Оцифровка С2 из ЕГЭ-2010

Среди заданий ЕГЭ-2010 появились задачи С2 по стереометрии. Как в оставшееся до экзамена время подготовить выпускников к их решению? Решать такие задачи — по сути задачи аналитической геометрии — можно методом координат. Конечно, учащиеся физико-математических классов довольно уверенно владеют подобными приемами. Есть и такие школьники, которые прослушали соответствующие элективные курсы (см., например, книгу [1]). А как быть учащимся обычных школ? Для решения таких задач им будет полезна эта заметка, содержащая минимально необходимые сведения. Какие же это задачи?
1. Задача на нахождение угла между двумя скрещивающимися прямыми. Она по силам нашим учащимся, и алгоритм ее решения таков. Помещаем данную в условии задачи фигуру в систему координат. На одной прямой выбираем две произвольные точки и определяем их координаты. Вычисляя разности соответствующих координат, находим направляющий вектор этой прямой. Так же находим направляющий вектор второй прямой. Зная координаты направляющих векторов прямых, по формуле
x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
находим их скалярное произведение. Разделив затем это произведение на произведение длин этих векторов

найдем косинус угла между прямыми.

2. Задача на нахождение угла между прямой и плоскостью является более сложной для наших учеников.
Здесь можно поступить так. Рассмотрим прямую линию, которая перпендикулярна данной плоскости. Такую прямую называют нормалью к плоскости. Найдем угол (острый угол!) между этой нормалью и данной прямой (а это уже рассмотренная задача 1!). Дополнение этого угла до прямого угла (то есть разность между прямым углом и найденным углом) является искомым углом. На рисунке 1 представлены наклонная прямая, нормаль, проекция наклонной на плоскость, угол между наклонной прямой и плоскостью.


Что здесь самое сложное? Ответ очевиден: нахождение нормали к плоскости. Во всех школьных учебниках изложен признак перпендикулярности данной прямой к плоскости. В этом признаке требуется проверить перпендикулярность данной прямой двум пересекающимся прямым плоскости. Значит, чтобы применить этот признак,
у нас с самого начала должна быть эта прямая — кандидат на звание нормали к плоскости. А как эту кандидатку находить, выбирать среди многих прямых — неизвестно.

Пример. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите нормаль к плоскости DBC1 (рис. 2).

Разумеется, опыт, наблюдение, интуиция могут подсказать, что нормалью является, например, прямая CA1. А дальше применяем теорему о трех перпендикулярах. Проекция этой прямой на плоскость ABCD перпендикулярна прямой DB, следовательно, CA1 ⊥ DB. Аналогично получаем, что CA1 ⊥ C1B. Отсюда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, следует, что прямая CA1 действительно перпендикулярна плоскости DBC1. Гипотеза о перпендикулярности прямой и плоскости получила подтверждение.
Напомним одиннадцатиклассникам практический способ нахождения нормали к плоскости.
Пусть в некоторой плоскости даны два неколлинеарных вектора

Тогда вектор нормали к этой плоскости задается формулой

Вот она — простая формула, задающая нормаль к плоскости.
Откуда наш ученик может узнать о формуле (1)? Самый простой и экономный по времени способ — дать формулу (1) без доказательства. Возможно, кто-то из учеников найдет эту формулу в книге [1] на странице 76. Известно, что векторное произведение двух векторов задается определителем

и этот вектор ортогонален каждому из векторов Но накануне ЕГЭ говорить об этом ученикам, на наш взгляд, совершенно необязательно.
Возможны возражения: как так без доказательства! Как так можно преподавать математику!.. Но сейчас речь идет не о преподавании, не о системности и последовательности, а о подготовке к ЕГЭ! О попытке уравнять возможности выпускников обычных и специализированных школ на едином экзамене. Быть может, в такой ситуации все средства хороши? И победителей не судят? Почему бы не дать нашим ученикам шанс получить правильный ответ в задаче С2? Пусть формула (1) послужит им волшебной палочкой-выручалочкой при отыскании нормали к поверхности. Тем более что учащиеся могут легко убедиться, что Это означает, что вектор (1) действительно ортогонален векторам То, что этот вектор ненулевой, можно не доказывать, в реальной задаче всякий раз получается действительно ненулевой вектор.
Если учитель сочтет необходимым и возможным, то можно рассказать еще об одном способе отыскания вектора нормали (a; b; c) к двум данным неколлинеарным векторам. На этом пути надо решить неопределенную систему двух линейных уравнений

