле в первой сотне чисел найдется десяток, в который попадет хотя бы шесть из данных чисел. Останется не менее 41 числа, поэтому среди других десятков найдется тот, в который попало не менее пяти из данных чисел. Рассуждая аналогичным образом, получим, что еще есть десяток, в который попало не менее четырех данных чисел, еще есть десяток, в который попало не менее трех чисел, еще есть десяток, содержащий хотя бы два, и еще есть десяток, содержащий хотя бы одно из данных чисел. Таких десятков, которые мы назовем «отмеченными», получается не менее шести.
У чисел внутри одного десятка в разряде единиц стоят различные цифры, поэтому искомый набор чисел можно получить так: берем число из последнего «отмеченного» десятка, затем берем число из предпоследнего «отмеченного» десятка с другой цифрой единиц и так далее. Выбранные шесть чисел не могут иметь одинаковых цифр ни в одном разряде.
5.1. Способ I (алгебраический). Перепишем условие задачи в виде:
Из второго равенства следует, что
(bx + ay)2 ≤ 1 ⇔ | bx + ay | ≤ 1,
тогда из первого равенства:
ax + by = 1 – (bx + ay) ≥ 0,
что и требовалось доказать.
Способ II (векторный). Из первого равенства в условии следует, что ax + by = 1 – (bx + ay), поэтому достаточно доказать, что bx + ay ≤ 1.
Пусть в декартовой системе координат
Тогда
Из второго равенства в условии получим, что
Следовательно,
что и требовалось.
Способ III (тригонометрический). Рассмотрим точки M(a; b) и N(x; y) в декартовой системе координат (рис. 9).
Из первого равенства в условии следует, что ни одна из выбранных точек не совпадает с началом координат. Пусть
Тогда
a = r cos α, b = r sin α и x = p cos β, y = p sin β,
где α и β — углы, которые образуют с координатным лучом Ox лучи ОM и ON соответственно.
Тогда
При этом требуется доказать, что
ax + by = pr(cos α cos β + sin α sin β) =
= pr cos (α – β) ≥ 0.
Из второго уравнения системы получим, что pr = 1, тогда
(cos α + sin α)(cos β + sin β) =
= cos (α – β) + sin (α + β) = 1.
Следовательно,
cos (α – β) = 1 – sin (α + β) ≥ 0.
Таким образом,
pr cos (α – β) ≥ 0,
что и требовалось.
Комментарий. Отметим, что этот способ решения фактически использует полярную систему координат.
5.2. 
Рассмотрим произвольный путь муравья из точки М в точку N по столу и по грани РВС пирамиды (рис. 10). Этот маршрут должен пройти через некоторую точку Q ребра ВС.
Пусть K — середина отрезка АС, тогда QN = QK
(соответствующие отрезки в равных треугольниках РВС и АВС). Поэтому расстояние, пройденное муравьем, равно MQ + QN = MQ + QK ≥ MK (неравенство треугольника). Равенство достигается тогда и только тогда, когда точка Q совпадает с точкой R пересечения MK и BC.
Таким образом, длина кратчайшего пути муравья равна длине отрезка MK, которую можно вычислить, например, по теореме косинусов из треугольника АМK:
Комментарий. По сути, была использована развертка боковой поверхности пирамиды.
5.3. k = –1, n = 0 или k = 0, n = 0.
Докажем, что каждое из чисел k и k + 1 является кубом целого числа. Действительно, пусть p — произвольный простой делитель числа n, тогда в разложение числа n3 на простые множители он входит с показателем степени α, кратным трем. Последовательные целые числа k и k + 1 являются взаимно простыми, то есть pα целиком содержится либо в разложении на простые множители числа k, либо в аналогичном разложении числа k + 1. Следовательно, каждое из рассматриваемых чисел является произведением простых множителей с показателями степеней, делящимися на 3. Таким образом, каждое из чисел k и k + 1 является кубом целого числа.
Существует только две пары кубов целых чисел, отличающихся на 1: (–1; 0) и (0; 1).