Девять квадратов
Квадрат 3 × 3 сложен из квадратных фишек 1 × 1. Фишки пронумерованы в каждом ряду слева направо. Фишки каждого квадрата 2 × 2 можно повернуть вокруг его центра на угол, кратный 90°. Докажите, что при помощи нескольких таких поворотов можно получить расположение, в котором фишки пронумерованы «змейкой».
Решение. Заметим, что первоначальное расположение фишек отличается от конечного перестановкой фишек 4 и 6. Сначала научимся переставлять местами фишки 2 и 6.
Если не обращать внимания на перемещение остальных фишек, то фишки 2 и 6 легко поменять местами. Для этого нужно выполнить всего четыре вращения квадратов 2 × 2 в такой последовательности: левый верхний — по часовой стрелке на 90°, правый нижний — против часовой стрелки на 90°, левый верхний — против часовой стрелки на 90°, и правый нижний — на 180°. На рисунке показано перемещение фишек при этих вращениях:
Сравнивая начальное и конечное расположение фишек, проследим, какое перемещение совершила каждая фишка.
Перемещение каждой фишки обозначим стрелкой. Точками отметим фишки, которые вновь оказались на своих местах. Получим следующую схему.
Как и ожидали, фишки 2 и 6 поменялись местами, фишки 1, 3, 4 и 7 остались на своих местах, фишки 5, 9 и 8 переместились по циклу. Это значит, что если проделанную серию из четырех вращений повторить трижды, то фишки 5, 9 и 8 снова станут на свои места, а фишки 2 и 6 поменяются местами.
Итак, мы научились менять местами фишки 2 и 6. Если теперь в исходном положении данного квадрата 3 × 3 поворотом верхнего левого квадрата 2 × 2 на 180° фишку 4 поставить на место фишки 2 и выполнить рассмотренные выше четыре поворота, которые поменяют местами фишки 4 и 6, то фишка 4 займет свое конечное положение. Остается поворотом верхнего левого квадрата 2 × 2 на 180° фишку 6 поставить на свое место в конечном положении.
Таким образом, поменяв местами фишки 4 и 6, получили расположение, в котором фишки пронумерованы «змейкой», при этом проделано 1 + 4∙3 + 1 = 14 поворотов.
Чтобы записать эту последовательность поворотов, обозначим поворот левого верхнего квадрата 2 × 2 буквой А, поворот правого нижнего квадрата 2 × 2 буквой В. Повороты на 90° по часовой стрелке обозначим А+, против часовой стрелки обозначим А–, повороты на 180° обозначим А2. Тогда решение будет выглядеть так:
A2A+B–A–B2A+B–A–B2A+B–A–B2A2.
Заметим, что первые два поворота квадрата А можно заменить одним поворотом А–, поэтому можно говорить о 13-ходовом решении:
A–B–A–B2A+B–A–B2A+B–A–B2A2.
Ниже показано пошаговое перемещение фишек, приводящее к решению задачи.
На основе приведенного решения можно утверждать, что поменять местами можно любые две фишки. Это значит, из исходного состояния фишек можно построить:
а) древний магический квадрат, в котором сумма трех чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали равна 15;
б) квадромагический квадрат, в котором сумма четырех чисел, расположенных в вершинах некоторого квадрата, равна 20 (таких сумм 6).
Попробуйте! Самые короткие алгоритмы, присланные читателями, опубликуем.