Интеллектуальный марафон

Московский интеллектуальный марафон как олимпиада по комплексу предметов впервые был проведен больше десяти лет назад по инициативе Московского департамента образования как соревнование нескольких ведущих школ Москвы, чтобы проверить уровень подготовленности по различным предметам учеников этих школ.
Постепенно марафон стал традицией и проводится ежегодно в четыре тура (школьный, муниципальный, окружной и городской) по трем возрастным группам (1–4, 5–8 и 9–11-й классы).
В нашей школе Интеллектуальный марафон проводится с 2005 года.
Цели: предоставить учащимся возможность проявить свои способности в различных областях знания, оценить культурный потенциал школьников.
Как и когда. В одну из суббот октября, вместо обычных уроков и по особому расписанию, проходят соревнования Интеллектуального марафона.
В цикл «Гуманитарные науки» входят: история, русский язык и литература, иностранный язык (в 10-м и 11-м классах «Русский язык и литература» — отдельный цикл).
В цикл «Естественные науки» входят: естествознание, биология, химия, физика (в 8–11-х классах «Физика» — отдельный цикл).
В цикле «Общая эрудиция» представлены вопросы из различных отраслей знания, предназначенные для выявления «культурного уровня учащегося» — того, что обычно называется «общим развитием», «начитанностью» и т.д., без чего трудно представить образование современного человека.
Как подводятся итоги. Сумма баллов заданий каждого цикла равна 100. При подведении итогов учитывается не только правильность решения задачи, но и «вес» задачи (т.е. количество баллов за эту задачу). Победитель марафона в каждой параллели объявляется по сумме баллов по всем циклам.

Уроки	Классы
	5-7	8-9	10-11
Первый	Математика	Алгебра	Алгебра
Второй	Гуманитарные науки	Геометрия	Геометрия
Третий	Естественные науки	Физика	Физика
Четвертый	Эрудиция	Естественные науки	Естественные науки
Пятый		Гуманитарные науки	Гуманитарные науки
Шестой			Русский язык и литература

Задания Интеллектуального марафона

Цикл «Математика»

5-й класс
5.1. У Васи 20 марок, а у Пети 40 марок. Они обмениваются между собой некоторыми марками из своих коллекций. Может ли в результате обмена оказаться, что у Васи стало 50 марок, а у Пети — 15 марок?
5.2. Можно ли разместить восемь коров и девять гусей в пяти загонах так, чтобы в каждом были и коровы, и гуси и количество ног в каждом загоне было равно десяти.
5.3. «Дедушка, сколько тебе лет?» — спросил внук деда. «А вот прибавь к моему возрасту по
2 года за каждый полный десяток моих лет и получишь 84 года», — ответил дед. Сколько лет деду?
5.4. На каждой перемене Вася решал по одной олимпиадной задаче. Сколько всего задач он решил за неделю (шесть учебных дней), если на этой неделе у него было 37 уроков?
5.5. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Встретились несколько островитян, и каждый из них заявил: «Вы все — лжецы». Сколько рыцарей могло быть среди этих островитян?
5.6. В наборе 21 гиря: в 1 кг, 2 кг, ..., 20 кг, 21 кг. Можно ли их разложить на две равные по весу кучки?

6-й класс
6.1. Можно ли представить дробь в виде суммы двух различных дробей с числителем 1?
6.2. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На острове провели лотерею, и у половины жителей оказались выигрышные билеты. На острове был проведен опрос: каждого жителя спросили, достался ли ему выигрышный билет. Ровно половина всех жителей сказали «да», остальные ответили «нет». Кого больше: лжецов с выигрышными билетами или лжецов без выигрышных билетов?
6.3. Имеется 8 одинаковых с виду монет, среди них одна фальшивая. Известно, что все настоящие монеты весят одинаково, а фальшивая монета легче настоящей монеты. Можно ли с помощью всего двух взвешиваний найти фальшивую монету?
6.4. Четверо шестиклассников — Андрей, Боря, Вася и Гена — решили определить свой общий вес. Но поскольку все четверо на весы не поместились, то они стали взвешиваться по трое или по двое. Оказалось, что Андрей, Боря и Вася весят 90 кг, Боря, Вася и Гена – 92 кг, а Андрей и Гена вместе — 58 кг. Сколько весят все четверо мальчиков вместе? 
6.5. Вол съел копну одним часом, конь съел копну в два часа, а коза съела копну в три часа. Сколько бы они скоро, все три — вол, конь и коза, ту копну съели, сочти.
6.6. От причала А к причалу В отошли катер и лодка. Известно, что они плыли с постоянными скоростями, причем скорость катера в 5 раз больше, чем скорость лодки, но катер сделал несколько остановок. Сколько времени катер затратил на остановки, если на путь от А до В он затратил
2 часа, а лодка — 4 часа?

