Об одном важном свойстве квадратного трехчлена

Задача 9. Какое наибольшее значение может принимать квадратичная функция в точке 2009, если ее значения в трех точках (–1; 0; 1) принадлежат отрезку [0; 1]?
Оригинальное авторское решение основано на подборе одного трехчлена с нужными свойствами и доказательстве «от противного». Решение получилось красивое, но достаточно трудное для понимания. Дадим другое решение задачи 9.
Решение. Пусть f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 — данный трехчлен.
По условию: 0 ≤ f(0), f(1), f(–1) ≤ 1, или, что то же самое, 0 ≤ c, a + b + c, a – b + c ≤ 1.
Введем новые переменные A, B, С:
A = f(1) = a + b + c,
B = f(–1) = a – b + c.
С = f(0) = c.
Решим эту систему относительно переменных a, b, c. Получим:
Тогда формула для квадратного трехчлена f(x) может быть записана в виде:

Так как a ≠ 0, то для новых переменных

Ограничения задачи в новых переменных примут вид: 0 ≤ A, B, C ≤ 1. (2)
По существу мы однозначно описали квадратичную функцию по ее значениям в трех различных точках (–1; 0; 1). На самом деле справедлив более сильный факт.
Утверждение. Любой квадратный трехчлен y = f(x) однозначно определен своими значениями при трех различных значениях аргумента
(x1; x2; x3) при условии, что точки (xi; f(xi)), i = 1, 2, 3, не лежат на одной прямой.
При x0 = 2009 числа положительны.
(Важно не само условие x0 = 2009, а то, что | x0 | > 1.)
С учетом ограничений (2), значение f(x0) может быть оценено сверху:

Эта оценка достижима (A = B = 1, C = 0,условие выполнено). Поэтому

Важное замечание. Еще одно решение задачи 9 можно получить, если осознать ее как задачу линейного программирования: найти наибольшее значение линейного функционала
Q(a; b; c) = 20092∙a + 2009∙b + c на выпуклом многограннике:

Сравнивая значения целевой функции
Q(a; b; c) в каждой из восьми вершин данного многогранника, мы получим, что наибольшее значение функционала Q достигается в вершине a = 1, b = 0, c = 0. При этом Qmax = 20092.
Более подробное рассмотрение задачи линейного программирования выходит за рамки данной статьи. Но тема эта очень интересная. На наш взгляд, авторы задачи 9 олимпиады МГУ не стали развивать эту идею исключительно из желания остаться в рамках стандартного школьного курса математики.

Фалин А., Фалин Г.