Прекрасный сериал

В 2005 г. Московский энергетический институт (МЭИ) опубликовал свой банк задач вступительных экзаменов, в котором мы обнаружили прекрасные сериалы по многим темам школьного курса математики.
Об одном из таких сериалов и пойдет ниже разговор, поскольку в большинстве пособий для поступающих в высшие учебные заведения подобный сериал отсутствует.
Итак, сериал под номером 2.160. Решить следующие неравенства:

 

В нашей статье мы разбираем три различных подхода к решению подобных неравенств, два из которых относятся к традиционным для задач с параметром, а третий базируется на малоизвестных большинству читателей соотношениях между максимальной и минимальной величинами из двух данных.
Указанные соотношения абсолютно доступны любому школьнику, но, к сожалению, как мы уже отмечали, ему неизвестны.
Неравенство, которое обсуждается в статье, специально более громоздкое, чем неравенства а)–г), и имеет вид:

Задача. Для любого значения параметра a решите неравенство

Введение. Каждый множитель в неравенстве (1) имеет вид
(2)
Самый естественный путь избавиться от рассмотрения максимума и минимума в этой конструкции состоит в разборе двух случаев:
u < v и u > v.
Тогда выражение (2) примет вид или и из-за наличия двух множителей в исходном неравенстве (1) придется рассматривать совокупность четырех систем, каждая из которых состоит из трех неравенств:

Согласитесь, дальнейшая работа хоть и стандартна, но требует очень серьезных временных затрат.
Тем не менее мы этот этап пройдем, чтобы иметь возможность сравнить приведенные ниже решения исходной задачи.

Второй путь избавления от максимума и минимума основывается на специальных соотношениях между ними, которые в школьных учебниках не опубликованы. Указанные соотношения абсолютно доступны читателю, их мы также обязательно рассмотрим и прокомментируем.
Решение первое. Поскольку при u = v разность (2) равна нулю, то неравенство (1) принимает вид ложного утверждения 0 > 0. Отсюда следует, что неравенство (1) равносильно совокупности систем (3.1)–(3.4). Поэтому перейдем к очевидным преобразованиям указанных систем.
Для системы (3.1) получаем, что

Аналогично преобразуются системы (3.2)–(3.4).
Упражнение 1. Докажите, что

Совокупность систем (4.1)–(4.4) можно решить либо методом интервалов, либо графически в плоскости (x; a). В первом случае придется рассмотреть шесть возможных промежутков расположения корней ±a. Во втором случае придется «склеить» четыре картинки, соответствующие системам (4.1)–(4.4).
Упражнение 2. Решите систему (4.1) методом интервалов.
Упражнение 3. Решите систему (4.1) графически в плоскости (x; a).
Упражнение 4. Решите совокупность систем (4.1) и (4.2) методом интервалов.
Упражнение 5. Решите совокупность систем (4.1) и (4.2) графически в плоскости (x; a).
Упражнение 6. Решите методом интервалов совокупность систем (4.1)–(4.4).
Упражнение 7. Решите совокупность систем (4.1)–(4.4) графически в плоскости (x; a).

Прежде чем решать совокупность систем (4.1)–(4.4), укажем эффектное сведение ее к одному неравенству.

Сведение совокупности систем (4.1)–(4.4) к одному неравенству

Предлагаемое сведение предопределено тем, что левые части трех неравенств во всех четырех системах совпадают.
Пусть f = (x + a)(x – 1), g = x – a и h = (x + 3) (x + 1)x(x – 1)(x – 3). Тогда совокупность систем (4.1)–(4.4) выглядит следующим образом:

Покажем, что совокупность систем (5.1)–(5.4) равносильна одному неравенству
fgh < 0. (6)
Во-первых, совокупность любых двух систем из набора (5.1)–(5.4) равносильна одной системе двух неравенств.
Покажем это на примере систем (5.1) и (5.2).
В системах (5.1) и (5.2) первые неравенства совпадают: f < 0. Поэтому

Отсюда видно, что при f < 0 величины g и h всегда одновременно либо отрицательны, либо положительны, что равносильно положительности произведения gh. Откуда получаем, что

(7.1)

то есть тем самым для систем (5.1) и (5.2) утверждение доказано.

Упражнение 8. Покажите, что

(7.2)

Упражнение 9. Найдите для совокупности двух систем неравенств равносильную ей систему двух неравенств:

Из (7.1) и (7.2) следует, что совокупность систем (5.1)–(5.4) равносильна совокупности систем (7.1) и (7.2), то есть

(8)

Последняя совокупность (8) утверждает, что величины f и gh всегда противоположны по знаку, что равносильно отрицательности их произведения, а это и означает истинность неравенства (6).
Окончательно имеем, что исходное неравенст-
во (1) равносильно неравенству
(x + a)(x – a)(x + 3)(x + 1)x(x – 1)2(x – 3) < 0. (9)
Именно неравенство (9) мы решим и методом интервалов, и графически в плоскости (x; a).

