Простые замечания о сложной методике обучения решению тригонометрических уравнений

Тригонометрия всегда считалась одним из самых сложных разделов школьного курса математики. Обилие формул, множество методов решения, необычность работы с периодическими функциями, громоздкие записи числовых серий и многое другое предопределяет не самое радужное настроение у осваивающего ее азы.
И учителя всегда стремились помочь своим ученикам в освоении тригонометрии: придумывались различные мнемонические правила и речевые обороты, помогающие лучше ориентироваться в большом количестве формул; стенографические приемы их запоминания.
Знакомя учащихся с методами решения тригонометрических уравнений, учителя стремятся организовать учебную работу на уроке так, чтобы ученики решали как можно больше задач, объединяя их в тематические блоки и цепочки, составляют тренажеры и организуют различные практикумы решения уравнений.
Но, как показывает практика, это не всегда педагогически эффективно и оправдано. Действительно, занимаясь развитием операционных навыков решения уравнений и предлагая уравнения, сводящиеся простейшим действием к одному и тому же виду:

добавляя иногда для разнообразия условие — «найдите корни, принадлежащие промежутку [0; π]», навык решения оттачивается, но особенность решения тригонометрического уравнения остается для ученика невыясненной. Происходит вытеснение структуры решения тригонометрического уравнения, расположения его корней на числовой окружности, ученик получает лишь технический навык, который может ему помешать в нахождении корней в случае простого, но комбинированного уравнения.
Основная цель первых уроков по обучению решению тригонометрических уравнений, и в особенности простейших тригонометрических уравнений, заключается в первую очередь в формировании у учащихся четкого представления структуры его решений, в умении оперировать с числовыми сериями. Поэтому первые уроки по обучению учащихся решению простейших тригонометрических уравнений должны содержать задачи, позволяющие раскрыть перед ними особенности записи корней в виде числовых серий, сформировать устойчивые навыки работы с ними.
Примером такого набора уравнений для первого урока могут быть следующие уравнения (именно в данной последовательности):

Обратите внимание, что для решения этих уравнений ничего, кроме определений синуса и косинуса числа, знать не нужно и нет необходимости применять таблицу значений тригонометрических функций. Это обстоятельство позволит не распылять внимание учащихся, а сфокусировать его на самом главном — показать, как устроена запись числовых серий корней уравнения, почему в некоторых случаях уравнение не имеет корней, почему в числовых сериях бывает разный шаг, научить их выполнять проверку корней непосредственно в числовой серии.
Первое и второе уравнения в предложенной серии — это отнюдь не «частный случай формулы», это уравнения, которые в простой ситуации покажут ученикам, что значит решить тригонометрическое уравнение.
Например, решить уравнение cos x = 1 — означает, что нужно найти все такие числа, которым на числовой окружности будет соответствовать точка с абсциссой, равной 1. Одной из координат этой точки будет число 0, расстояние на окружности между всеми числами будет 2π, следовательно, все числа могут быть представлены в виде 0 + 2πm, m ∈ Z, то есть решениями этого уравнения являются числа 2πm, m ∈ Z.
Главное назначение третьего уравнения — разобрать с учениками на уроке случай, когда тригонометрическое уравнение не имеет решений. Четвертое уравнение такой особенности не содержит.
Комментируя предложенную серию уравнений, заметим, что № 1, 2 и 4 нацелены на отработку алгоритма решения простейших тригонометрических уравнений с помощью числовой окружности, №  3 содержит фрагмент, в котором одно из уравнений-следствий не имеет корней.
Особенность пятого уравнения определяется тем, что в процессе его решения необходимо найти значения переменной, при которых знаменатель дроби обращается в ноль. Ученики смогут наглядно увидеть качественное изменение числовой серии и как можно находить посторонние корни при решении тригонометрических уравнений.
Решениям уравнения sinx = 0 на числовой окружности соответствуют две точки А и В.

