Гимн теореме Фалеса
Выдающийся древнегреческий математик Фалес был первым, кто придал геометрии логический характер науки и ввел в нее понятие доказательства. По свидетельству Прокла (V в. н.э.), Фалес выполнял задачи на построение с помощью циркуля и линейки, доказал равенство вертикальных углов и углов при основании равнобедренного треугольника.
Считается, что именно он доказал теорему о вписанном угле, который опирается на диаметр, и признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам. И многое другое. Имя Фалеса чаще всего вспоминают в связи с теоремой о пропорциональности отрезков, которые отсекаются параллельными прямыми: (рис. 1) если
m 
n,
то 
Предлагаем серию задач, в которых видна эффективность использования теоремы Фалеса. Комментарии к задачам даем коротко (в стиле древних математиков: «Смотри!»).
Задача 1. В треугольнике АВС высота AH равна медиане BM. Найдите угол CBM.
Решение.Смотри рисунок 2
Задача 2. Биссектриса AL треугольника АВС делит сторону ВС в отношении 2 : 1, считая от вершины С. В каком отношении делит эту биссектрису медиана CM?
Решение. Проведем LK CM. (рис. 3)
Тогда BK : KM = 1 : 2.
Так как AM : MK = 3 : 2, то и AT : TL = 3 : 2.
Задача 3. Построить равнобедренный треугольник по основанию BC = a и медиане BM = mb, проведенной к боковой стороне.
Анализ и построение. По теореме Фалеса,
(рис. 4).
Поэтому строим базисный треугольник BDM, в котором
Задача 4. Построить равнобедренный треугольник (b = c) по двум неравным высотам ha и hb (рис. 5).
Анализ и построение. По теореме Фалеса,
Строим базисный треугольник ADH1 в котором
Задача 5. Точка А лежит на окружности, MK — хорда этой окружности. Найти на окружности такую точку Х, чтобы хорда АХ делилась хордой МK пополам.
Решение. Способ I. СD = АС (где АС ⊥ MK);
р МK (рис. 6).
Способ II. KТ = АK; р МK (рис. 7).
Задача 6. Доказать, что произвольный треугольник можно разрезать на девять равных треугольников.
Решение. Смотри рисунок 8.
Задача 7. В равнобедренном треугольнике АВС высота АН, проведенная к основанию, вдвое меньше биссектрисы СL. Найти углы треугольника АВС.
Решение. Проведем НK СL (рис. 9), тогда
∠НАK = 90° – 2α,
а ∠НKА = 3α (как внешний для треугольника НKВ). Следовательно, 90° – 2α = 3α, откуда α = 18°.
Ответ: 36°, 36°, 108°.
Задача 8. ВL — биссектриса в прямоугольном треугольнике АВС (∠С = 90°), М — точка пересечения медиан. Известно, что LМ ⊥ АС (рис. 10). Найти острые углы треугольника.
Решение. Поскольку LМ ⊥ АС и ВС ⊥ АС, то МL ВС. И тогда, по теореме Фалеса, 
Но 
(М — центроид), значит, 
По свойству биссектрисы 
то есть катет ВС в два раза меньше гипотенузы АВ. Следовательно, ∠А = 30°, ∠В = 60°.
Ответ: ∠А = 30°, ∠В = 60°.
Задача 9. Вершина А треугольника АВС перемещается так, что длина медианы СМ остается неизменной. Какую линию описывает при этом вершина А?
Решение. Проведем через вершину А прямую параллельно СМ, которая пересечет продолжение ВС в точке K (рис. 11). По теореме Фалеса ВС = KС и KА = 2СМ. Поэтому очевидно, что вершина А опишет окружность с центром в точке K радиуса R = 2СМ.
Задача 10. (Задача И. Ньютона.) Дан угол А и точка K внутри угла. Провести через K прямую ЕF (Е и F лежат на сторонах угла) так, чтобы
Решение. Проведем KТ АС (рис. 12). Построим точку Е на АВ такую, чтобы 
(построением находим отрезок 
).
Прямая ЕK пересечет АС в точке F (действительно, по теореме Фалеса, 
).
Задача 11. Найти косинус угла А равнобедренного треугольника АВС (b = с), ортоцентр которого делит пополам высоту, проведенную к основанию.
Решение. Проведем Н1K ВН2 (рис. 13). Тогда АН2 = KН2 (так как АН = НН1) и CK = KH2 (так как СН1 = Н1В). Из треугольника АВН2:
Ответ: 