Методические подходы к преподаванию теории вероятностей и статистики
реализованные в учебном пособии Ю.Н. Тюрина, А.А. Макарова и др. «Теория вероятностей и статистика»
Назначение и место статистики и теории вероятностей в школе
До сих пор в школьном курсе математики и других естественных наук в России господствовала только одна идея — о существовании жестких связей между явлениями и событиями. Эти связи представлены в форме формул, выражающих законы физики и химии; даже в курсе истории нет места случайности: он построен так, что складывается впечатление, что все события предопределены и закономерны. Это не согласуется с современным мировоззрением, осложняет ориентацию в изменчивом информационном мире, не способствует формированию квалифицированной рабочей силы. В частности, непонимание населением статистических данных и статистических методов может вносить недоверие в отношения между гражданами и государством. Поэтому, на наш взгляд, внедрение в школьное обучение статистики и теории вероятностей имеет очень важное значение. Одновременно оно требует ясной, продуманной методики, без которой будет обречено на неудачу.
Принятию в 2004 г. решения о включении в образовательный стандарт статистики и теории вероятностей предшествовало почти десятилетнее обсуждение в педагогической среде. Элементы теории вероятностей и статистики в разрозненном виде уже более десяти лет присутствовали в известных учебниках математики и алгебры для разных классов [2–6]. Однако их изложение, как правило, не носило систематического и целостного характера. Учителя не всегда обращались к этим темам в учебниках и не включали их в учебный план, так как дисциплина не была включена в государственный стандарт. Теперь это произошло. Из факультативной формы преподавания теория вероятностей перешла в основную. Появился ряд отдельных учебных пособий [1, 7–10], посвященных изложению статистики и теории вероятностей в школе. К делу они подходят по-разному, изложенный в них материал тоже различен, и эти учебники по-разному расставляют акценты. Обсуждение этого вопроса тем более актуально, что в высшей школе, в том числе в педагогических вузах, преподавание этих дисциплин вызывает много вопросов и нареканий, а уровень усвоения материала невысок. Поэтому учителям порой бывает довольно трудно разобраться в том материале, который им предстоит объяснять учащимся.
Кратко перечислим типичные, на наш взгляд, недостатки, которыми страдают в той или иной мере курсы теории вероятностей и соответствующие им пособия в высшей школе.
1. Обособление теории вероятностей от идей и подходов математической статистики. Это приводит к отрыву теории вероятностей от практики, зачастую превращая ее в абстрактную науку.
2. Чрезмерное увлечение классической схемой теории вероятностей и комбинаторными методами. Это резко сужает круг рассматриваемых вероятностных задач, отрывает теорию вероятностей от практических приложений и не способствует усвоению собственно вероятностных понятий.
В высшей школе это сокращает время на изучение непрерывных случайных величин и предельных теорем теории вероятностей.
3. Неоправданно высокий математический формализм, затрудняющий восприятие сути даже таких простых понятий, как случайная величина и ее числовые характеристики.
4. Подмена теории вероятностей другими разделами математики: комбинаторикой, теорией меры, функциональным анализом и разбором различных математических тонкостей.
5. Изложение теории вероятностей на большом количестве исторически известных задач, в свое время внесших вклад в ее становление и развитие, но в настоящее время утративших свою актуальность (задача о разделении ставки, многие другие задачи, возникшие из интереса к азартным играм, часть задач на геометрическую вероятность и т.п.).
6. Привлечение для разбора материала разного рода парадоксов и задач с нечетко сформулированными условиями.
7. Не слишком корректное упрощение теории вероятностей.
Ряд замечаний можно высказать и по курсам математической статистики, которые часто концентрируются только на рассмотрении гауссовской теории или узких приложений, важных в той или иной предметной области. Однако эти замечания менее существенны по отношению к рассматриваемому вопросу.
Мы обратили внимание на указанные недостатки, потому что некоторые школьные учебники автоматически заимствуют не самый удачный опыт высшей школы. Нам кажется, что прямой перенос опыта преподавания вероятности из высшей школы в среднюю приведет к отрицательным результатам и опять на долгие годы или десятилетия отложит утверждение этих наук в школе.
