Решаем задачи по геометрии: Другие задачи на окружность

Основные теоремы и формулы

Теорема 1. Площадь круга радиуса r равна πr2.
Теорема 2. Площадь сектора круга радиуса r, ограниченного двумя радиусами этого круга и дугой окружности, имеющей угловую величину α, равна
Теорема 3. Площадь сегмента круга радиуса r, ограниченного хордой этого круга и дугой окружности, имеющей угловую величину α, равна

Теорема 4. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности:
AB = BC, ∠ABO = ∠OBC.

Теорема 5. В любом четырехугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны:
AB + CD = AD + BC,\

и наоборот, если в некотором выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в такой четырехугольник можно вписать окружность.

Теорема 6. В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине:
AK = AM = p – BC.

Теорема 7. В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности (касающейся противоположной данной вершине стороны треугольника и продолжений двух других его сторон) с продолжением стороны треугольника, выходящей из данной вершины, есть полупериметр треугольника:
AK = p.

Доказательства некоторых теорем

Доказательство теоремы 6. Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC этого треугольника соответственно в точках K, L и M (см. рис. на с. 38) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то AK = AM = x, BK = BL = y,
CL = CM = z. Пусть стороны треугольника равны AB = c, BC = a и AC = b. Имеем:

Следовательно, AK = p – BC.

Доказательство теоремы 7. Пусть окружность касается продолжения стороны AB треугольника ABC в точке K, стороны BC этого треугольника в точке L, продолжения стороны AC — в точке M.

Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то AK = AM = x, BK = BL = y, CL = CM = z. Пусть стороны треугольника равны AB = c, BC = a и AC = b. Имеем:

Следовательно, AK = p.

Решения задач

Задача 1. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) проведены биссектрисы AD, BE, CF. Найти BC, если известно, что AC = 1, а вершина A лежит на окружности, проходящей через точки D, E, F.

Решение. Так как вписанный четырехугольник AFDE симметричен относительно прямой AD, то диаметром описанной около него окружности является отрезок AD, а прямая BC — касательной к этой окружности, проведенной в точке D.
Пусть AE = x, тогда EC = 1 – x, BD = DC = y. Применим к треугольнику ABC теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника:

Так как произведение длины отрезка секущей на длину ее внешней части равно квадрату длины касательной, проведенной к окружности из той же точки, имеем:
CA∙CE = CD2 ⇔ 1 – x = y2.
Следовательно,

Значит,
Ответ:

Задача 2. В окружность вписан треугольник со сторонами 7, 24 и 25. Вычислить площадь кругового сегмента, стянутого хордой длины 7.

Решение. Пусть в данном треугольнике ABC AB = 24, BC = 7, AC = 25. Так как верно равенство 72 + 242 = 252, то треугольник ABC — прямоугольный (угол B — прямой), центр O окружности, описанной около этого треугольника, является серединой гипотенузы AC, а радиус этой окружности равен 12,5. Пусть ∠ BAC = α. Из треугольника ABC получаем, что


Значит,

Тогда ∠BOC = 2α, и площадь сегмента окружности, стянутого хордой BC, равна

Ответ:

Задача 3. В равнобедренном треугольнике ABC угол между равными сторонами AB и AC равен Из вершин треугольника ABC на его стороны опущены высоты AA1, BB1, CC1. Через точки A, B1 и C1 проведена окружность O, а через точки B, A1 и C1 — окружность O1. Найти отношение площади круга O к площади общей части кругов O и O1.

Решение. Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, Q и Q1 — центры окружностей O и O1 соответственно, R и R1 — их радиусы. Рассмотрим четырехугольник AC1HB1. Так как его противолежащие углы AC1H и AB1H равны то окружность O является описанной около этого четырехугольника, а ее центр Q есть середина отрезка AH. Аналогично, окружность O1 описана около четырехугольника BA1HC1, а ее центр Q1 есть середина отрезка BH. Пусть R = 1, тогда

Так как угол AB1B — прямой, то угол ABB1 равен и

Общая часть кругов O и O1 есть объединение двух непересекающихся сегментов круга O и круга O1. Вычислим отдельно площадь каждого из этих сегментов. Дуга C1H сегмента круга O имеет угловую величину


поэтому площадь этого сегмента равна

Дуга C1H сегмента круга O1 имеет угловую величину


поэтому площадь этого сегмента равна

Искомое отношение равно

Ответ:

Задача 4. В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB = 3 и BC = 4 через середины сторон AB и AC проведена окружность, касающаяся стороны BC. Найти длину отрезка гипотенузы AC, который лежит внутри этой окружности.