7-й класс
7.1. Придумайте шесть различных натуральных чисел, чтобы их сумма была кратна каждому из них.
7.2. На плоскости отмечены 10 точек так, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Сколько существует четырехугольников с вершинами в этих точках?
7.3. В трех кучках лежат предметы, по 2008 предметов в каждой. За ход разрешается взять произвольное количество предметов, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?
7.4. Вася выехал из дома на велосипеде и поехал на железнодорожную станцию, находящуюся на расстоянии 12 км. Он рассуждал так:
«В моем распоряжении полтора часа, чтобы успеть на электричку.Четыре километра дорога идет в гору,и мне придется идти пешком.Я управлюсь
за час. Затем четыре километра дорога идет под гору, на этом участке я разовью скорость 12 км/ч. Последние четыре километра — ровная дорога, по ней я буду ехать со скоростью 8 км/ч. В среднем моя скорость составит 8 км/ч, так что я доберусь вовремя». Успеет ли он на поезд?
7.5. На одной из чашек весов лежит груз массой 17 г. Вася последовательно кладет на любую из двух чашек весов по одной гирьке. Масса первой гирьки равна 1 г, а каждая следующая гирька на 1 г тяжелее предыдущей. Какое наименьшее число гирь должен положить Вася для того, чтобы уравновесить весы?
7.6. За два года завод снизил объем выпускаемой продукции на 51%. При этом каждый год выпуск снижался на одно и то же число процентов. На сколько?

Цикл «Алгебра»

8-й класс
8.1. Найдите произведение 99 множителей:
(100 – 1²)(100 – 2²)∙...∙(100 – 99²).
8.2. Известно, что x + y = a, xy = b. Вычислите x4 + y4.
8.3. Первый фонтан наполняет бассейн за 2 ч 30 мин, второй — за 3 ч 45 мин. За какое время наполнят бассейн 2 фонтана?
8.4. Если велосипедист будет ехать со скоростью 10 км/ч, то он опоздает на 1 час. Если же он будет ехать со скоростью 15 км/ч, то он приедет на 1 час раньше. С какой скоростью он должен ехать, чтобы приехать вовремя?
8.5. Может ли число вида быть квадратом натурального числа?
8.6. Назовем автобусный билет «счастливым», если сумма цифр его шестизначного номера делится на 13. Могут ли два идущих подряд билета оказаться счастливыми?

9-й класс
9.1. Найдите значение выражения при x = 2008.

9.2. Решите систему уравнений


9.3. После того, как в десятичной записи числа вычеркнули 2008-ю цифру, получилось число a.
Что больше: a или ?
9.4. При каких значениях a наибольшее значение функции
f(x) = x2 + 2ax + 2
на отрезке [–1; 3] равно 17?

9.5. Найдите все пары целых чисел x и y, являющихся решениями системы неравенств

9.6. Из некоторого пункта кольцевой дороги в одном направлении выехали одновременно велосипедист и мотоциклист. Известно, что каждый из них двигался с постоянной скоростью и мотоциклист обогнал велосипедиста в n-й раз, когда велосипедист проехал ровно m кругов. Во сколько раз скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста?

10-й класс
10.1. Сократите дробь
10.2. Известно, что sin x + cos x = a. Найдите sin4 x + cos4 x.

10.3. Найдите все значения параметра a, при которых корни уравнения
(a2 – a + 2)x2 + (2a + 4)x + a – 9 = 0
на числовой прямой расположены по разные стороны от единицы.

10.4. Докажите неравенство
5a2 – 6ab + 5b2 ≥ 0.
При каких значениях a и b возможно равенство?