Говоря о преподавании статистики и теории вероятностей в основной школе, приходится учитывать уровень математической культуры школьников и то, насколько они готовы к восприятию абстрактных понятий. Однако, на наш взгляд, это не является препятствием к изучению статистики и теории вероятностей, а лишь накладывает довольно жесткие требования на форму преподнесения материала. Одной из главных задач, на наш взгляд, должно быть формирование общих представлений о случайной изменчивости, о случайности, вероятности, об их месте в окружающем мире, а не закрепление навыков манипулирования с числами, формулами и понятиями. (Последнее в достаточном, если не избыточном, объеме присутствует в школьном курсе алгебры.)
Здесь уместно привести аналогию с преподаванием геометрии, которое в систематическом виде начинается в 7-м классе. Однако к этому моменту школьники уже имеют богатый опыт работы с простейшими геометрическими фигурами.
С младенческого возраста играя с пирамидками и кубиками, раскрашивая картинки и вырезая из бумаги фигурки, ребенок создает свои первые геометрические образы.
Систематическое школьное изучение геометрии на первых порах призвано формализовать уже имеющиеся наглядные образы и представления в виде определений, утверждений или формул. Если ребенок лишен игрового геометрического опыта, то обучение геометрии терпит фиаско, поскольку нет тех образов, которые нужно формализовать.
Такая же ситуация и с вероятностью: если у ребенка не создать первичные наглядные представления о случайности и изменчивости, то невозможно в дальнейшем их формализовать в ходе изучения теории вероятностей — она останется в памяти как набор непонятных, ни о чем не говорящих символов.
Учитывая опыт преподавания в высшей школе и опыт школьных учителей, мы старались руководствоваться следующими положениями при разработке общего подхода к преподаванию статистики и теории вероятностей в школе.
1. Дать цельное, разумеется на начальном уровне, представление о теории вероятностей и статистике и их взаимосвязи.
2. Подчеркнуть связь математики с окружающим миром, как на этапе введения математических понятий, так и в ходе использования полученных результатов.
3. Избегать математического формализма там, где это только возможно.
4. Избегать классических примеров и задач, утративших актуальность для общества, в том числе задач, родившихся из азартных игр.
5. Сопровождать рассказ яркими, доступными и запоминающимися примерами для формирования интереса учащихся и лучшего усвоения материала.
Эти принципы нашли свое отражение в нашем учебном пособии «Теория вероятностей и статистика» [1] и его втором, переработанном издании [10], подготовленном авторами в тесном контакте с ведущими школьными методистами и учителями г. Москвы.
Уроки по вероятности и статистике в седьмом или восьмом классе дают возможность учителю вернуться к изучению важных объектов — процентов и долей. Ведь что есть вероятность, как не доля достоверности? Причем вернуться не на формальном материале учебника математики, а содержательно. Точно так же уроки статистики позволяют предметно и понятно иллюстрировать смысл функциональной зависимости, смысл возрастания, убывания, идею линейной связи. Тогда изучение свойств функций в 7-м и 8-м классе превращается в изучение моделей, смысл которых уже известен и понятен благодаря урокам статистики.
В заключение заметим, что уроки статистики и вероятности предоставляют учителю широкие возможности использования коллективной работы в группах. Ведь любой статистический или вероятностный эксперимент (будь то бросание монет или сбор сведений) не под силу провести в одиночку. Требуется «рабочая группа». Опыт московских учителей показывает, что школьники обычно с удовольствием и интересом выполняют практические работы, связанные с опросами, систематизацией и обработкой полученных данных с помощью компьютера. Не меньший интерес вызывают вероятностные эксперименты.
Краткое описание материала
первого года обучения
На наш взгляд, изучение элементов теории вероятностей и статистики в школе должно начинаться с изучения статистики в 7-м классе (см. примерное почасовое планирование в конце статьи или в [11]). На большом количестве различных примеров, на разборе различных (табличных и графических) способов представления и описания данных постепенно вводится и закрепляется одна из главных идей теории вероятностей и статистики — идея случайной изменчивости. Для показа и разъяснения случайной изменчивости мы привлекали самые различные источники: от государственной статистики до повседневной жизни учащихся, их биометрических данных, школьных оценок, показателей физического развития и т.п. При этом учащимся предлагается ряд практических заданий по сбору и обсуждению данных окружающего их мира. Все это необходимо для того, чтобы сформировать те самые первичные наглядные представления, без которых дальнейшее изучение теории вероятностей будет затруднено.
