Решаем задачи по геометрии: решение четырехугольников

Теорема 1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

Теорема 2. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие имеют одинаковую площадь:

Теорема 3. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, опущенную на данное основание, или произведению двух сторон на синус угла между ними:

Теорема 4. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:

Теорема 5. Площадь произвольного выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

Теорема 6. Площадь четырехугольника, описанного около окружности, равна произведению полупериметра этого четырехугольника на радиус данной окружности:

Теорема 7. Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного выпуклого четырехугольника, есть параллелограмм, площадь которого равна половине площади исходного четырехугольника:

Теорема 8. Если у выпуклого четырехугольника диагонали взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон этого четырехугольника равны:

AB2 + CD2 = BC2 + AD2.

 

Доказательства некоторых теорем

Доказательство теоремы 2. Пусть ABCD — данная трапеция, AD и BC — ее основания, O — точка пересечения диагоналей AC и BD этой трапеции. Докажем, что треугольники AOB и COD имеют одинаковую площадь. Для этого опустим из точек B и C на прямую AD перпендикуляры BP и CQ. Тогда площадь треугольника ABD равна

а площадь треугольника ACD равна

Так как BP = CQ, то и S∆ABD = S∆ACD. Но площадь треугольника AOB есть разность площадей тре­угольников ABD и AOD, а площадь треугольника COD — разность площадей треугольников ACD и AOD. Следовательно, площади треугольников AOB и COD равны, что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы 4. Пусть ABCD — параллелограмм, AB = CD = a, AD = BC = b,
AC = d1, BD = d2, ∠BAD = α, ∠ADC = 180° – α. Применим к треугольнику ABD теорему косинусов:

Применив теперь теорему косинусов к тре­угольнику ACD, получим:

Складывая почленно полученные равенства, получаем, что что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы 5. Пусть ABCD — произвольный выпуклый четырехугольник, E — точка пересечения его диагоналей, AE = a, BE = b,
CE = c, DE = d, ∠AEB = ∠CED = ϕ, ∠BEC =
= ∠AED = 180° – ϕ. Имеем:

что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы 6. Пусть ABCD — произвольный четырехугольник, описанный около окружности, O — центр этой окружности, OK, OL, OM и ON — перпендикуляры, опущенные из точки O на прямые AB, BC, CD и AD соответственно. Имеем:

где r — радиус окружности, а p — полупериметр четырехугольника ABCD.

Доказательство теоремы 7. Пусть ABCD — произвольный выпуклый четырехугольник, K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Так как KL — средняя линия треугольника ABC, то прямая KL параллельна прямой AC и Аналогично, прямая MN параллельна прямой AC и Следовательно, KLMN — параллелограмм. Рассмотрим треугольник KBL. Его площадь равна четверти площади треугольника ABC. Площадь треугольника MDN также равна четверти площади треугольника ACD. Следовательно,

Аналогично,

Это значит, что

откуда вытекает, что

Доказательство теоремы 8. Пусть ABCD — произвольный выпуклый четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, пусть E — точка пересечения его диагоналей,
AE = a, BE = b, CE = c, DE = d. Применим к тре­угольникам ABE и CDE теорему Пифагора:
AB2 = AE2 + BE2 = a2 + b2,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
следовательно,
AB2 + CD2 = a2 + b2 + c2 + d2.
Применив теперь теорему Пифагора к треугольникам ADE и BCE, получим:
AD2 = AE2 + DE2 = a2 + d2,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2,
откуда вытекает, что
AD2 + BC2 = a2 + b2 + c2 + d2.
Значит, AB2 + CD2 = AD2 + BC2, что и требовалось доказать.

Решения задач

Задача 1. Около круга описана трапеция с углами при основании α и β. Найти отношение площади трапеции к площади круга.

Решение. Пусть ABCD — данная трапеция, AB и CD — ее основания, DK и CM — перпендикуляры, опущенные из точек C и D на прямую AB. Искомое отношение не зависит от радиуса круга. Поэтому будем считать, что радиус равен 1. Тогда площадь круга равна π, найдем площадь трапеции. Так как треугольник ADK прямоугольный, то

Аналогично, из прямоугольного треугольника BCM находим, что Поскольку в данную трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны:
AB + CD = AD + BC,
откуда находим

Значит, площадь трапеции есть

и искомое отношение равно
Ответ:

Задача 2. В выпуклом четырехугольнике ABCD угол A равен 90°, а угол C не превосходит 90°. Из вершин B и D на диагональ AC опущены перпендикуляры BE и DF. Известно, что AE = CF. Доказать, что угол C прямой.

