Как мы используем артэффекты при изучении графиков

Все чаще на страницах печати учителя иллюстрируют свой опыт использования компьютера в обучении рисунками, выполненными их учениками. Так в статье А. Жестковой «Интегрированный урок по информатике и алгебре "Построение графиков функций" (Первое сентября, Математика, № 15/2008) обобщенное повторение графиков завершается компьютерным рисованием: изображением рыбки из кусочков кривых. По предложенному в статье описанию в виде совокупности уравнений мы выполнили рисунок (рис.  1) на экране графического калькулятора (типа Casio fx-9860G).

Рисунок впечатляет. Учитель может прокомментировать отдельные части рисунка, что-то подправить (в частности, изменить форму хвоста заменой уравнений); мы предложили учащимся изобразить ту же рыбку, но движущуюся в противоположном направлении.
Этот пример иллюстрирует иной характер организации учебной деятельности в работе с графическим материалом. Использование электронных устройств снимает проблемы технического характера в вычерчивании любых графиков. Теперь учащиеся могут создавать рисунки как множества точек координатной плоскости на электронном экране. Это увлекательно и полезно, так как подобная деятельность способствует более глубокому и осознанному усвоению учащимися графиков изучаемых функций. Ее прикладной характер создает предпосылки к усилению роли графических методов для решения уравнений и их систем.
Отметим также, что при построении геометрической модели функциональной зависимости, обладающей некоторыми заданными свойствами, учащиеся экспериментируют с графиками. И подобные занятия приобретают исследовательский характер. Желательно сделать их доступными и интересными для каждого учащегося. Предложим учителю ряд советов и проиллюстрируем их заданиями, которые рекомендуем выполнить совместно с учащимися.
Прежде всего, следует учитывать разный уровень готовности учащихся к установлению ассоциативных связей линии, которая требуется для рисунка, с выбором подходящего графика. Вполне возможно, что такие связи будут возникать постепенно, по мере знакомства с графиками различных зависимостей. Опыт показывает, что уже при изучении взаимного расположения прямых имеет смысл предложить учащимся несложные рисунки, состоящие из кусочков прямых. Ведь для описания простых рисунков вполне достаточно уяснения геометрического смысла коэффициентов k и l в линейном уравнении y=kx + l. При конструировании образа можно воспользоваться условием параллельности (или перпендикулярности) прямых, а также условием симметричности фигуры относительно осей координат. Для более сложных рисунков потребуется умение составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, найти координаты точки пересечения построенных прямых.

Так, например, для изображения ели учащиеся, несомненно, догадаются использовать симметрию: сначала рассмотрят половину конструкции ели, используя в качестве оси симметрии ось ординат, а затем достроят ее до целой, изменяя знак коэффициента k в уравнениях четырех прямых, заменяя числа, входящие в их области определения, противоположными и расширяя область определения для отрезков, параллельных оси абсцисс. Вариант изображения показан на рисунке (рис. 2,б).

Приведем описание правой половины рассмотренной конструкции ели (рис. 2,а):
1) y = –x + 9, [0; 4];
2) y = 5, [0; 4];
3 y = –x + 6, [1; 6];
4) y = 0, [0; 6];
5) y = –x + 2, [2; 8];
6) y = –6, [0; 0];
7) y = –x –5, [0; 2];
8) y = –7, [0; 2].
Использование парабол, гипербол и других изучаемых в школьном курсе графиков расширяет возможности воплощения замысла в виде рисунка. Вот пример. Предложим учащимся нарисовать на электронном экране шляпу от солнца, рассмотрев ее сбоку. Отделив лентой верх шляпы от ее полей, можно представить желаемое изображение совокупностью уравнений с двумя переменными. Рассмотрим план такой деятельности.
1. Представим мысленно, а лучше на листе бумаги в клетку (в прямоугольной системе координат), эскиз рассматриваемого объекта в виде линий, характерных для его изображения.
2. Намеченную контурную линию разобьем на кусочки и зададим описание каждого из них уравнением с двумя переменными (ограничивая область определения каждого графика).
Шляпа: верх шляпы (до ленты) — это парабола y = –0,2x² + 11, –5 ≤ x ≤ 5; поля шляпы — это парабола y = 0,02x² – 4, –17 ≤ x ≤ 17, и гиперболы

3. Построим график каждого уравнения (рис. 3) и проверим изображение на соответствие предполагаемому рисунку, выполним коррекцию линии, если потребуется. Продолжим рисунок шляпы (рис. 4): лента, опоясывающая шляпу — это параболы:
y = 0,05x² + 5, –5 ≤ x ≤ 5; y = 0,05x² + 3,5, –6 ≤ x ≤ 6.

4. Определим множество точек на плоскости изображения, предназначенное для закрашивания, и зададим выделенное множество соответствующей системой неравенств; откорректируем результат.
На нашем рисунке (рис. 5) закрасим верх шляпы (над лентой): y ≤ –0,2x² + 11, –5 ≤ x ≤ 5;
y ≥ 0,05x² + 5, –5 ≤ x ≤ 5.