10.5. Найдите наибольшее значение выражения


10.6. При каких значениях a, b и c уравнения
ax2 + bx + c = 0,
bx2 + cx + a = 0,
cx2 + ax + b = 0
имеют общий корень?

11 класс
11.1. Решите уравнение
x4 – 3x2(x + 1) + 2(x + 1)2 = 0.

11.2. Седьмой член арифметической прогрессии равен 2. Найдите сумму первых тринадцати ее членов.

11.3. Определите множество значений функции

11.4. Пусть a, b, c — стороны треугольника. Докажите, что
2(a2b2 + b2c2 + c2a2) > a4 + b4 + c4.

11.5. При каких значениях a уравнение имеет единственное решение?

11.6. Придумайте формулу для общего члена бесконечной последовательности:
1; 2; 3; 1; 2; 3; 1; 2; 3; 1; 2; 3...

Цикл «Геометрия»

8-й класс
8.1. В треугольнике ABC сторона AC в 2 раза больше стороны AB. Найдите угол между медианой BM и биссектрисой AL.

8.2. У звезды ACEBD равны углы при вершинах А и В (рис. 1), углы при вершинах Е и С, а также длины отрезков АС и ВЕ. Докажите, что отрезки АD и BD равны.

8.3. Равнобокая трапеция разбивается диагональю на два равнобедренных треугольника. Определите углы трапеции.

8.4. Биссектрисы углов A и D прямоугольника ABCD делят сторону BC на три равные части точками M и N. Сторона AB равна 4. Найдите периметр прямоугольника ABCD.

8.5. На плоскости отмечены 6 точек (как на рис. 2), причем AB = AF, BC = CD, DE = EF. Верно ли, что биссектрисы углов A, C и E пересекаются в одной точке?

9-й класс
9.1. В треугольнике АВС провели медиану СМ. Известно, что АС > ВС. Какой из углов больше: ВСМ или АСМ?

9.2. Угол между единичными векторами равен 60°. Найдите абсолютную величину вектора

9.3. Дан равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна m. На расстоянии m от вершины A взята точка D. Найдите величину угла BDC.

9.4. На гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC с суммой катетов p построен вне треугольника квадрат с центром O. Найдите AO.

9.5. Точка D — середина стороны AC треугольника ABC. На стороне BC выбрана такая точка E, что углы BEA и CED равны. Найдите отношение сторон AE и ED.

10 -й класс
10.1. В треугольнике АВС провели медиану СМ. Известно, что АС > ВС. Какой из углов больше: ВСМ или АСМ?

10.2. Биссектриса AL треугольника АВС пересекает его описанную окружность в точке К. Известно, что АС > АВ. Сравните радиусы описанных окружностей треугольников BKL и CKL.

10.3. Дан квадрат ABCD, расположенный по одну сторону от плоскости α. Параллельные прямые AA1, BB1, CC1, DD1 пересекают плоскость α в точках A1, B1, C1, D1. Известно, что AA1 = a,
BB1 = b, CC1 = c. Найдите длину отрезка DD1.

10.4. Дан параллелограмм ABCD, в котором
AC : CD = 2 : 1. Докажите, что BK : KC = 2 : 1, если K — такая точка отрезка BC, что угол ADB равен углу BDK.

10.5. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 см. Найдите кратчайший путь по поверхности куба из точки пересечения диагоналей грани AA1B1B к вершине С.

11-й класс
11.1. В треугольнике АВС провели медиану СМ (рис. 3). Известно, что АС > ВС. Какой из углов больше: ВСМ или АСМ?

11.2. Найдите площадь выпуклого четырех­угольника ABCD (рис. 3), если известно, что его стороны AB и CD перпендикулярны, AB = 12,
BC = 17, CD = 4, DA = 5.

11.3. На шахматной доске отмечены центры всех клеток. Рассмотрим все векторы, начало которых в центре черной клетки, а конец — в центре белой клетки. Найдите сумму этих векторов.

11.4. Существуют ли в пространстве четыре точки, для которых выполняются следующие соотношения: AB = CD = 8 см, AC = BD = 10 см, AB + BC = 13?

11.5. На ребрах A1B1 и AB правильной призмы ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P и Q — середины этих ребер. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через прямую CP параллельно прямой B1Q. Найдите площадь полученного сечения, если AB = a, AA1 = 2a.

