Геометрические задачи с неединственным ответом в тренировочных заданиях ЕГЭ-2010

Наши ученики спокойно воспринимают то обстоятельство, что алгебраическое уравнение может иметь несколько корней, а тригонометрическое, как правило, бесконечно много корней. К этому они привыкают с той поры, когда изучают квадратное уравнение.
Но наличие нескольких ответов в геометрической задаче обескураживает некоторых. Рассмотрев в подобной задаче один из возможных случаев, получив ответ и испытав радость от успеха, многие наши ученики теряют бдительность и забывают рассмотреть все возможные варианты. Порой сама возможность существования нескольких ответов в геометрической задаче вызывает у них и недоумение, и недоверие.
Конечно, в алгебре примеры на тренировку внимательности хорошо известны. Рассмотрим, к примеру, уравнение ax² + x + 1 = 0 и спросим наших учеников, при каком значении параметра уравнение имеет единственное решение.
Сразу услышим ответ: надо дискриминант приравнять к нулю! Верно, найдем D = 1 – 4a и затем a = 0,25. Но здесь еще обязательно следует рассмотреть значение параметра a = 0, при котором уравнение является линейным и также имеет единственный корень.
Одна из причин того, что при решении геометрической задачи ответ оказался неполным, состоит в том, что не все возможные случаи отражаются на чертеже.
Если в задаче речь идет о треугольнике, то подавляющая часть учеников рисуют остроугольный треугольник, а не тупоугольный.
При рассмотрении двух пересекающихся окружностей ученики предпочитают рисовать такие окружности, центр каждой из которых лежит вне круга, ограниченного другой окружностью.
Попросив учеников нарисовать треугольник, вписанный в данную окружность, мы в большинстве случаев увидим остроугольный тре­угольник.
Если дать задание вписать в окружность трапецию, то здесь ученики разделятся пополам: у одних центр окружности окажется внутри трапеции, у других — вне трапеции. Не исключено также, что в качестве основания трапеции выступит диаметр окружности.

Если для данного треугольника ABC будем рассматривать треугольник, образованный основаниями высот, проведенных из вершин А и В, и третьей вершиной С, то и рисунок, и соответствующие рассуждения зависят от того, какого вида треугольник АВС — остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.
Геометрические задачи с неединственным ответом развивают такие качества мышления, как вариативность, умение учитывать все возможности, помогают бороться со стереотипами.
В качестве образцов геометрических задач с несколькими ответами рассмотрим задачи из сборника:

Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д., Захаров П.И. и др. Математика. Типовые текстовые задания. Разработаны МИОО для использования в образовательных учреждениях РФ для подготовки к ЕГЭ по математике. — М.: Экзамен, 2010.

Вариант 5

В треугольнике АВС сторона АВ = 6, сторона ВС = 4, радиус описанной окружности R = 12. Найдите длину стороны АС.
Указание. Пользуясь формулой найдем синус угла С данного треугольника. Косинус этого угла может принимать два значения — положительное или отрицательное. Отчего это зависит? Сторона АВ делит круг, образованный описанной окружностью, на две части. Сторона ВС может находиться в любой из них. Если в большей части, то угол С острый; если в меньшей, то угол С тупой. Применив теорему косинусов для стороны АВ, найдем длину стороны АС.
Ответ: длина стороны АС может принимать одно из двух указанных значений.

Вариант 6

В треугольнике АВС точка H — точка пересечения высот, CH = AB. Найдите угол С.
Указание. Пусть треугольник остроугольный. Выполним чертеж. Обозначим высоты ВK и АМ. Окружность 1, построенная на АВ как на диаметре, проходит через точки K и М. Окружность 2, построенная на НС как на диаметре, проходит через точки K и М. По условию радиусы этих окружностей равны. Пусть
∠ABK = ∠HCA = α,
∠BAM = ∠BCH = β.
Тогда ∠MAK = 90° – α – β. В окружности 1 он опирается на дугу KМ. В окружности 2 на эту дугу опирается ∠MCK = α + β. Следовательно,
90° – α – β = α + β.
Отсюда следует, что
∠C = α + β = 45°.
Второй ответ (135°) получается при рассмотрении тупоугольного треугольника.

Вариант 7

В треугольнике ABC CN и BM — высоты. Точка O — центр вписанной окружности, BC = 24,
MN = 12. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВOC.
Указание. Предположим, что угол С — острый. Выполним чертеж. Треугольники AMN и ABC подобны, коэффициент подобия равен 2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в тридцать градусов, равен половине гипотенузы (и наоборот). Углы AСN и ABM – по 30°. Следовательно, ∠BOC = 120°. Применим формулу 

где a = 24, α = 120°. В итоге находим

Второй ответ R = 24 получается тогда, когда угол С — тупой.

Вариант 8

Дан треугольник АВС. Точки A1, B1, C1 — основания его высот. Углы треугольника A1B1C1 равны 90°, 60°, 30°. Найдите углы треугольника АВС.
Указание. Рассмотрим вначале случай остроугольного треугольника и выполним чертеж. Отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает от данного треугольника подобный треугольник. Рассмотрим три таких треугольника. Углы каждого из них совпадают с углами данного треугольника; обозначим их α, β, γ.
Рассмотрим три развернутых угла с вершинами в основаниях высот и найдем α, β, γ.
Для остроугольного треугольника — это 45°, 75° и 60°. Рассмотрение тупоугольного треугольника АВС дает еще три ответа.
Ответ:
1) 45°, 75°, 60°;
2) 135°, 15°, 30°;
3) 120°, 15°, 45°;
4) 105°, 30°, 45°.

Вариант 10

В трапеции АВСD длины оснований равны a и b.
Прямая, параллельная основаниям трапеции, разбивает трапецию на две части, площади которых относятся как 2 : 3. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции.
Указание. 1-й случай. Пусть верхнее основание длины b короче нижнего. Продолжим боковые стороны до пересечения. На рисунке легко увидеть три подобных треугольника — маленький, средний и большой — с общей вершиной. Рассмотрим высоты, проведенные из этой вершины. Обозначим высоту маленького треугольника h, а длину интересующего нас отрезка — x. Тогда высота среднего треугольника равна высота большого треугольника равна Далее выразим площади частей трапеции как разности площадей двух треугольников. Приравняв отношение разностей к найдем x. Второй ответ получается, когда отношение разностей равно
Ответ:

Маланичева Т.