Первый урок на построение сечений многогранников
Цели урока: рассмотреть решение задач на построение сечений, если две точки сечения принадлежат одной грани.
Ход урока
Изучение новых понятий
Определение 1. Секущая плоскость многогранника — любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.
Определение 2. Сечение многогранника — это многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.
Задание. Назовите отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани параллелепипеда (рис. 1). Назовите сечение параллелепипеда.
Рис. 1
Основные действия при построении сечений
Это важно знать |
Теоретическая основа |
Ответ |
| 1. Как проверить: построено сечение или нет | Определение сечения | Это должен быть многоугольник, стороны которого принадлежат граням многогранника |
| 2. До начала работы определить: можно ли по данным задачи построить сечение | Способы задания плоскости | Можно, если данные элементы задают однозначно плоскость, то есть даны три точки, не лежащие на одной прямой, точка и прямая и т.д. |
| 3. В плоскости какой-то грани есть две точки секущей плоскости |
Если две точки принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости | Через эти точки провести прямую |
| 4. В одной из параллельных граней есть сторона сечения, а в другой — точка сечения | Свойство параллельных плоскостей | Через эту точку провести прямую, параллельную данной |
| 5. В одной грани есть точка сечения и известно, что секущая плоскость проходит через прямую, параллельную этой грани | Признак параллельности прямой и плоскости. Свойство параллельных плоскостей | Построить прямую пересечения плоскостей, параллельную данной прямой |
| 6. Две точки сечения принадлежат одной грани, а третья точка лежит в смежной | Аксиомы стереометрии | Секущая плоскость пересекает грани по отрезкам OC и AB, которые называются следом секущей плоскости на гранях |
 |
||
Решение задач
Задача 1. Какой из четырехугольников, EFKM или EFKL, может быть сечением данного многогранника (рис. 2)? Почему?
Задача 2. Ученик изобразил сечение тетраэдра (рис. 3). Возможно ли такое сечение?
Решение. Нужно доказать, что N, M и H, L лежат в одной плоскости. Пусть точки N и M принадлежат задней грани, H и L — нижней грани, то есть точка пересечения NM и HL должна лежать на прямой, принадлежащей обеим граням, то есть AC. Продлим прямые NM и HL и найдем точку их пересечения. Эта точка не будет принадлежать прямой AC. Значит, точки N, M, L, H не образуют плоский многоугольник. Невозможно.
Задача 3. Построить сечение тетраэдра ABCS плоскостью, проходящей через точки K, L, N, где K и N — середины ребер SA и SB соответственно (рис. 4).
1. В какой грани можно построить стороны сечения?
[ASB, ASC]
2. Выбираем одну из точек, на которой оборвалось сечение.
Решение. Способ I. Выбираем точку L.
Определяем грань, в которой лежит выбранная точка и в которой надо построить сечение.
[ABC]
Определяем грань, в которой лежит прямая KN, не проходящая через выбранную точку L.
[ASB]
Находим линию пересечения граней ABC и ASB.
[AB]
Каково взаимное расположения прямых KN и AB (рис. 5)?
[Параллельны.]
Что нужно построить, если секущая плоскость проходит через прямую, параллельную линии пересечения плоскостей?
[Через точку L провести прямую,
параллельную AB. Эта прямая
пересекает ребро CB в точке P.]
Соединяем точки, принадлежащие одной грани. KLPN — искомое сечение.
Способ II. Выбираем точку N (рис. 6).
Определяем грани, в которых лежат точка N и прямая KL.
[SBC и SAC]
Линией пересечения этих плоскостей будет прямая SC. Находим точку пересечения прямых KL и SC. Обозначим ее Y.
Соединяем точки N и Y. Прямая NY пересекает ребро CB в точке P.
Соединяем точки, принадлежащие одной
грани.
KLNP — искомое сечение.
Объясните данное решение.
Один учащийся работает у доски, остальные в тетрадях.
Задача 4. Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки M, P и H, H ` (A1B1C1) (рис. 7).
Решение. 1. Соедините точки, принадлежащие одной грани.
2. Какую прямую и точку выбираем для построения сечения?
3. Что определяем дальше?
4. Каково взаимное расположение выбранной прямой и линии пересечения граней (рис. 8)?
5. Как построить след секущей плоскости на грани B1C1D1A1, проходящий через точку H?
6. Соедините точки, принадлежащие одной грани.
7. Какую прямую и точку нужно выбрать для построения следа секущей плоскости на грани AA1D1D?
8. Каково взаимное расположение граней BB1C1C и AA1D1D?
9. Каким свойством необходимо воспользоваться для построения следа секущей плоскости на грани AA1D1D?
10. Назовите искомое сечение.
Задача 5. Построить сечение пирамиды SABCD, проходящее через точки M, P и H,
H` (ABC) (рис. 9).
Ответ: см. рисунок 10.
Задание на дом
Задача. Как изменятся построения, если точ-
ка H изменит свое положение? Построить сечения, используя разные варианты (рис. 11).
