От двух до пяти, Или о равных отрезках в трапеции

Наш разговор посвящен равным отрезкам в трапеции. Некоторые из этих отрезков весьма знамениты, с другими мы где-то (возможно, на олимпиадах) встречались. Третьи и вовсе могут нам показаться незнакомыми. Но все вместе они являют любопытную коллекцию важных, полезных, подчас непростых задач. В основном нас ожидают встречи с двумя и тремя равными отрезками, но в целом их насчитывается от двух до пяти. Итак, начинаем!..

Задача 1. Докажите, что x = y, где EF AD (рис. 1).

Доказательство. Треугольники AEK и ABC подобны и
(1)
Аналогично, треугольники DFN и DCB подобны и
(2)
Сравнив (1) и (2), получаем: x = y.

Задача 2. Покажите, что x = y, где EF AD (L — точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции ABCD и лежит на EF (рис. 2)).
При помощи одной линейки постройте отрезок, равный

Решение. Поскольку треугольники BLE  и BAD, CLF и CDA подобны, то после составления пропорций, как и в задаче 1, получим: x = y. Далее:

(3) (4)

Сложим левые и правые части равенств (3) и (4). С учетом того, что h1 + h = h2, получим: или bx + ab = ax, откуда Значит, отрезок EF и есть тот отрезок, который необходимо построить при помощи одной линейки. Остается показать, как через данную точку L построить прямую, параллельную двум данным
( BC и AD), пользуясь только линейкой.

Такое построение предложено на рисунке 3 с указанием порядка проведения линий. Дополнительные комментарии представляются излишними.

Задача 3. Найдите отношение оснований трапеции ABCD, если x = y, где x = LO, y = OM (рис. 4).

Решение. Поскольку LO = OM, то (средняя линия в треугольнике ALD). С другой стороны, EF — один из самых знаменитых отрезков в трапеции ABCD, и (покажите!). Тогда имеем: или 4b = a + b, откуда

Задача 4. Под каким углом пересекаются боковые стороны трапеции, если x = y (рис. 5), где x — отрезок, соединяющий середины диагоналей, y — отрезок, соединяющий середины оснований.

Решение. KG NM и KG = NM — они параллельны и равны AB как средние линии соответственно в треугольниках ABC и ABD. Значит, KGNM — параллелограмм. Но поскольку x = y, то это параллелограмм с равными диагоналями, то есть прямоугольник. Следовательно, ∠ KGN = 90°. Тогда и угол между прямыми AB и CD также равен 90°.

Задача 5. Для оснований трапеции ABCD справедливо равенство a2 = b2 + ab. Докажите, что x = y, или BO = DN, где CK AB (рис. 6).

Доказательство. Равенство a2 = b2 + ab равносильно пропорции Треугольники BOC и DOA подобны, и Треугольники DNK и BNC подобны, и Поскольку то Имеем: x2 + xt = y2 + yt, или (x – y)(x + y + t) = 0.
Однако x + y + t > 0, поэтому x = y.

Задача 6. В трапеции ABCD x = y = z, ∠ACD = 90°(рис. 7). Найдите углы трапеции.

Решение. Пусть ∠1 = ∠2 = α. Тогда ∠2 = ∠3 = α (внутренние накрест лежащие при BC AD). Значит, ∠A = ∠D = 2α. Из треугольника ACD
α + 2α = 90°, откуда α = 30°.
Ответ: 60° и 120°.

Задача 7. Пересеките трапецию ABCD прямой, параллельной основаниям так, чтобы ее отрезок, лежащий внутри трапеции, делился диагоналями на три равные части.
Решение. Пусть M — середина основания AD, AC и BD — диагонали (рис. 8). Пусть также
K = BM ∩ AC. Проведем через K прямую EF параллельно AD. При этом EK = KN = NF, или
x = y = z. Действительно, x = y, так как AM = MD,
а x = z — по задаче 1.

Замечание. Существуют два отрезка, отвечающих требованиям задачи. Кроме отрезка EF, это будет еще и отрезок QT (рис. 9). Он строится так же, как и отрезок EF, но берется F — середина основания BC.

Задача 8. ABCD — равнобокая трапеция с перпендикулярными диагоналями AC и BD. Известно, что ортоцентр треугольника ABD делит пополам его высоту AO. Проведя не более одной линии, разделите диагональ BD на три равные части (рис. 10).
Решение. Поскольку трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность. Пусть H — ортоцентр треугольника ABD и AH = HO. C — точка, симметричная ортоцентру H относительно BD (так как она лежит на описанной окружности треугольника ABD). Тогда OC = OH = AH. Диагонали AC и BD равны. Остается из точки O раствором циркуля, равным BO, сделать засечку на диагонали BD — получим точку N. При этом BO = ON = ND.

Задача 9. Существует ли трапеция ABCD, в которой EF — средняя линия и x = y = z = t (рис. 11)?

Решение. Так как EF — средняя линия трапеции ABCD, то она делит любой отрезок между основаниями трапеции пополам, то есть y + z = t. Но, согласно условию, y + z = 2t. Противоречие. Такой трапеции, где x = y = z = t, как на рисунке 11, не существует.

Задача 10. При каком отношении оснований трапеции x = y = z = t = q (рис. 12)?

Решение. Пусть BK = k и DN = n. Равные по условию отрезки обозначим через x. Треугольники KT3B и NT3D подобны, (по двум углам). Тогда
Треугольники KT1B и NT1A подобны, и

откуда

Далее, треугольники KT2C и NT2A подобны и

Имеем:

откуда Стало быть,

Еще несколько задач на равные отрезки в трапециях предложим вниманию читателей для самостоятельного решения.

Задача 11. Покажите, что (рис. 13).

Задача 12. Диагонали трапеции делят ее среднюю линию на три равные части. Найдите отношение оснований. Ответ: 2 : 1.

Задача 13. Основания трапеции ABCD равны a и b. EF и QT параллельны основаниям, при этом x = y = z (рис. 14). Найдите EF и QT.

Ответ:

Задача 14. При помощи одной линейки на основании AD трапеции ABCD постройте точки K и N такие, что AK = KN = ND.

Задача 15. (Санкт-Петербургские олимпиады.) На боковых сторонах трапеции ABCD нашлись точки K и N такие, что KN не параллелен основаниям и при этом x = y = z (рис. 15).
Найдите отношение оснований.

Задача 16. Дано: x = y. Докажите, что z = t (рис. 16).

Задача 17. В трапеции ABCD x = y = z (рис. 17). При каком отношении оснований площадь трапеции будет наибольшей?

Филипповский Г.