Решение неравенства (9) методом интервалов
Поскольку мы должны объявить ответ неравенства (9) для всех значений параметра a, то мы должны разобраться в том, какие случаи придется рассматривать.
Именно в этом и заключаются основные трудности, которые нам придется преодолеть при решении неравенства (9) любым методом.
При решении методом интервалов неравенства (9), как известно, необходимо разобраться с нулями левой части этого неравенства.
Формально у нас их семь:
{–a; a; –3; –1; 0; 1; 3}, (10)
но, из-за наличия параметра a, ниоткуда не следует, что они все различны.
Поэтому, приравнивая –a и a ко всем остальным нулям, находим все значения параметра a, при которых набор (10) содержит менее семи различных элементов (не забудьте, что формально необходимо рассматривать и равенство –a = a).
Легко видеть, что указанными значениями являются a1 = –3, a2 = –1, a3 = 0, a4 = 1 и a5 = 3.
Располагая для удобства найденные значения параметра на его числовой оси, мы и выявим одиннадцать ситуаций, для каждой из которых мы отдельно будем решать неравенство (9).
Замечание. Если читатель уже имеет навыки решения задач с параметром, то он легко может сократить число различных ситуаций в нашей задаче до шести.
Любые два случая, указанные на рисунке 1, могут отличаться (а могут и не отличаться) друг от друга как количеством различных элементов в наборе (10), так и порядком их расположения на числовой оси Ox.

1-й случай. a < –3. Нули левой части неравенства (9) в этом случае располагаются на оси Ox следующим образом (рис. 2):

Согласно стандартной процедуре, изложенной во всех школьных учебниках, объявляем ответ: при a < –3
x ∈ (a; –3) (–1; 0) (3; –a). (11.1)
2-й случай. a = –3. Подставляем данное значение параметра в неравенство (9). Получаем неравенство без параметра:
(x + 3)2(x + 1)x(x – 1)2(x – 3)2 < 0.
Решаем его и объявляем ответ: при a = –3
x ∈ (–1; 0). (11.2)
3-й случай. –3 < a < –1. Как и в первом случае, располагаем нули на оси Ox и далее по известной процедуре находим ответ (рис. 3):

при –3 < a < –1
x ∈ (–3; a) (–1; 0) (–a; 3). (11.3)

Упражнение 10. Докажите методом интервалов, что:
(4-й случай) при a = –1
x ∈ (–3; –1) (0; 1) (1; 3); (11.4)
(5-й случай) при –1 < a < 0
x ∈ (–3; –1) (a; 0) (–a; 1) (1; 3); (11.5)
(6-й случай) при a = 0
x ∈ (–3; –1) (0; 1) (1; 3); (11.6)
(7-й случай) при 0 < a < 1
x ∈ (–3; –1) (–a; 0) (a; 1) (1; 3); (11.7)
(8-й случай) при a = 1
x ∈ (–3; –1) (–1; 0) (1; 3); (11.8)
(9-й случай) при 1 < a < 3
x ∈ (–3; –a) (–1; 0) (a; 3); (11.9)
(10-й случай) при a = 3
x ∈ (–1; 0); (11.10)
(11-й случай) при a > 3
x ∈ (–a; –3) (–1; 0) (3; a). (11.11)
Объединяя ответы (11.1)–(11.11) всех одиннадцати случаев, получаем ответ неравенства (9).
Значения параметра a (a = ±3, a = ±1, a = 0) мы специально выделили в отдельные случаи, чтобы проконтролировать собственные действия.
Например, убедитесь, что если в ответ (11.5) подставить граничные значения параметра a интервала (0; 1), то получим ответы (11.4) и (11.6) соответственно (при этом один из интервалов ответа (11.5) вырождается в пустое множество).
Это обстоятельство и позволяет нам надеяться на отсутствие ошибок в приведенном решении неравенства (9) методом интервалов.
Решение неравенства (9) в плоскости (x; a)
При решении неравенства F(x; a) < 0 в плоскости (x; a) принято выделять построение графика неравенства и его «чтение».
Поскольку в школьных учебниках изложены вопросы построения геометрического места точек (ГМТ), задаваемого условием F(x; a) ∨ 0,
то мы просто ограничимся предъявлением рисунка, на котором в координатной плоскости (x; a) заштрихованы такие и только такие точки, для которых выполняется неравенство (9) (рис. 4).