Решение. Пусть D, E, F — соответственно середины сторон AB, AC и BC треугольника ABC, O — центр данной окружности, G — точка касания окружности с отрезком BC. Так как центр окружности, проходящей через точки D и E, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DE, который является также серединным перпендикуляром к отрезку BF, то BG = GF = 1, а GC = 3. Пусть H — вторая точка гипотенузы AC, лежащая на окружности. Применив теорему Пифагора к треугольнику ABC, найдем длину гипотенузы AC:

Так как произведение длины отрезка секущей на длину ее внешней части равно квадрату длины касательной, проведенной к окружности из той же точки, имеем:

Ответ:

Задача 5. Вне прямого угла с вершиной C, на продолжении его биссектрисы взята точка O так, что С центром в точке O построена окружность радиуса 2. Найти площадь фигуры, ограниченной сторонами угла и дугой окружности, заключенной между ними.

Решение. Пусть K и M — точки пересечения окружности со сторонами угла. Разобьем фигуру, площадь которой надо найти, на сегмент MK и треугольник CMK и найдем площади S1 и S2 этих частей. Сначала вычислим площадь сегмента. Рассмотрим треугольник OCK, в нем

Применим к этому треугольнику теорему синусов:

Следовательно,

Площадь сегмента MK равна

Вычислим теперь площадь треугольника CMK. Применив снова к треугольнику OCK теорему синусов, получим, что

Значит, площадь треугольника CMK равна

Следовательно, искомая площадь равна

Ответ:

Задача 6. В равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании α вписана окружность. Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся боковых сторон треугольника и вписанной в него окружности. Определить радиус второй окружности.

Решение. Обозначим через B вершину, а через AC — основание данного треугольника. Пусть M и T1 — точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB соответственно, O1 и r1 — соответственно центр и радиус этой окружности. Пусть также вторая окружность с центром O2 и радиусом r2 касается первой окружности в точке T, а стороны AB — в точке T2. Так как треугольник ABC — равнобедренный, то точки B, O2, T, O1 и M лежат на одной прямой, являющейся высотой этого треугольника. Радиус r1 найдем из прямо­угольного треугольника AO1M:

Найдем отношение r1 : r2. Заметим, что тре­угольники BO1T1 и BO2T2 подобны, поэтому верно равенство

где Продолжая полученное равенство, получаем, что

Ответ:

Задача 7. На плоскости дан прямой угол. Окружность с центром, расположенным внутри этого угла, касается одной стороны угла, пересекает другую сторону в точках A и B и пересекает биссектрису угла в точках C и D. Длина хорды AB равна длина хорды CD равна Найти радиус окружности.

Решение. Пусть Q — вершина прямого угла, O — центр данной окружности, OM и ON — перпендикуляры, опущенные из точки O на прямые QC и QB соответственно. Обозначим через R радиус данной окружности, через K — точку касания окружности со стороной угла, через L — точку пересечения прямых KO и QC. Применим к тре­угольнику AON теорему Пифагора:

Из построения вытекает, что четырехугольник OKQN является прямоугольником, а треугольники KLQ и LMO — прямоугольными и равнобедренными. Имеем:

Применив теперь к треугольнику DMO теорему Пифагора, получим, что

откуда R2 = 2 или Геометрический смысл имеет лишь значение
Ответ:

Задача 8. На отрезке AB длины 2R как на диаметре построена окружность. Вторая окружность такого же радиуса, что и первая, имеет центр в точке A. Третья окружность касается первой внутренним образом, второй — внешним образом,
а также касается отрезка AB. Найти радиус третьей окружности.

Решение. Обозначим через O и Q соответственно центры первой и третьей окружностей, через C — точку касания первой и третьей окружностей, через D — точку касания второй и третьей окружностей, а через K — точку касания третьей окружности и отрезка AB. Пусть r — радиус малой окружности.
Так как центры касающихся окружностей и точка их касания лежат на одной прямой, то
OQ = R – r, а AQ = R + r. Применим к треугольнику AKQ теорему Пифагора:

Применив теперь теорему Пифагора к треугольнику OQK, получим:

Ответ:

Задача 9. В плоском четырехугольнике ABCD длина стороны AB равна длина стороны AD равна 14, длина стороны CD равна 10. Известно, что угол DAB — острый, причем синус его равен косинус угла ADC равен Окружность с центром в точке O касается сторон AD, AB и BC. Найти длину отрезка BO.