Каждое уравнение означает, что соответствующее скалярное произведение равно нулю. Здесь одной из трех неизвестных величин a, b, c можно придать любое ненулевое числовое значение, и тогда две другие найдутся однозначно.
Так что при отыскании нормали к плоскости у ученика есть выбор: либо запомнить и применить готовую формулу (1), либо решать систему (3).
В наши дни информация все более и более переводится в цифровую форму. Аналоговый сигнал в телевизоре переходит в цифру, пленочный фотоаппарат тоже превращается в цифровой... Вот в духе времени, формула (1) нашу нормаль к плоскости «переводит в цифру»! Велика ли беда, если ученик получил ее без доказательства? Ведь и производную функции значительная часть выпускников воспринимают на рецептурном уровне. Так пусть добавится в их арсенал и «боевая» формула (1). Геометрии мы учим в 7–11-х классах, целых шесть лет, а в 11-м, накануне университета, можно и к аналитике переходить! Прививка малой дозы аналитической геометрии не превратит геометрию в алгебру. Нельзя обвинять школьника в знании «запрограммных» вещей. Аналитика имеет право быть среди полезного инструментария. Если оценить с высоты птичьего полета, что более всего может понадобиться на практике будущему выпускнику школы, то именно аналитические методы выйдут на первый план, затмив собой аксиоматические построения. Заметим, что даже «формульное» применение выражения (1)
требует от ученика немалого: выбрать в плоскости три точки, по этим трем точкам построить два вектора — два упорядоченных набора из трех чисел. Затем требуется большое внимание для вычислений по формуле (1)…

Пример. Вернемся к рисунку 2 и снова рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1. Пусть длина ребра куба равна 1. Поместим этот куб в трехмерную декартову систему координат. Пусть точка
D(0; 0; 0) — начало системы координат, A(1; 0; 0),
C(0; 1; 0), D1(0; 0; 1). Зная координаты точек, находим вектор в плоскости: Теперь по формуле (1) находим вектор нормали:

Заметим, что найденный вектор (1; –1; 1) — это вектор CA1, то есть та нормаль, которую мы «нашли» раньше элементарными методами. Тем самым подтверждена справедливость формулы (1) в этом частном случае.

3. Задача на нахождение угла между двумя плоскостями. Легко видеть, что этот угол равен углу между нормалями к этим плоскостям. Значит, по формуле (1) вначале находим нормали к каждой плоскости, а затем с помощью скалярного произведения угол между нормалями. Задача решена.

4. Задача на нахождение расстояния от данной точки M до прямой. Здесь можно действовать по такому плану. Выбираем на прямой две произвольные точки A и B. По формуле расстояния между двумя точками, которую школьники легко запоминают, вычисляем длины сторон треугольника ABM. Площадь треугольника ABM находим по формуле Герона. Зная площадь треугольника и основание AB, находим высоту треугольника, проведенную из точки M. Длина этой высоты и есть искомое расстояние. Возможно, что результат будет представлен иррациональным выражением. Это выражение не нуждается в упрощении, ибо решения задач С2 проверяются экспертами, а не компьютером.
Возможны и вариации этого плана, например, такая.
Рассмотрим куб (см. рис. 2), и пусть точка M — середина ребра BC, длина которого равна 1. Найдем расстояние от вершины куба C1 до прямой AM.
Сначала находим длины сторон треугольника AMC1:

Следовательно, треугольник AMC1 — равнобедренный. Далее по теореме Пифагора находим высоту h, проведенную к стороне AC1:

Длину высоты, которая проведена к боковой стороне треугольника, находим из уравнения

Отсюда получаем ответ на вопрос задачи:

Литература

1. Потоскуев Е.В. Векторы и координаты как аппарат решения геометрических задач: учеб. пособие. — М.: Дрофа, 2008. — (Элективные курсы.)

Дворянинов С.