В изобразительной деятельности желательно обеспечить для учащегося высокую степень свободы и самостоятельности, не нарушать индивидуальный темп его работы. В идеале учащийся сам определяет замысел, форму, композиционное решение; самостоятельно контролирует последовательность действий и работу в целом. Естественно, что базу для такой деятельности создает твердое знание основного теоретического материала, владение умением прикладного характера — умением выразить на аналитическом языке функциональную зависимость, заданную графически. В то же время имеет смысл вооружить учащихся некоторыми приемами.
Так, из графиков чаще других в рисунках используется парабола, и для ее описания у учащихся имеется несколько возможностей выбора подходящего аналитического выражения. Уже в результате изучения квадратичной функции y = ax² закрепляется образ параболы в зависимости от коэффициента а и учащийся может подобрать подходящую для рисунка параболу, пробуя различные варианты. Однако такой подход не всегда быстро приводит к нужному результату.
Надежнее воспользоваться умением строить параболу по трем точкам. Эскиз рисунка подскажет, какие точки нужно выбрать. Учащийся может составить уравнение параболы, проходящей через три точки: записать систему трех уравнений, полученных подстановкой координат точек, характерных для его рисунка, в уравнение параболы
y = ax² + b + c, решить систему относительно а, b и с и записать уравнение предполагаемой параболы.
Если же известны координаты вершины параболы (p; q), то можно принять другое решение — воспользоваться формулой y = a(x + p)² + q.
Именно так поступим при выполнении задания нарисовать контур очков.
Совместно с ребятами сконструируем правую часть контура очков. Стекло зададим двумя пересекающимися параболами (рис. 6,а) и ограничим их области определения:
y = 0,2(x – 7)² – 7, 1,5 ≤ x ≤ 12,5; y = –0,1(x – 7)² + 2, 1,5 ≤ x ≤ 12,5 (рис.6,б).

Дужка и упор для переносицы – это еще три параболы: y = –1,5(x – 9)² + 17, 7 ≤ x ≤ 12,5;
y = x² – 3, –1,5 ≤ x ≤ 1,5 и y = 0,5x² – 4, –2 ≤ x ≤ 2 (рис. 7).

Далее предложим учащимся самим подобрать уравнения новых парабол так, чтобы можно было закончить контур очков.
Совет учителю, в классе которого используются графические калькуляторы:

Овладевая умением строить графики новых встречающихся в курсе функций, учащиеся увереннее приступают к рисункам, содержащим более сложные конструкции. Вот, к примеру, рисунок парусника (рис. 8,а), который учащийся начал с изображения гиперболы затем параболы у = 0,1(х + 2)² + 1 и прочих подходящих линий (в том числе и синусоиды), а потом, «сняв» оси координат и используя различные типы для линий, получил рисунок 8(б).

Для изображения композиции «бокал для сока, блюдце и трубочка» учащиеся использовали эллипс, параболу и прямую. Контур блюдца изобразили, используя формулу эллипса

предварительно преобразовав ее к виду

Ограничили верхний край эллипса линиями, заданными на отрезках [2; 3] и [ 5; 6], и выделили жирной линией нижний край блюдца. Для изображения бокала подобрали подходящую параболу y = 5(x – 4)² и задали ее кусочки, отсекаемые эллипсом и прямой у = 8,2, на отрезках [2,7; 3,3] и [4,7; 5,2]. Трубочку изобразили отрезком прямой
y = 4x – 12, [3,5; 6].

Совет учителю, в классе которого используются графические калькуляторы:

Характерным для рассматриваемой деятельности является умение воспроизвести на экране шаг за шагом весь процесс построения изображения некоторого объекта с помощью линий, штрихов, светотеневых пятен. Значимым делается умение распознать вид зависимости, заданной графически, и задать ее формулой. Это способствует конструктивному использованию в интерактивном режиме базовых графических умений, а также увеличению доли содержательной работы учащегося за счет снятия проблем технического характера. При таком обучении заметно изменяется стиль общения: ученик-учитель, ученик-ученик.
В общении преобладает процесс творчества, не сдерживаемого никакими условностями.
Заметим, что все рекомендуемые в статье построения могут быть выполнены на компьютере с помощью эмулятора графического калькулятора. Это позволит продемонстрировать их классу с использованием интерактивной доски (или с помощью кодоскопа на обычном экране) и получить изображение на бумаге с помощью принтера, а далее представить работы учащихся для обозрения как артпарад рисунков.
С методическими рекомендациями по использованию современных калькуляторов в учебном процессе можно ознакомиться в материалах опубликованных ранее в газете «Математика» (Первое сентября): 2007, № 8, 19, 21, 23; 2009, № 5, 10, а также в журнале «Математика в школе»: 2007, № 2; 2008, № 4.

Минаева С.