Решение. Опустим перпендикуляры BM и CN из точек B и C на прямую AD. Так как угол DAB острый, точка M лежит с той же стороны относительно точки A, что и D.

Из треугольника ABM находим:

поэтому точка M лежит между A и D. Из того же треугольника ABM можно найти

Аналогично, cos ∠ADC < 0, поэтому угол ADC — тупой. Следовательно, точка D лежит между точками A и N. Из треугольника CDN находим:

Отметим, что BM < CN. Опустим перпендикуляр BP из точки B на отрезок CN. Рассмотрим треугольник BCP, в нем

Применим к треугольнику BPC теорему Пифагора:

Применив теперь теорему косинусов к тре­угольнику ACD, получим

Применив теорему косинусов к треугольнику ABC, найдем угол ABC:

Пусть ∠BAD = α, ∠ABC = β. Рассмотрим треугольник ABO. Так как окружность касается сторон AD, AB, BC, то ее центр O находится в точке пересечения биссектрис углов BAD и ABC. Значит,


Для нахождения длины отрезка BO воспользуемся теоремой синусов:

Вычислим входящие в это выражение значения:

(косинус положителен, так как угол острый);

Тогда

Ответ:

Задача 10. В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = α, ∠BCA = β, AC = b. На стороне BC взята точка D так, что BD = 3DC. Через точки B и D проведена окружность, касающаяся стороны AC или ее продолжения за точку A. Найти радиус этой окружности.

Решение. Пусть K — точка касания прямой AC с окружностью, CD = x, тогда BD = 3x. Произведение длины отрезка секущей на длину ее внешней части равно квадрату касательной, проведенной к окружности из той же точки, следовательно, верно равенство CK2 = CDжCB = 4x2, откуда
CK = 2x. Для нахождения x применим теорему синусов к треугольнику ABC:

Применим к треугольнику KDC теорему косинусов:

Рассмотрим треугольник BCK, в нем BC = 4x, KC = 2x, ∠BCK = β. Применив к этому треугольнику теорему косинусов, получим:

Треугольник BDK вписан в данную окружность. Поэтому искомый радиус — это радиус описанной около треугольника BDK окружности. Найдем его по формуле

Площадь треугольника BDK вычислим по формуле Герона:

Следовательно,

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

С-1. В параллелограмме ABCD с углом A, равным 60°, проведена биссектриса угла B, пересекающая сторону CD в точке E. В треугольник ECB вписана окружность радиуса r. Другая окружность вписана в трапецию ABED. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

С-2. Из точки A проведены секущая и касательная к окружности радиуса R. Пусть B — точка касания, а D и C — точки пересечения секущей с окружностью, причем точка D лежит между A и C. Известно, что BD — биссектриса угла B треугольника ABC и ее длина равна R. Найдите расстояние от точки A до центра окружности.

С-3. В трапеции ABCD известны основания, AD = 39, BC = 26, и боковые стороны: AB = 5 и CD = 12. Найдите радиус окружности, которая проходит через точки A и B и касается стороны CD или ее продолжения.

С-4. В выпуклом четырехугольнике ABCD заключены две окружности одинакового радиуса r, касающиеся друг друга внешним образом. Центр первой окружности находится на отрезке, соединяющем вершину A с серединой F стороны CD, а центр второй окружности находится на отрезке, соединяющем вершину C с серединой E стороны AB. Первая окружность касается сторон AB, AD и CD; вторая окружность касается сторон AB,
BC и CD. Найдите AC.

С-5. Две окружности радиуса r касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается извне третьей окружности радиуса R в точках A и B соответственно. Определите радиус r, если
AB = 12, R = 8.

С-6. В прямоугольном секторе AOB из точки B как из центра проведена дуга OC (C — точка пересечения этой дуги с дугой AB) радиуса BO. Окружность S1 касается дуги AB, дуги OC и прямой OA, а окружность S2 касается дуги AB, прямой OA и окружности S1. Найдите отношение радиуса окружности S1 к радиусу окружности S2.

С-7. Сторона AB квадрата ABCD равна 1 и является хордой некоторой окружности, причем все остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Длина касательной CK, проведенной из вершины C к той же окружности, равна 2. Чему равен диаметр окружности?

С-8. В треугольнике ABC боковые стороны AB и BC равны a, угол ABC равен 120°. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке D. Вторая окружность имеет центром точку B и проходит через точку D. Найдите площадь той части вписанного круга, которая находится внутри второго круга.