Ответы, решения, указания

Цикл «Математика»

5.1. Нет.
Общее количество марок в результате обмена измениться не могло. До начала обмена было
60 марок, а после обмена стало 65. Противоречие.

5.2. Да.
В каждом их трех первых загонов разместим по две коровы и гуся, в каждом их двух оставшихся — по три гуся и корову.

5.3. 70 лет.
Будем решать задачу перебором. Посмотрим, сколько полных десятков могло быть деду.
1. Если возраст деда составляет 8 полных десятков — это слишком много, не меньше, чем
80 + 8∙2 = 96, что больше 84.
2. Не могло быть и 6 полных десятков. Действительно, получится не больше, чем
69 + 6∙2 = 81, что меньше 84.
3. Если ему ровно 70 лет, тогда 70 + 7∙2 = 84, что соответствует условию задачи.
4. Если деду 7 полных десятков лет, но больше 70, то результат будет не меньше, чем
71 + 7∙2 = 85, что больше 84.

5.4. 31 задача.
Между 37 уроками 36 промежутков, причем 5 из них – это не перемены, а окончания учебного дня. Значит, перемен за неделю было 31, он решил 31 задачу.

5.5. Один.
Предположим:
1) что все лжецы. Тогда каждый из них сказал правду, что для лжеца невозможно. Следовательно, хотя бы один рыцарь среди них имеется;
2) тогда имеющийся рыцарь сказал правду, а все остальные — лжецы, то есть среди них рыцарь был только один.

5.6. Нет.
Суммарный вес всех гирь — нечетное число, так как суммы 1 + 21, 2 + 20, ..., 10 + 12 представляют собой четные числа, а оставшееся число 11 — нечетное.

6.1. Да.
Например,

6.2. Поровну.
Введем обозначения: РВ — рыцарь с выигрышным билетом, РБ — рыцарь без выигрышного билета, ЛВ — лжец с выигрышным билетом, ЛБ — лжец без выигрышного билета. Ответ «да» могли дать только ЛБ и РВ — это половина всех жителей. Выигрышные билеты есть у РВ и ЛВ – это тоже половина жителей острова. Значит,
ЛБ + РВ = РВ + ЛВ, следовательно, ЛБ = ЛВ.

6.3. Можно.
Положим на чашки весов по три монеты, а оставшиеся две монеты отложим. Возможны два случая.
1. Чашки оказались в равновесии. Тогда среди них нет фальшивой монеты, следовательно, фальшивая одна из отложенных. Сравнив их, найдем фальшивую монету.
2. Одна чашка оказалась легче. Тогда фальшивая монета на более легкой чашке. Сравним две из трех монет, лежащих на легкой чашке. Если они равны по весу, то фальшивая третья. Если равновесия нет, то более легкая монета — фальшивая.

6.4. 120 кг.
Обозначим вес мальчиков по первым буквам их имен.
Из первого условия следует, что А + Б + В = 90, из второго — Б + В + Г = 92. Сложив два первых условия, получим, что
А + 2Б + 2В + Г = 182.
Из третьего условия получим, что А + Г = 58. Вычтем из третьего равенства четвертое:
2Б + 2В = 124, откуда Б + В = 62. Наконец, вычтем из третьего равенства последнее. Итого:
А + Б +В + Г = 120.

6.5. За  
Можно подсчитать, что за 6 часов они съедят вместе 11 копен сена. Действительно, вол съест 6 копен сена, конь — 3 копны, коза — 2 копны.
Следовательно, одну копну съедят за часа.

6.6. 1 ч 20 мин.
Поскольку скорость катера в 5 раз больше скорости лодки, то он должен был прибыть к месту назначения за часа. Следовательно, на остановки он потратил  

7.1. Например 1; 2; 3; 6; 12; 24.
Заметим, что 1 + 2 + 3 = 6 и 6 кратно числам 1, 2, 3. Присоединив к ним их сумму, получим набор чисел 1; 2; 3; 6. При этом их сумма, число 12, кратна 6, а следовательно, каждому из чисел 1; 2; 3; 6. Далее будем действовать аналогично.

