Так сколько же детей можно перевезти из летнего лагеря?

17-го февраля прошла очередная репетиция ЕГЭ. Все варианты диагностической работы, предложенные выпускникам, мне очень понравились, они идеальны для тренировки, чего не скажу о вариантах платного репетиционного ЕГЭ, проведенного недавно Федеральным центром тестирования, к составлению которых ни МИОО, ни МЦНМО отношения не имели (я это специально уточнял).
Разбираясь 17-го февраля с новой задачей С6 (о перевозке детей автобусами), я вспомнил, как ровно 4 месяца назад искал решение другой задачи С6 (диагностическая работа МИОО от 02.12.2008).

• При каких натуральных n существует рациональное число x, удовлетворяющее равенству 
  n2 + 2 = (2n – 1)x?

В одном из своих решений той задачи (оба они размещены в интернете: www.shevkin.ru/?action=Page&ID=742) я использовал для нахождения корней неопределенного уравнения деление «уголком», удалось применить его и сейчас. Но сначала разберем две важные (для подготовки к ЕГЭ) задачи на эту тему.
В 1997 году поступающим на факультет ИСАА МГУ была предложена следующая задача (последняя в варианте, состоящем из семи задач):

• Найдите все пары целых x и y, удовлетворяющих уравнению 3xy + 16x + 13y + 61 = 0.

Похожие задачи на вступительных экзаменах МГУ уже встречались, например, в 1975 году на факультете психологии.

• Найдите все целые положительные решения уравнения 2x2 + 2xy – x + y = 112.

Решается она так:
y(2x + 1) = 112 – 2x2 + x.
При целых значениях x выражение (2x + 1) ≠ 0, поэтому, разделив все на 2x + 1 и выделив целую часть, получим:

Перебирая положительные делители числа 111, рассмотрим три случая: 2x + 1 = 1; 3; 37. Только в одном из них получаем положительную пару: x = 1, y = 37.
Но вернемся к задаче 97 года. Мы будем действовать по только что рассмотренной схеме:
y(3x + 13) = –(16x + 61).
При целых значениях x выражение 3x + 13 не обращается в нуль, поэтому можно разделить все на 3x + 13. Получаем:

Осталось найти, при каких целых значениях x выражение также целое, но выяснить это теперь гораздо сложнее. Самое здесь эффективное — расширить зону поиска, умножив числитель на 3, а лишние решения затем отсеять проверкой:

Перебирая делители числа 25, рассмотрим
6 случаев:
3x + 13 = ±1, ±5, ±25.
После вычислений и проверок находим три пары решений: (–4; 3), (–6; –7), (4;–5).
Сначала я эту задачу решил более сложным путем (изобретя его в процессе решения), но с тех пор, как лет 10 назад случайно заглянул в авторское решение и познакомился с идеей расширения зоны поиска, о своем и не вспоминаю, а тот приобретенный опыт время от времени меня выручает. Добавлю только, что в 2004 году рассмотренное нами уравнение встретилось (повторилось) на вступительных экзаменах в МФТИ.
И вот новая задача.

• Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа А за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа В за несколько рейсов, причем в этом случае число рейсов каждого автобуса типа В будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа А. В каждом из случаев автобусы заполняются полностью. Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа В входит на 7 человек меньше, чем в автобус типа А?

Пусть в автобус типа В входит k человек, а в автобус типа А входит k + 7 человек, и пусть каждый из трех автобусов типа В сделает по m рейсов, а каждый из двух автобусов типа А по m + 1. Так как в обоих случаях автобусы перевезут одно и то же количество детей (максимальное значение этого количества нам и надо найти), получаем уравнение:
3km = 2(k + 7)(m + 1),
или
km = 14m + 2k + 14,
или
m(k – 14) = 2k + 14.
При k > 14 получаем:

Число k – 14 — это один из восьми делителей числа 42. Перебирая их по очереди, мы получим все возможные решения (8 пар чисел k и m).
Вот они: (15; 44), (16; 23), (17; 16), (20; 9), (21; 8), (28; 5), (35; 4) и (56; 3).
Для каждой пары последовательно находим количества перевозимых детей, равные 3km: 1980, 1104, 816, 540, 504, 420, 420 и 504. Из них выбираем наибольшее. Ответ: 1980 детей перевозятся тремя автобусами типа В (по 15 человек) за 44 рейса или двумя автобусами типа А (по 22 человека) за 45 рейсов. 
Вот еще вам для тренировки четыре задачи на эту тему.

• Найдите все пары целых x и y, удовлетворяющих уравнениям (1–4).
  1. (МГУ, 1997.) 3xy – 14x – 17y + 71 = 0.
  2. (МФТИ, 2004.) –3xy – 10x + 13y + 35 = 0.
  3. (МФТИ, 2004.) 3xy + 19x + 10y + 55 = 0.
  4. (МФТИ, 2004.)–3xy + 10x – 16y + 45 = 0.

Приведу и ответы к этим уравнениям:
1. (4; 3), (6; 13), (14; 5).  2. (6; –5), (4; 5),
(–4; –3).  3. (–5; –8), (–3; 2), (5; –6).  4. (–7; 5),
(–5; –5), (3; 3).

Пукас Ю.