Тема урока: «Построение сечений многогранников»
Цели урока: формирование и развитие у учащихся пространственных представлений; выработка навыков решения задач на построение сечений простейших многогранников.
Оборудование: компьютер, раздаточный материал в виде готовых чертежей с задачами, тела многогранников, индивидуальные карточки с домашним заданием.
Ход урока
Учитель. Для решения многих геометрических задач, связанных с многогранниками, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями, находить точку пересечения данной прямой с данной плоскостью, находить линию пересечения двух данных плоскостей. На предыдущих уроках мы рассматривали сечения многогранников плоскостями, параллельными ребрам и граням многогранников. На этом уроке мы рассмотрим задачи на построение сечений плоскостью, проходящей через три точки, расположенные на ребрах многогранника. Для этого рассмотрим простейшие многогранники.
Что это за многогранники?
(Демонстрируются модели куба, тетраэдра, правильной четырехугольной пирамиды, прямой треугольной призмы. Учащиеся должны определить вид каждого многогранника.)
Учитель. Вспомним, что называется сечением многогранника.
Учащийся. Многоугольник, сторонами которого являются отрезки, принадлежащие граням многогранника, с концами на ребрах многогранника, полученный в результате пересечения многогранника произвольной секущей плоскостью.
Учитель. Какие многоугольники могут являться сечениями данных многогранников?
Учащийся. Сечения куба: треугольники, четырех-, пяти- и шестиугольники. Сечения тетраэдра: треугольники, четырехугольники. Сечения четырехугольной пирамиды и треугольной призмы: треугольники, четырех- и пятиугольники.
Тестирование с самопроверкой
Работа в парах. Задания проецируются на экран. Учащиеся записывают в тетрадях только ответ. На выполнение задания отводится 1 мин. За три правильных ответа — 3 балла.
Решение задач с объяснением хода решения учителем
Учитель. Перейдем к решению задач.
Первую задачу рассмотрим устно с пошаговым показом построения на экране монитора. (Переход осуществляется по клику мыши.)
Задача 1. Дан куб ABCDA1B1C1D1. На его ребре ВВ1 дана точка М. Найти точку пересечения прямой C1M с плоскостью грани куба ABCD.
Рассмотрим изображение куба ABCDA1B1C1D1 с точкой М на ребре ВВ1. Точки М и С1 принадлежат плоскости ВВ1С1. Что можно сказать о прямой C1M ?
Учащийся. Прямая C1M принадлежит плоскости ВВ1С1.
Учитель. Искомая точка X принадлежит прямой C1M, а значит, и плоскости ВВ1С1. Каково взаимное расположение плоскостей ВВ1С1 и ABC?
Тест
1. На каком рисунке изображено сечение куба плоскостью ABC?
2. На каком рисунке изображено сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания BD параллельно ребру SA?
3. На каком рисунке изображено сечение тетраэдра, проходящее через точку М параллельно плоскости ABS?
Учащийся. Данные плоскости пересекаются по прямой BC.
Учитель. Значит, все общие точки плоскостей ВВ1С1 и ABC принадлежат прямой BC. Искомая точка X должна принадлежать одновременно плоскостям двух граней: ABCD и BB1C1C; из этого следует, что точка X должна лежать на линии их пересечения, то есть на прямой ВС. Значит, точка X должна лежать одновременно на двух прямых: С1М и ВС, и следовательно, является их точкой пересечения. Построение искомой точки рассмотрим на экране монитора. Продолжим С1М и ВС до пересечения в точке X, которая и есть искомая точка пересечения прямой С1М с плоскостью грани ABCD.
Учитель. Для перехода к следующей задаче воспользуйтесь указателем перехода к следующему слайду. Эту задачу рассмотрим с краткой записью построения.
Задача 2. а) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки А1, М ∈ D1C1 и
N ∈ DD1.
б) Найти линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.
Решение. а) Секущая плоскость имеет с гранью A1B1C1D1 две общие точки А1 и М и, следовательно, пересекается с нею по прямой, проходящей через эти точки. Соединяя точки А1 и М отрезком прямой, находим линию пересечения плоскости будущего сечения и плоскости верхней грани.
Аналогично находим линии пересечения секущей плоскости с гранями АА1D1D и DD1С1С. Нажимая клавишу мыши, вы будете видеть краткую запись и ход построения.
Таким образом, A1NМ — искомое сечение.
Перейдем ко второй части задачи. Найдем линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.