7.2.  210.
Из десяти точек мы можем выбрать четыре 10∙9∙8∙7 = 5040 способами. При этом мы не должны учитывать порядок выбора этих точек, следовательно, каждый четырехугольник подсчитан несколько раз. Поменять 4 точки местами можно 4ж3ж2 = 24 способами. Поэтому различных четырехугольников 5040 : 24 = 210.

7.3. Выигрывает «первый» игрок.
Выигрышная стратегия: забрать все предметы из одной кучки, тогда игра сводится к игре «две кучки по 2007», в которой «первый» игрок играет вторым. В новой игре «первому» игроку достаточно «играть симметрично», повторяя ходы первого, но только в другой кучке. Таким образом, после ходов второго количество предметов в кучках становится равным, ситуация, когда в обеих кучках не останется ни одного предмета, наступает после хода второго, а значит, он выиграет.

7.4. Нет.
Посчитаем потраченное Васей время: первый участок он преодолеет за 1 ч, второй участок — за 20 мин, третий участок — за 30 мин. На весь путь Вася потратит 1 час 50 минут, следовательно, опоздает на электричку.

7.5. Шесть гирь.
Чтобы уравнять весы, на которых уже лежит 17 г,нужно добавить не меньше 17 г. Пять гирь для этого мало: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, а 6 гирь — достаточно, так как 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = 2 + 17. Следовательно, он должен добавить не менее 6 гирь.

7.6. На 30%.
Вначале заметим, что «уменьшить число на 51%» фактически означает «умножить на 0,49», аналогично, «уменьшить число на p%» означает «умножить на некоторое число ». Последнее означает, что при уменьшении на p% мы умножаем на одно и тоже число. Обозначим его a. Запишем теперь решение в виде таблицы:

Период времени	Объем продукции
Первоначально	x
Через год	ax
Через два года	a2x = 0,49x

Получили уравнение 0,49x = a²x, откуда следует, что a = 0,7. Последнее означает, что ежегодно объем продукции уменьшался на 30%.

Цикл «Алгебра»

8.1.  0.
Среди множителей присутствует множитель 100 – 10² = 0.

8.2. a⁴ – 4a²b + 2b².
1) x² + y² = (x + y)² – 2xy = a² – 2b;
2) x⁴ + y⁴ = (x² + y²)² – 2x²y² = (a² – 2b)² – 2b² = a⁴ – 4a²b + 2b².

8.3. За 1,5 ч.
Первый фонтан заполняет за час бассейна, второй — бассейна, следовательно, вместе за час они заполнят две трети бассейна, а последнюю треть еще за полчаса.

8.4. 12 км/ч.
Способ I (арифметический). Предположим, велосипедистов двое и скорости их равны 10 км/ч и 15 км/ч. Если бы первый из них выехал на 2 ч раньше второго, то они финишировали бы одновременно. При этом второй велосипедист давал бы фору первому в 20 км, которую он наверстал бы за
Следовательно, он проехал 15∙4 = 60 км.Осталось определить скорость велосипедиста, проезжающего 60 км за 5 ч.
Способ II (алгебраический). Пусть надо прибыть на место через x ч. Тогда
10(x + 1) = 15(x – 1),
откуда x = 5, то есть надо прибыть на место через
5 ч, расстояние равно 10ж(5 + 1) = 60 км, а искомая скорость —  

8.5. Нет.
Предположим, что   — квадрат натурального числа.

Тогда

и поскольку 7, 11 и 13 числа простые, то кратно 7, 11 и 13, а следовательно, кратно 1001. Но Противоречие.

8.6. Да.
Например, 444 999 и 445 000. Суммы 39 и 13, соответственно, кратны 13.

9.1. 6.
Преобразуем выражение

Ответ не зависит от значения x, если x ≠ 25.

9.2. (1; –2) и (–1; 2).
Проведем равносильные преобразования. Получим:

Рассмотрим два случая:

Вторая система уравнений решений не имеет. Проверьте самостоятельно.

9.3. 
Поскольку а длина периода 6, следовательно, 2008-я цифра после запятой равна 4.
После вычеркивания на ее месте окажется 2.

