Динамические задачи

Под динамическими задачами будем понимать совокупность задач, полученных из предметной задачи посредством изменения входящих в нее компонентов.
Содержание и сущность приемов организации деятельности учащихся по решению динамических задач заключается в следующем: учитель посредством учебных заданий побуждает учащихся к решению совокупности задач, оставляя последовательно неизвестными один, затем два и более компонентов. Таким образом на одном и том же объекте организует деятельность учащихся сначала на репродуктивном, затем на частично-поисковом и исследовательском уровнях. Рассмотрим пример.

Предметная задача 1. В кубе АВСDА1В1С1D1 точка М — середина ребра ВВ1. Постройте сечение куба АВСDА1В1С1D1 плоскостью, содержащей точку М и вершины А и С данного куба. Найдите периметр и площадь построенного сечения данного куба, если его ребро имеет длину а.

Учитель предлагает учащимся решить задачу 1.
Учащиеся решают предложенную задачу, делают необходимые пояснения к решению, выполняют построение сечения куба АВСDА1В1С1D1 плоскостью МАС.
После проверки и обсуждения решения задачи 1 учитель предлагает учащимся решить задачу, в которой компоненты задачи остаются теми же, однако положение точки М на ребре ВВ1 не зафиксировано.

Предметная задача 2. В кубе АВСDА1В1С1D1 точка М движется по прямой, содержащей ребро ВВ1. Исследуйте вид сечения данного куба плоскостью АМС в зависимости от положения точки М. Оцените периметр и площадь получаемых сечений куба АВСDА1В1С1D1 плоскостью АМС, если ребро данного куба имеет длину а.

Учитель предлагает учащимся на изображении куба построить несколько сечений, передвигая точку М по прямой ВВ1. Учащиеся строят сечения, наблюдают, сравнивают, делают выводы, оформляют решение задачи в тетрадях.

Решение задачи 2. Рассмотрим крайние возможности при движении точки М по прямой, содержащей ребро BB1.
Если точка М неограниченно приближается к вершине В куба ABCDA1B1C1D1, то сечение будет стремиться занять положение плоскости основания. При этом периметр Р сечения будет больше периметра треугольника АВС, то есть и 2а = АВ + ВС, а площадь сечения S больше площади треугольника АВС:
Если точка М движется по ребру BB1, то сечением АМС является треугольник, поскольку секущая плоскость пересекает три грани куба. При этом Если точка М движется по лучу В1Х, то сечение будет иметь вид равнобедренной трапеции. При неограниченном удалении точки М от вершины В1 по лучу В1Х секущая плоскость стремиться занять положение плоскости А1С1С (рис. 1).

Следующим этапом работы с задачей 2 является этап конструирования новых связей в задаче.

Этот этап, в зависимости от уровня подготовки учащихся, можно организовать двумя способами.
Первый способ организации конструирования задачи заключается в том, что учитель помогает учащимся посредством учебных заданий конструировать новые связи в задаче. Например. Учитель предлагает старшеклассникам зафиксировать положение точки М на ребре ВВ1 куба АВСDА1В1С1D1, а затем проанализировать способ построения сечения данного куба плоскостью, содержащей точки М, С и K, где K — это точка, движущаяся по ребру АА1.
Эту задачу можно отнести к задачам поискового уровня, поскольку в задаче неизвестными являются два компонента: требование и способ решения.
Второй способ конструирования задачи заключается в том, что учитель предоставляет учащимся помощь в решении задачи, в которой отсутствуют три компонента.

Учебно-исследовательская задача. Точки М, N, и K расположены на поверхности куба АВСDА1В1С1D1 так, что М, N и K не принадлежат одной прямой. Найдите способ построения сечения данного многогранника плоскостью, содержащей три данные точки.

Учащиеся самостоятельно или под руководством учителя выполняют поставленную задачу на основе анализа, сравнения и обобщения полученных данных в ходе исследования заданной конфигурации. Проверка и обсуждение решения задачи проводится у доски учащимся под руководством учителя.
Следующим этапом работы с задачей 2 является составление учащимися собственной задачи. Учитель предлагает учащимся обобщить данные, полученные в ходе решения динамических задач, и самостоятельно составить и решить задачу на построение сечения куба, пирамиды плоскостью, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
Практика использования динамических задач в процессе обучения старшеклассников математике показала, что часть учащихся составляют задачи, аналогичные задаче 2. Решая составленную задачу, эти учащиеся совершенствуют базовые умения. Другие школьники на основе динамических моделей конструируют свои задачи, и такую деятельность учащихся можно отнести к математическому творчеству. Так, например, задача о построении сечения куба плоскостью, содержащей точки на его трех скрещивающихся ребрах, общеизвестна, однако если учащийся составил ее самостоятельно, то его деятельность можно назвать творческой.
Использование динамических задач в процессе обучения учащихся профильных классов показывает эффективность такого методического подхода в двух аспектах: во-первых, решается проблема оптимизации процесса обучения по времени; во-вторых, решается проблема целеполагания о развитии учащихся в процессе обучения их математике.
Проблема оптимизации процесса обучения по времени решается за счет сокращения числа повторов тренировочных упражнений. Проблема целеполагания решается посредством учебно-исследовательских задач, учебные задания которых ориентированы на формирование у старшеклассников приемов учебно-исследовательской деятельности (наблюдение, сравнение, анализ, обобщение, моделирование выделенного основного отношения).
Кроме того, в процессе решения динамических задач учащимися происходит реализация принципа развивающего обучения — «обучение на высоком уровне трудности».

Литература

1. Далингер В.А. Учебные исследования на уроках стереометрии // Математика в школе, 2001, № 7, с. 50–53.
2. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1990.
3. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. — М.: Прометей, 1995.
4. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — 2-е изд., испр. — М.: Наука, 1975.
5. Пойа Д. Математические открытия. — М.: Наука, 1970.
6. Пономарев Я.А. Психология творчества. — М.: Наука, 1976.
7. Саранцев Г.И. Упражнение в обучении математике. — М.: Просвещение, 1995.
8. Таранова М.В. Начнем движение // Математика в школе, 2003, № 2, с. 29–30.
9. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. — М.: Просвещение, 1983.

 

 

Динамические задачи

Таранова М.