б) Секущая плоскость с плоскостью основания куба пересекается по прямой. Чтобы изобразить эту прямую, достаточно найти две точки, принадлежащие данной прямой, то есть общие точки секущей плоскости и плоскости грани ABCD. Опираясь на предыдущую задачу, такими точками будут являться: точка X = MN ∩ CD.
Учащийся. Y = A1N ∩ AD.
Учитель. Посмотрим на экране ее построение. Соединяя точки X и Y, получим искомую прямую — линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба. На следующих слайдах представлена краткая запись и построения.
Задача 3. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ A1B1, N ∈
∈ B1C1 и K ∈ CC1.
Учитель. Опираясь на понятие сечения, нам достаточно найти в плоскости каждой грани две точки для построения линии пересечения секущей плоскости и плоскости каждой грани куба. Точки M и N принадлежат плоскости А1В1С1 . Соединив их, получим линию пересечения секущей плоскости и плоскости верхней грани куба. Продолжим прямые MN и D1C1 до пересечения. Получим точку Х , принадлежащую как плоскости А1В1С1 , так и плоскости DD1C1. Точки N и K принадлежат плоскости ВВ1С1. Соединив их, получим линию пересечения секущей плоскости и грани ВВ1С1С. Соединяем точки Х и K, и продолжим прямую ХK до пересечения с прямой DC. Получим точку Р и отрезок KР — линию пересечения секущей плоскости и грани DD1C1C. Продолжая прямые KР и DD1 до пересечения, получим точку Y, принадлежащую плоскости АА1D1. В плоскости этой грани нам требуется еще одна точка, которую получим в результате пересечения прямых MN и А1D1. Это точка Z = MN ∩ A1D1. Соединяем точки Y и Z, получим YZ ∩ AD = Q и YZ ∩ AA1 = R. Соединив Q и Р, R и M, получим MNKPQR — искомое сечение.
Краткая запись построения:
1) прямая MN;
2) MN ∩ D1C1 = X;
3) прямая NK;
4) прямая XK;
5) XK ∩ DC = P;
6) KP ∩ DD1 = Y;
7) MN ∩ A1D1 = Z;
8) прямая YZ;
9) YZ ∩ AD = Q;
10) YZ ∩ AA1 = R;
11) прямая QP;
12) прямая RM;
13) MNKPQR — искомое сечение.
Свой рассказ учитель сопровождает показом и записью построения.
Задача 4. Построить сечение четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки M ∈ SB, N ∈ SC, K ∈ AD.
Учитель. Кто желает прокомментировать данную задачу?
Краткая запись построения:
1) прямая MN;
2) MN ∩ BC = X;
3) прямая XK;
4) XK ∩ DC = P;
5) XK ∩ AB = Y;
6) прямая YM;
7) YN ∩ SA = Q;
8) прямая PN;
9) прямая KQ;
10) MNPKQ — искомое сечение.
Учитель. Предлагаю вам попробовать свои силы в самостоятельном решении подобных задач с записью плана построения. На работу отводится 10 минут. По окончании работы проведем проверку, каждая правильная задача оценивается в 1 балл.
Полученные баллы учащиеся проставляют в тетрадь. Оценка за урок выставляется по количеству баллов за тестирование и самостоятельную работу.
Учащимся выдаются задания по вариантам.
Задачи решаются с записью плана построения.
Самостоятельная работа
Вариант 1
1. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки A1; M ∈ B1C1; N ∈ AD.
2. Постройте сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через точки M ∈ SA; N ∈ SC; K ∈ BC.
Вариант 2
1. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки M ∈ C1D1; B1 и N ∈ AD.
2. Постройте сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки M ∈ A1B1; N ∈ BB1 и K ∈ AC.
Задание не дом
Во время выполнения самостоятельной работы учитель выдает каждому индивидуальное домашнее задание на карточках:
1. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки A1, M ∈ B1C1 и N ∈ DD1, и найдите линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.
2. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки M ∈ A1B1; N ∈ B1C1 и K ∈ DD1.
3. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки M ∈ D1C1; N ∈ CC1 и K ∈ AA1.
4. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки M ∈ (A1B1C1D1); N ∈ DD1 и
K ∈ AD.
5. Постройте сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки M ∈ AC; N ∈ CC1 и K ∈ BB1.
6. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки M ∈ AA1; N ∈ B1C1 и K ∈ DC. (Точки М, N и K лежат на скрещивающихся ребрах.)
7. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки M ∈ (AA1D1D); N ∈ (A1B1C1D1); K ∈ (DD1C1C).