9.4. –7; 1.
Заметим, график функции f(x) = x² + 2ax + 2 —
парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, наибольшее значение достигается на одном из концов промежутка [–1; 3].
1) Проверим, может ли наибольшее значение достигаться при x = –1. Получим:
f(–1) = 3 – 2a = 17,
тогда a = –7. При этом f(3) = 11 – 42 < 17. Следовательно, наибольшее значение достигается в точке x = –1 и равно 17.
2) Проверим, может ли наибольшее значение достигаться при x = 3. Тогда f(3) = 11 + 6a = 17, откуда a = 1, а f(–1) = 3 – 2 < 17.
Решение можно проиллюстрировать рисунками.

9.5. (0; 0), (2; 0), (1; 1).
Перепишем первое неравенство системы в виде

Поскольку x и y целые числа, то y ≥ 0. Из второго неравенства системы получим:
y + | x – 1 | < 2. Следовательно, y < 2, то есть y = 0 или y = 1. Рассмотрим случаи:
1. y = 0, тогда

Из первого неравенства получим: x = 0 или x = 2, что удовлетворяет второму неравенству.
2. y = 1, тогда

Из первого неравенства получим x = 1, что второму неравенству удовлетворяет.

9.6. В
Пусть велосипедист проехал x кругов до того момента, когда мотоциклист обогнал его в первый раз. Тогда:
1) велосипедист проехал nx кругов до того момента, когда мотоциклист обогнал его в n-й раз. Из условия задачи следует, что nx = m, откуда
2) так как за одно и то же время велосипедист проезжает x кругов, а мотоциклист x + 1 круг, то скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста в раз, откуда получим ответ:

10.1. 
Так как 2 – 2a > 0, то a < 1.
Далее: a2 – a = a(a – 1) ≥ 0 и a < 1, то a ≤ 0.
Кроме того,
a2 – 1 = (a – 1)(a + 1) ≥ 0, следовательно, a ≤ –1.
Воспользуемся тождеством

10.2. 
1. sin⁴ x + cos⁴ x = (sin² x + cos² x)² – 2sin²x cos²x = 1 – 2sin²x cos²x.
2. Вычислим произведение sin xжcos x. Получим:
(sin x + cos x)² = 1 + 2sin x cos x = a²,
откуда

3. Далее:

10.3. a ∈ (–3; 1).
Заметим, что

то есть «ветви» соответствующей параболы направлены вверх. Тогда из геометрических соображений следует, что требование задачи выполняется в том и только том случае, если f(1) < 0,
то есть a² + 2a – 3 < 0, что равносильно
(a – 1)(a + 3) < 0.

10.4. Равенство достигается при a = b = 0.
Способ I. Заметим, что
5a² – 6ab + 5b² = 2a² + 3(a – b)² + 2b² ≥ 0.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда
2a² = 3(a – b)² = 2b² = 0.
Способ II. Будем рассматривать выражение
f(a) = 5a² – 6ab + 5b²
как квадратный трехчлен относительно a, причем «ветви» этого квадратного трехчлена направлены вверх и требуется доказать, что f(a) ≥ 0. Чтобы для любого a выполнялось неравенство f(a) ≥ 0, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неположителен, причем равенство возможно, только если дискриминант равен нулю.

Но


и значит,

10.5. 1.
Заметим, что | x | ≤ 1, | y | ≤ 1. Пусть x = sin α,
y = sin β, причем тогда выражение примет вид:
sin α cos β + cos α sin β = sin (α + β) ≤ 1.
Равенство достигается, если то есть, например, когда

10.6. При a + b + c = 0.
Пусть x — корень всех трех уравнений. Сложив уравнения, получим:
(a + b + c)(x² + x + 1) = 0.
Уравнение x² + x + 1 = 0 корней не имеет, следовательно, должно выполняться условие
a + b + c = 0.
Действительно, при этом условии все три уравнения имеют общий корень 1.

11.1. 
Пусть y = x², z = x + 1, тогда y² – 3yz + 2z² = 0. Решим квадратное уравнение относительно y. Получим: y₁ = z, y₂ = 2z. Осталось решить уравнения
x² = x + 1 и x² = 2x + 2.

11.2. 26.
Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии. Получим:

Следовательно,
S₁₃ = a₁ + a₂ + ... + a₁₃ = 13a₇ = 26.