С-9. Дана прямоугольная трапеция. Известно, что некоторая прямая, параллельная основаниям, рассекает ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Определите основания исходной трапеции, если ее боковые стороны равны c и d (c < d).

С-10. Круг радиуса 6 лежит внутри полукруга радиуса 24 и касается середины диаметра полукруга. Найдите радиус меньшей окружности, касающейся заданных круга, полукруга и диаметра полукруга.

С-11. Даны две непересекающиеся окружности. К ним проведены две общие касательные, которые пересекаются в точке A отрезка, соединяющего центры окружностей. Радиус меньшей окружности равен r. Расстояние от точки A до центра окружности большего радиуса равно 6r. Точка A делит отрезок касательной, заключенный между точками касания, в отношении 1 : 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных и большими дугами окружностей, соединяющими точки касания.

С-12. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания с окружностью делит гипотенузу на отрезки 5 и 12. Найдите площадь треугольника.

С-13. Центр O окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что длина отрезка OC равна 5.

С-14. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, длина стороны AB равна 1,
а величина угла OAB равна 60°. Найдите площадь общей части кругов, описанных около треугольников ABO и BOC.

С-15. В равнобедренный треугольник ABC (в котором AB = BC) вписана окружность радиуса 3.
Прямая p касается этой окружности и параллельна прямой AC, но не совпадает с ней. Расстояние от точки B до прямой p равно 3. Найдите расстояние между точками, в которых данная окружность касается сторон AB и BC.

С-16. В окружность радиуса вписана трапеция ABCD, причем ее основание AD является диаметром, а угол BAD равен Хорда CE пересекает диаметр AD в точке P такой, что AP : PD = 1 : 3. Найдите площадь треугольника BPE.

С-17. Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке A. Общая касательная к обеим окружностям, проведенная через точку A, пересекается с другой их общей касательной в точке B. Найдите радиус второй окружности, если AB = 4.

С-18. В параллелограмме ABCD длина диагонали BD равна 2, угол C равен 45°, причем прямая CD касается окружности, описанной около треугольника ABD. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

С-19. В круге с центром O хорда AB пересекает радиус OC в точке D, причем угол CDA равен Найдите радиус окружности, касающейся отрезков AD, DC и дуги AC, если AC = 2 и

С-20. В четырехугольнике ABCD расположены две непересекающиеся окружности так, что одна из них касается сторон AB, BC и CD, а другая — сторон AB, AD и CD. Прямая MN пересекает стороны AB и CD соответственно в точках M и N и касается обеих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если периметр четырехугольника MBCN равен 2p, сторона BC равна a и разность радиусов окружностей равна r.

С-21. На стороне BC треугольника BCD взята точка A таким образом, что BA = AC, ∠CDB = α, ∠BCD = β, BD = b. Пусть CE — высота треугольника BCD. Окружность проходит через точку A и касается стороны BD в точке E. Найдите радиус этой окружности.

С-22. В треугольнике ABC сторона AB равна 4, угол A равен 30°, угол B равен 130°. На стороне AB как на диаметре построен круг. Найдите площадь части круга, лежащей внутри треугольника.

С-23. Радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен Окружность радиуса касается лучей, образующих угол ACB, и вписанной в треугольник ABC окружности. Найдите тангенс угла ABC, если площадь треугольника ABC равна а наибольшей из его сторон является сторона AC.

С-24. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 4, а BC = 3.

С-25. Две окружности с центрами A и B и радиусами соответственно 2 и 1 касаются друг друга. Точка C лежит на прямой, касающейся каждой из окружностей, и находится на расстоянии от середины отрезка AB. Найдите площадь S тре­угольника ABC, если известно, что S > 2.

С-26. Окружность, центр которой лежит на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, касается двух катетов AC и BC соответственно в точках E и D. Найдите величину угла ABC, если известно, что AE = 1, BD = 3.

С-27. Отношение длин двух пересекающихся окружностей равно Общая хорда этих окружностей стягивает в меньшей из них дугу в Найдите стягиваемую этой хордой дугу большей окружности.

С-28. В угол с вершиной A величиной в 60° вписана окружность с центром в точке O. К этой окружности проведена касательная, пересекающая стороны угла в точках B и C. Отрезок BC пересекается с отрезком AO в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если AM : MO = 2 : 3 и BC = 7.

Ответы:

Садовничий Ю.