Подготовка к олимпиаде

Раскраска дома
1. В каждой вершине правильного 100-угольника поставлены фишки: 76 красных и 24 синих. Доказать, что найдутся 4 красные фишки, образующие квадрат.
Решение. Фишки образуют 25 квадратов. Синие фишки являются вершинами не более чем в 24 квадратах, поэтому хотя бы один квадрат будет красным.
2. Клетки прямоугольника 5 × 41 окрашены в два цвета. Доказать, что можно выбрать 3 строки и 3 столбца так, чтобы их пересечения имели один цвет.
Решение. Будем считать, что в прямоугольнике 41 столбец, по пять клеток в каждом. В каждом столбце пометим 3 одноцветные клетки. Это можно сделать 10 способами. Значит, найдется
5 столбцов с одинаково помеченными клетками. Из них хотя бы в трех помечены клетки одного цвета.
3. Клетки таблицы 15 × 15 окрашены в три цвета. Доказать, что найдется 2 строки, в которых клеток одного цвета поровну.
Решение. Допустим противное. Тогда во всех строках клеток каждого цвета разное количество, а всего в таблице клеток одного цвета не менее
0 + 1 + ... + 14 = 105; клеток всех трех цветов не менее 315, а в таблице 225 клеток — противоречие.

Найти раскраску
1. Таблицу 4 × 4 раскрасить в 4 цвета так, чтобы на любой горизонтали, вертикали и диагонали были бы все цвета.
Ответ: рис. 1.

2. Сколько клеток таблицы 8 × 8 можно закрасить так, чтобы никакие 3 центра закрашенных клеток не лежали на одной прямой?
Решение. Можно закрасить 16 клеток (рис. 2).

Раскрасить больше 16 клеток нельзя: тогда на какой-то горизонтали появится третья окрашенная клетка.
3. Найти все развертки куба, которыми можно покрыть плоскость без пропусков и перекрытий.
Ответ: плоскость можно покрыть паркетом из фигур, изображенных на рисунке 3.

Сколько способов?
1. Каждую грань кубика разбили на 4 одинаковых квадрата и раскрасили квадраты в несколько цветов так, чтобы квадраты, имеющие общую сторону, были разных цветов. Какое наибольшее количество квадратов одного цвета могло получиться?
Решение. Это количество будет наибольшим, когда боковая поверхность куба покрашена в шахматном порядке. Основание нельзя покрасить в тот цвет, который на боковой поверхности был использован 8 раз (рис. 4).

2. Сколькими способами можно покрасить в 6 цветов грани куба?
Решение. Любую грань можно покрасить в первый цвет (пусть это верхняя грань). Для нижней грани остается 5 вариантов. Любую грань боковой поверхности можно покрасить в третий цвет. Для остальных граней остается 3! = 6 вариантов. Итого: 5×6 = 30.
3. Сколькими способами можно окрасить в 6 цветов 6 равных секторов диска?
Решение. Любой сектор может быть окрашен в любой цвет. Для остальных секторов остается 5! = 120 вариантов.

Раскраска — метод решения

1. Можно ли таблицу 6 × 6 с вырезанными противоположными углами покрыть костями домино размером 1 × 2? Кости не должны перекрываться и выступать за края таблицы.
Решение. Раскрасим таблицу в шахматном порядке (рис. 5).
Получим 18 белых и 16 черных клеток. Кость домино покрывает одну белую и одну черную клетку, следовательно, на доске можно разместить 16 костей, и две белые клетки не будут покрыты доминошками.
2. Учитель попросил ученика вырезать из картонной шахматной доски (8 × 8) 8 квадратов размером 2 × 2 (с условием: не портить оставшиеся клетки). Потом учитель вспомнил, что ему нужно 9 квадратов. Может ли он из остатков доски вырезать девятый квадрат? А десятый?

Решение. Решающее свойство: при вырезании одного квадрата может быть испорчен только один закрашенный. Следовательно, вырезав 8 квадратов, ученик испортил не более 8 закрашенных. Если ученик вырезал 8 закрашенных квадратов, кроме одного углового, то из остатков доски еще один квадрат вырезать можно, а два — не вырезать (рис. 6).

3. Можно ли таблицу 6 × 6 с вырезанными противоположными углами обойти ходом шахматного коня (побывав в каждой клетке один раз)?
Решение. Нет. Клетка, откуда идет конь, и клетка, куда он идет, разного цвета (см. рис. 5).
Эти задачи предлагались школьникам на олимпиадах разных лет. Подобные задачи встречаются в заданиях международной математической олимпиады «Кенгуру».

Воронина Н.