11.3. 
Способ I. Пусть тогда поскольку

причем α — угол первой четверти.
Тогда

откуда

причем верхняя оценка достигается при а нижняя при x = 0.
Способ II. Можно додуматься до ответа и доказывать «в лоб»:
1)  равносильно

Последнее неравенство очевидно;
2)  равносильно 4x – 4x² ≤ 1, (2x – 1)² ≥ 0.

11.4. 1. Пусть a, b и c стороны треугольника и a > b ≥ c, тогда
a – b < c, (a – b)² < c²,
a² + b² – c² < 2ab,
(a² + b² – c²)² < 4a²b²,
a⁴ + b⁴ + c⁴ < 2a²b² + 2c²a² + 2b²c²,
что и требовалось доказать.
2. Если a = b, то неравенство примет вид:

что верно, так как

11.5. 4.
Пусть (x – 2)² = p, тогда уравнение принимает вид Пусть полученное уравнение имеет решение p₁. Тогда уравнение (x – 2)² = p₁ имеет единственное решение только в том случае, когда p = 0, то есть x = 2. Осталось найти значение a. Получим:

11.6. Например,

Попробуем в этом убедиться. При
1) n = 3k + 1, где k = Z, получим:

2) n = 3k + 2, где k = Z, получим:


3) n = 3k, где k = Z, получим:
 

Цикл «Геометрия»

8.1.  90°.
Треугольник АМВ — равнобедренный с основанием BМ (рис. 4), тогда, по свойству биссектрисы, проведенной к основанию, она является и высотой, то есть АL перпендикулярно ВM.

8.2. В силу равенства треугольников ACK и BEM (см. рис. 1): AKC = BME и AK = BM.
Тогда MKD = KMD, и следовательно, треугольник KDM — равнобедренный. Далее:
KD = MD, откуда AK + KD = BM + MD, то есть AD = BD, что и требовалось доказать.

8.3. 72°, 108°.
Пусть AD и BC — основания трапеции, АС — диагональ, угол B — тупой (рис. 5). В равнобедренном треугольнике ABC есть тупой угол, следовательно, AB = BC.
Тогда AB = BC = CD. При этом DАС = 2 = 1. В равнобедренном треугольнике ACD стороны AC и CD не равны
(в противном случае треугольник ABC — равносторонний с тупым углом, что невозможно), поэтому AC = AD. Тогда A = D = 3 = 22.
Так как D + 3 + 2 = 180°, то 52 = 180°, и D = 22 = 72°.

8.4.  20 или 32.
Возможны два случая:
1) если AM и DN пересекаются;
2) AM и DN не пересекаются (рис. 6 и 7).
Рассмотрим треугольники ABM и NCD.
В первом случае AB = BM = NC = CD = 4, тогда BC = 2∙3 = 6. Периметр ABCD = 2∙(6 + 4) = 20.
Во втором случае AB = BM = NC = CD = 4, тогда BC = 4∙3 = 12. Периметр
ABCD = 2∙(12 + 4) = 32.

8.5. Да.
Треугольники ABF, CBD, EFD равнобедренные, значит, биссектрисы углов A, C и E, будут являться серединными перпендикулярами в них, а следовательно и в треугольнике FBD. Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

9.1. ∠BCM > ∠ACM.
«Удвоим» медиану СМ. Тогда BCAC' — параллелограмм (рис. 8). Следовательно, AC' = BC,
AC > BC, откуда, AC > AC'. В треугольнике ACC' против большей стороны лежит больший угол, значит, ∠AC'C > ∠ACM, следовательно,

9.2.  

9.3. 30° или 150°.
Рассмотрим окружность с центром в точке А и радиусом m. Точки В, С и D лежат на этой окружности, следовательно, угол BDC — вписанный.
В зависимости от того, опирается ли угол BDC на меньшую дугу окружности или на большую, величина искомого угла равна 30° или 150°.

9.4. 
Пусть BEDC — квадрат, построенный на гипотенузе BC. Построим треугольник CDM, равный треугольнику ABC, так, чтобы CM являлась продолжением AC. Так как треугольники ABC и CDM равны, то AO = OM. Получим равнобедренный прямоугольный треугольник AOM, гипотенуза которого равна p.