«Чтение» графика

Как по графику ответить на любой вопрос относительно неравенства (9)?
В первую очередь, необходимо уметь отвечать на следующий основной вопрос.
Основной вопрос: Какие значения переменной x являются решениями неравенства (9) при данном значении параметра a = a0?
Ответ: решениями неравенства (9) при данном значении a = a0 параметра a являются абсциссы всех точек пересечения прямой a = a0 с графиком неравенства (9) (см. рис. 4).
Когда мы фиксируем значение параметра, то на языке координатной плоскости (x; a) мы фиксируем ординату a точки этой плоскости. А это означает, что речь идет о прямой, проходящей через точку a = a0 на оси ординат и параллельной оси абсцисс.
Если на этой прямой есть точка M(x0; a0), принадлежащая графику неравенства (9), то ее абсцисса является одним из решений неравенства (9) при a = a0. Верно и обратное: если при данном a = a0 одним из решений неравенства (9) является x = x0, то точка M(x0; a0) принадлежит как графику неравенства (9), так и прямой a = a0, то есть их пересечению.
Теперь мы стоим перед минипроблемой:
Как описывать пересечение прямой a = a0 с графиком неравенства, с целью получения ответа этого неравенства при значении параметра a = a0?
Вот один из вариантов решения сформулированной минипроблемы на примере значения a0, принадлежащего интервалу (–∞; –3) (см. рис. 4).
Проводим прямую a = a0 и выделяем на ней (на рисунке 4 мы выделили сплошной линией) точки, общие с графиком неравенства (9), в нашем случае оказалось три интервала:
( M1; M2), (M3; M4) и (M5; M6).
Проецируем выделенные интервалы на ось Ox. Поскольку интервалы параллельны оси Ox, то они проецируются в интервалы (a0; –3), (–1; 0) и
(3; –a0) соответственно, концы которых есть абсциссы точек M1–M6.
Абсцисса каждой из точек M1–M6 находится из уравнения той прямой, на которой она находится.
Ясно, что порядок расположения точек M1–M6 на прямой a = a0 зависит от значения параметра a0, при этом некоторые точки могут совпасть (например, при a0 = ±3 точка M1 «сливается» с M2 (при a0 = –3) и с M5 (при a0 = 3)).
Именно поэтому при формировании ответа неравенства (9) по графику этого неравенства выделяют те же самые одиннадцать случаев, которые мы рассмотрели при решении неравенства (9) методом интервалов.

Упражнение 11. Проверьте ранее полученные ответы (11.1)–(11.11) с помощью графика неравенства (9), представленного на рисунке 4.

Теперь вернемся к исходному неравенству (1).
Спецпреобразование неравенства (1) в неравенство (9)
Пусть

Тогда имеет место симпатичный факт:
(12)
то есть сказать, что даны две величины, это то же самое, что сказать, что даны наибольшая из двух величин и наименьшая из них.
Поэтому операции над M и m легко сводимы к операциям над u и v. Верно и наоборот. Операции над u и v, если они симметричны относительно u и v, в большинстве ситуаций сводимы к операциям над M и m.
Указанные обстоятельства и предопределяют красоту исходной задачи.
Равенство (12) удобно интерпретировать на числовой оси.
Пусть величины u и v изображены точками на числовой оси без указания, какая из них u, а какая v (рис. 5).

Тогда длина промежутка с концами в указанных точках, как известно, равна модулю разности величин u и v, то есть | u – v |.
Левая точка соответствует наименьшей из величин, то есть m, а правая — наибольшей из величин, то есть M (рис. 6).

Поэтому, с другой стороны, длина промежутка равна M – m. Откуда получаем первое полезное тождество:
M – m = | u – v |. (13.1)
Середина промежутка [m; M] при любом расположении величин u и v, с одной стороны, всегда соответствует полусумме величин u и v, а с другой стороны, всегда соответствует полусумме m и M. Поэтому

то есть
m + M = u + v. (13.2)
Если от середины промежутка сдвинуться влево на половину его длины, то попадем в точку m, а если вправо, то в точку M. Отсюда опять получаем полезные тождества:

(13.3) (13.4)

Поскольку в произведении mжM, если один из сомножителей равен u, то другой равен v, всегда
m∙M = u∙v. (13.5)

Упражнение 12. Докажите тождества (13.1), (13.2) и (13.5), пользуясь равенствами (13.3) и (13.4).
Тождества (13.1), (13.2), (13.5) и позволяют легко перейти от исходного неравенства (1) к неравенству (9).
Пусть

Тогда неравенство (1) принимает вид:
(14)
Очевидно, что

Пользуясь тождествами (13.1), (13.2) и (13.5), получаем, что
(
Подставляя u1, v1, u2, v2 в последнее неравенство, после естественных упрощений мы и получим неравенство (9).
Имеем:
| u1 – v1 | = | (x2 + ax) – (x + a) |=| (x + a)(x – 1) |,
u1 + v1 = (x2 + ax) + (x + a) = (x + a)(x + 1),
| u2 – v2 | = | (x3 – ax2) – 9(a – x) | =
= | (x – a)(x2 + 9) | = | x – a |(x2 + 9),
u2 + v2 = (x3 – ax2) + 9(a – x) =
= (x – a)(x2 – 9) = (x – a)(x – 3)(x + 3).
Поэтому неравенство (14) принимает вид:

Так как (x + a)(x – a)x ≠ 0, то
| x + a | > 0, | x – a | > 0 и x2 > 0.
Отсюда следует, что

Наконец, известно, что | x – 1 | знакосовпадает с (x – 1)2, и

Отсюда получаем, что

⇔ (x + a)(x – a)(x + 3)(x + 1)x(x – 1)2(x – 3) < 0 ⇔ (9), что и требовалось доказать.

Упражнение 13. Решите неравенства а)–г), сформулированные во вступлении, всеми известными вам способами.

Желаем успеха на этом пути!

Голубев В.