Доказательство. Так как угол A равен 90°,
а угол C не превосходит 90°, то точки E и F лежат на диагонали AC. Без ограничения общности мы можем считать, что AE < AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ. Нам достаточно доказать, что α + β + γ + δ = π. Так как

то и в частности tg α tg γ = 1. Далее, имеем:

откуда получаем, что что и требовалось доказать.

Задача 3. Периметр равнобочной трапеции, описанной около круга, равен p. Найти радиус этого круга, если известно, что острый угол при основании трапеции равен α.
Решение. Пусть ABCD — данная равнобочная трапеция с основаниями AD и BC, пусть BH — высота этой трапеции, опущенная из вершины B.
Так как в данную трапецию можно вписать окружность, то

следовательно,

Из прямоугольного треугольника ABH находим,

Ответ:

Задача 4. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O, а прямые AB и CD — в точке K. Прямая KO пересекает стороны BC и AD в точках M и N соответственно, а угол BAD равен 30°. Известно, что в трапеции ABMN и NMCD можно вписать окружность. Найти отношение площадей треугольника BKC и трапеции ABCD.

Решение. Как известно, для произвольной трапеции прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей и точку пересечения продолжений боковых сторон, делит каждое из оснований пополам. Итак, BM = MC и AN = ND. Далее, так как в трапеции ABMN и NMCD можно вписать окружность, то
BM + AN = AB + MN,
MC + ND = CD + MN.
Отсюда следует, что AB = CD, то есть трапеция ABCD — равнобокая. Искомое отношение площадей не зависит от масштаба, поэтому мы можем принять, что KN = x, KM = 1. Из прямоугольных треугольников AKN и BKM получаем, что Записывая вновь уже использованное выше соотношение
BM + AN = AB + MN ⇔

находим

Нам требуется вычислить отношение:

Здесь мы использовали тот факт, что площади треугольников AKD и BKC относятся как квадраты сторон KN и KM, то есть как x2.

Ответ:

Задача 5. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки E, F, H, G являются серединами сторон AB, BC, CD, DA соответственно и O — точка пересечения отрезков EH и FG. Известно, что EH = a, FG = b, Найти длины диагоналей четырехугольника.

Решение. Известно, что если соединить последовательно середины сторон произвольного четырехугольника, то получится параллелограмм. В нашем случае EFHG — параллелограмм и O — точка пересечения его диагоналей. Тогда

Применим к треугольнику FOH теорему косинусов:

Так как FH — средняя линия треугольника BCD, то

Аналогично, применив теорему косинусов к треугольнику EFO, получим, что

откуда

Ответ:

Задача 6. Боковые стороны трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно Найти основания трапеции.

Решение. Пусть ABCD — данная трапеция, AB = 3 и CD = 5 — ее боковые стороны, точки K и M — середины сторон AB и CD соответственно. Пусть, для определенности, AD > BC, тогда площадь трапеции AKMD будет больше площади трапеции KBCM. Так как KM — средняя линия трапеции ABCD, то трапеции AKMD и KBCM имеют равные высоты. Поскольку площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то верно следующее равенство:

Далее, так как в трапецию ABCD можно вписать окружность, то AD + BC = AB + CD = 8. Тогда KM = 4 как средняя линия трапеции ABCD. Пусть BC = x, тогда AD = 8 – x. Имеем:
Значит, BC = 1 и AD = 7.

Ответ: 1 и 7.

Задача 7. Основание AB трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали AC равна a, а длина боковой стороны BC равна b. Найти площадь трапеции.

Решение. Пусть E — точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции и CD = x, тогда AD = x, AB = 2x. Отрезок CD параллелен отрезку AB и вдвое его короче, значит, CD является средней линией треугольника ABE. Следовательно, CE = BC = b и DE = AD = x, откуда AE = 2x. Итак, треугольник ABE равнобедренный (AB = AE) и AC — его медиана. Поэтому AC является и высотой этого треугольника, и значит,

Так как треугольник DEC подобен треугольнику AEB с коэффициентом подобия то

Ответ:

Задача 8. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке E. Найти площадь треугольника BCE, если длины оснований трапеции AB = 30, DC = 24, боковой стороны AD = 3 и угол DAB равен 60°.

Решение. Пусть DH — высота трапеции. Из треугольника ADH находим, что

Так как высота треугольника ABC, опущенная из вершины C, равна высоте DH трапеции, имеем:

Далее из подобия треугольников ABE и CDE получаем, что Следовательно,

Ответ:

Задача 9. В трапеции средняя линия равна 4, а углы при одном из оснований равны 40° и 50°. Найти основания трапеции, если отрезок, соединяющий середины оснований, равен 1.