9.5. AE : ED = 2 : 1.
Способ I. Продолжим луч ED так, что ED = DF (рис. 9). Тогда четырехугольник AFCE — параллелограмм. Сторона AF параллельна BC, следовательно,
∠BEA = ∠EAF и ∠CEF = ∠AFE.
Отсюда следует, что треугольник AEF — равнобедренный и AE = EF. D — середина EF, по построению, откуда EF = 2ED и AE = 2ED.

Способ II. Проведем луч CF параллельно ED до пересечения с AE (рис. 10). Тогда ED — средняя линия в треугольнике AFC, откуда следует, что 2ED = CF.
С другой стороны, ∠DEC = ∠ECF, так как прямая ED параллельна прямой CF, а углы AEB и CEF равны как вертикальные. Следовательно, треугольник ECF — равнобедренный и
EF = FC. Откуда получаем: EF = AE = FC = 2ED.

10.1. См. задачу 9.1.

10.2. Они равны.
По теореме синусов (рис. 11)

Следовательно, синусы этих углов равны,
BK = CK (равные углы опираются на равные хорды). Значит, R1 = R2.

10.3. a + c – b.
Пусть O — точка пересечения диагоналей квадрата, OO1 параллельна AA1 и O₁ принадлежит плоскости (рис. 12), тогда

откуда
AA1 + CC1 = BB1 + DD1.
Следовательно,
DD1 = a + c – b.

10.4. На продолжении DC за точку C отметим точку F так, что DC = CF (рис. 13); получим параллелограмм ABFC, откуда BF = AC. Пусть Q — точка пересечения прямых BF и DK. Рассмотрим треугольник BFD. В нем BF = AC = DF,
следовательно, треугольник BFD — равнобедренный, и ∠FBD = ∠FDB, ∠BDA = ∠QDB и ∠BDA = ∠DBC, значит, ∠QDB = ∠DBC. Далее треугольники BDQ и DBC равны, тогда

Следовательно, DQ является медианой, тогда K — точка пересечения медиан и
BK : KC = 2 : 1.

10.5. 
Указание. Искомое расстояние можно найти с помощью развертки куба на плоскость, выбрав из нескольких возможностей нужную. Путь может пролегать через ребро AB (рис. 14) или через ребро BB1.

11.1. См. задачу 9.1.

11.2. 38.
Продолжим BA и CD до пересечения в точке K. Пусть AK = x и KD = y.
1. Дважды воспользуемся теоремой Пифагора:

2. Вычислим площади:
SAKD = 6, SBKC = 60 и SABCD = 54.

11.3. 
Для каждой черной клетки существует черная клетка, симметричная ей относительно центра доски. Аналогичное утверждение верно и для каждой белой клетки. Следовательно, каждому построенному вектору можно поставить в соответствие другой вектор, центрально симметричный первому. Разобьем сумму всех рассматриваемых векторов на пары центрально симметричных векторов. Центрально симметричные вектора являются противоположными, поэтому сумма векторов в каждой паре равна нулевому вектору, следовательно, и сумма всех векторов также равна нулевому вектору.

11.4. Да.
Это расположение можно получить из двух равных треугольников ABC и BCD со сторонами 5, 8 и 10, приложенных друг к другу по стороне BC, как показано на рисунке 15.

11.5. 
Поскольку прямые AQ и PB1 параллельны и AQ = PB1, то APB1Q — параллелограмм, тогда
PA QB1 (рис. 16). Плоскость APС пересекает параллельные плоскости ABC и A1B1C1 по параллельным прямым PM и AC , где M — середина B1C1 и APMC — искомое сечение. Пусть O и O1 — центры оснований ABCD и A1B1C1D1 соответственно, N — точка пересечения прямых PM и B1D1. Тогда NO — наклонная к плоскости A1B1C1, а NO1 — ее проекция. Так как диагонали квадрата A1B1C1D1 перпендикулярны, а PM параллельна AC, то NO1 перпендикулярна PM. Тогда и NO перпендикулярна PM по теореме о трех перпендикулярах. То есть NO — высота трапеции APMC. Далее:

Поэтому

(по теореме Пифагора из треугольника NОО1). Площадь искомого сечения равна

Данченко О. , Полянская Г. , Прокопенко Д. , Пчелинцев Ф., Струков Т., Харотина Т. , Ховрина В., Чулков П., Шевкин А., Шершнев Е.