Однако абсцисса точки В равна (–1), следовательно, числа, соответствующие этой точке на числовой окружности, не могут быть корнями исходного уравнения.
Решениями уравнения будут числа 2πn, n ∈ Z.
Самым важным в процессе решения этого уравнения оказывается эффект незавершенного решения. Если у учащихся выработаны лишь операционные навыки, то, получив решения уравнения sin x = 0 в виде πn, n ∈ Z, им предстоит выяснить, есть ли среди них числа вида π + 2πk, k ∈ Z, решения уравнения cos x = –1. Сделать это проверкой можно, но вызывает сомнение целесообразность такого подхода. Определять совпадение чисел — тоже скверное занятие, особенно для ученика, которому мы хотим раскрыть красоту математики в целом и тригонометрии в частности. В то же время, зная структуру полученных решений и ограничений, даже не приступая к записи корней, можно выполнить самый сложный этап решения задачи — отбор корней.
Этот эффект — эффект незавершенного решения — не раз выручит учеников в процессе решения и довольно сложных уравнений, и систем тригонометрических уравнений. Вот только парадокс психологии заключается в том, что учить учеников останавливаться нужно сразу, а не потом, когда они, научившись выдавать сложные числовые серии, будут недоумевать, почему не стоило решать уравнения-следствия до конца, до получения полной записи.
Положение уравнения cos x + sin x = 1 очень часто вызывает недоумение учителей. Уравнение решается методом введения вспомогательного аргумента, требует применения формул сложения и представления числа в виде значения тригонометрической функции, а оно вдруг предложено прямо на первом уроке.
На самом деле это не так. Учащиеся знают определение синуса и косинуса числа, а значит, это уравнение можно интерпретировать как нахождение числа, для которого соответствующая ему точка на числовой окружности будет иметь в прямоугольной системе координат координаты с суммой абсциссы и ординаты равной единице.
Решение уравнения cos x + sin x = 1 будет опираться на нахождение точек пересечения числовой окружности и прямой х + у = 1.
Точка А на числовой окружности имеет координаты соответствуют числа 2πk, k ∈ Z.
Таким образом, корнями уравнения cos x + sin x = 1 будут числа

И при этом не потребовалось никаких сложных преобразований.

Важно заметить, что ценность этого примера заключается не в том, что учащиеся смогут познакомиться с различными приемами решения таких уравнений, а в том, что не следует упускать возможность оперирования зрительными образами, особенно там, где они существенно облегчают восприятие материала. Кроме того, для решения этого уравнения ничего, кроме знания определений синуса и косинуса числа и умения определять координаты точек на числовой окружности, не потребовалось.
В будущем, когда ученики решат это уравнение методом введения вспомогательного аргумента, они могут получить такую запись корней:

что позволит рассмотреть с учащимися вопрос, возникший естественным образом, о равнозначности записи числовых серий (см.: Математика, 2009, № 22).
Задачи 6 и 8 связаны между собой. Если в № 6 вопрос о так называемом «раскрытии знака модуля» вообще может не ставиться, то в № 8 необходимо не только рассмотреть несколько случаев, но и еще определить, какое из чисел cos 1, cos 3 будет удовлетворять требованию cos x > 0. Учащиеся, умеющие решать тригонометрические уравнения, лишь манипулируя формулами, могут вообще не справиться с этой задачей,
в то же время умения структурного представления решений на числовой окружности, заложенные на первых уроках обучения решению тригонометрических уравнений, позволят им избежать таких затруднений.
Предложенная деятельность учителя не является решением отдельной методической задачи. Такой подход к обучению решению тригонометрических уравнений, в первую очередь простейших, позволяет активнее включать учащихся в работу по решению задач второй части ЕГЭ по математике.

В качестве примера рассмотрим задачу С1, предложенную в диагностической работе для учащихся 11-го класса (источник: сайт www.mathege.ru).

Из первого уравнения системы следует, что
sin 2x + cos x = 0 и y – 1 > 0.
Уравнение sin 2x + cos x = 0 равносильно совокупности уравнений
Если что противоречит требованию y – 1 > 0, и значит, любой корень этого уравнения является посторонним для исходной системы уравнений.
Можно только догадываться, какие интеллектуальные мучения будет испытывать ученик,
разбираясь с числами вида для выполнения дальнейших действий по отысканию у, которые к тому же не окажутся решениями системы.
Если же cos x = 0, то на числовой окружности легко показать, что корням этого уравнения будут соответствовать две точки, у одной ордината равна 1, а у другой (–1), и требованию
y – 1 > 0 будут удовлетворять числа, соответствующие точке с ординатой 1.
Вот так несложно можно провести отбор числовых серий.
Ответ:

В качестве домашнего задания к предложенной серии уравнений для первого урока по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений» можно предложить решить следующие уравнения.

 
Развитие идей этого урока заключается в постепенном усложнении решаемых уравнений за счет включения так называемых уравнений с табличными значениями тригонометрических функций, а также заданий с необходимостью определять значения на числовой окружности.

Самсонов П.