Решение. Пусть ABCD — данная трапеция, AB и CD — ее основания (AB < CD), M, N — середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. Продлим боковые стороны DA и CB до пересечения в точке E. Рассмотрим треугольник ABE, в котором ∠EAB = 50°. ∠EBA = 40°,
следовательно, ∠AEB = 90°. Медиана EM этого треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: EM = AM. Пусть EM = x, тогда AM = x, DN = 4 – x. Согласно условию задачи MN = 1, следовательно,
EN = x + 1. Из подобия треугольников AEM и DEN имеем:

Это означает, что AB = 3 и CD = 5.

Ответ: 3 и 5.

Задача 10. Выпуклый четырехугольник ABCD описан около окружности с центром в точке O, при этом AO = OC = 1, BO = OD = 2. Найти периметр четырехугольника ABCD.

Решение. Пусть K, L, M, N — точки касания окружности со сторонами AB, BC, CD, DA соответственно, r — радиус окружности. Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то тре­угольники AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO — прямоугольные. Применив к этим треугольникам теорему Пифагора, получим, что

Следовательно, AB = BC = CD = DA, то есть ABCD — ромб. Диагонали ромба перпендикулярны друг другу, и точка их пересечения является центром вписанной окружности. Отсюда легко находим, что сторона ромба равна и значит, периметр ромба равен

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

С-1. Около окружности радиуса r описана равнобочная трапеция ABCD. Пусть E и K — точки касания этой окружности с боковыми сторонами трапеции. Угол между основанием AB и боковой стороной AD трапеции равен 60°. Докажите, что EK параллелен AB, и найдите площадь трапеции ABEK.
С-2. В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции.
С-3. Можно ли вокруг четырехугольника ABCD описать окружность, если ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6?
С-4. В трапеции ABCD (AB — основание) величины углов DAB, BCD, ADC, ABD и ADB образуют арифметическую прогрессию (в том порядке, в котором они написаны). Найдите расстояние от вершины C до диагонали BD, если высота трапеции равна h.
С-5. Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение высоты трапеции к радиусу описанной окружности равно Найдите углы трапеции.
С-6. Площадь прямоугольника ABCD равна 48, а длина диагонали равна 10. На плоскости, в которой расположен прямоугольник, выбрана точка O так, что OB = OD = 13. Найдите расстояние от точки O до наиболее удаленной от нее вершины прямоугольника.
С-7. Периметр параллелограмма ABCD равен 26. Величина угла ABC равна 120°. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCD, равен Найдите длины сторон параллелограмма, если известно, что AD > AB.
С-8. Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Радиус OA перпендикулярен радиусу OB, а радиус OC перпендикулярен радиусу OD. Длина перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AD, равна 9. Длина отрезка BC в два раза меньше длины отрезка AD. Найдите площадь треугольника AOB.
С-9. В выпуклом четырехугольнике ABCD вершины A и C противоположны, а длина стороны AB равна 3. Угол ABC равен угол BCD равен Найдите длину стороны AD, если известно, что площадь четырехугольника равна

С-10. В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали AC и BD. Известно, что
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90°, и расстояние между точкой пересечения биссектрис треугольника ABD и точкой пересечения биссектрис треугольника ACD равно Найдите длину стороны BC.
С-11. Пусть M — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD, в котором стороны AB, AD и BC равны между собой. Найдите угол CMD, если известно, что DM = MC,
а ∠CAB ≠ ∠DBA.
С-12. В четырехугольнике ABCD известно, что ∠A = 74°, ∠D = 120°. Найдите угол между биссектрисами углов B и C.
С-13. В четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Пусть K — точка пересечения его диагоналей. Известно, что AB > BC > KC, а периметр и площадь треугольника BKC равны соответственно 14 и 7. Найдите DC.
С-14. В трапеции, описанной около окружности, известно, что BC AD, AB = CD, ∠BAD =
= 45°. Найдите AB, если площадь трапеции ABCD равна 10.
С-15. В трапеции ABCD с основаниями AB и CD известно, что ∠CAB = 2∠DBA. Найдите площадь трапеции.
С-16. В параллелограмме ABCD известно, что AC = a, ∠CAB = 60°. Найдите площадь параллелограмма.
С-17. В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Точки L и M являются соответственно серединами сторон BC и AD. Отрезок LM содержит точку K. Четырехугольник ABCD таков, что в него можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если AB = 3, и LK : KM = 1 : 3.
С-18. В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали AC и BD. При этом ∠BAC =
= ∠BDC, а площадь круга, описанного около треугольника BDC, равна
а) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
б) Зная, что BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90°, найдите площадь четырехугольника ABCD.

Ответы:

Садовничий Ю.