Одновременно с идеей случайной изменчивости вводятся простейшие показатели, описывающие изменчивость в целом: среднее арифметическое, медиана, отклонение от среднего, дисперсия числовых наборов. При изложении этого материала в седьмом классе следует избегать формализма, не использовать переменных с индексами, формальных определений и доказательств. Формализованные обозначения и простейшие свойства среднего и дисперсии вынесены в отдельные параграфы в качестве дополнительного материала, предназначенного для наиболее подготовленных школьников. В то же время важно на примерах, которых в пособии достаточно, показать, как может вести себя среднее арифметическое для различных наборов чисел, пояснить, когда оно дает хорошее представление о наблюдаемой величине, а когда нет. Для иллюстрации поведения среднего арифметического целесообразно привлекать графические методы, показывать числа и их среднее на числовой прямой. Аналогичный подход мы используем при изучении медианы, наибольшего и наименьшего значения, размаха и дисперсии числового набора. Важно, чтобы у учащихся формировалось понимание того, что в зависимости от постановки задачи для описания набора чисел можно и нужно использовать разные показатели, а не только среднее арифметическое.
Статья опубликована при поддержке компании "СТРОЙДОМ.com.ua". Компания предлагает Вам приобрести пластиковые окна "Rehau" (Германия) и других ведущих производителей, профнастил для забора, ревизионные люки-невидимки под плитку, под покраску (изготовление нестандартных люков по Вашим размерам). Гарантия качества, доступные цены, кратчайшие сроки производства. Узнать подробнее о компании, цены и контакты Вы сможете на сайте, который располагается по адресу: http://www.стройдом.com.ua/.
Знакомство с элементами теории вероятностей начинается в 7-м классе с изложения на интуитивном уровне понятий случайного эксперимента, случайного события и его вероятности. На этом этапе мы не привлекаем для изложения комбинаторику, как это принято делать в так называемой схеме «классической теории вероятностей». Последнее, на наш взгляд, нужно только для полной общности изложения, когда есть необходимость перечислять элементы обширных множеств. При работе со школьниками достаточно простых примеров, в которых число возможных событий невелико. В этих условиях комбинаторное изложение становится ненужной данью истории, резко сужает круг задач и вопросов, доступных для рассмотрения. На начальном этапе комбинаторика отрывает базовые понятия теории вероятностей от их сути и от практики. Учащиеся должны понимать, что основным способом определения вероятности события на практике является частотный подход, но что порой определение вероятности события — это сложная или вовсе неразрешимая задача.
Далее, переходя к математическому описанию случайных явлений, мы обращаем особое внимание на понятие случайного опыта и на его важность для всей последующей математической формализации случайности. Описание случайного опыта подводит нас к выбору подходящего набора (пространства) элементарных событий и возможному способу задания на нем вероятностей элементарных событий. Эта мысль важна еще и потому, что говоря о вероятности случайных событий на бытовом уровне, чаще всего забывают уточнить те условия, в которых обсуждаются эти события. Аналогичная ситуация часто наблюдается и во многих внешне простых формулировках занимательных вероятностных задач, где четко не говорится о том, что в них следует понимать под случайным опытом. В истории это не раз приводило к длительным спорам и математическим парадоксам. Такого рода задачи, как показывает практика обучения, отвлекают и путают учащихся, порождают в них неуверенность в собственных силах и сомнения в применимости вероятностных моделей вообще.
Надо понимать, что одному и тому же физическому опыту, превращая его в математический случайный эксперимент, можно приписать различные исходы и их вероятности. Эти различные множества исходов (элементарных событий) порождают различные случайные эксперименты. Распределения вероятностей между элементарными исходами в них, естественно, будут различными. Важно при этом одно — правильное, то есть согласованное с опытом, введение вероятностей.
Для пояснения сказанного рассмотрим простой пример: опыт с последовательным подбрасыванием двух правильных монет. (Правильная математическая монета — это монета, которая с равными вероятностями падает кверху орлом или решкой.) Естественное множество элементарных событий в этом случайном эксперименте состоит из четырех событий: ОО (орел выпал при первом бросании, орел выпал при втором бросании), ОР (орел при первом бросании, решка при втором), РО и РР. Естественно счесть все эти четыре элементарных исхода равновозможными и приписать им одинаковые вероятности
что согласуется с наблюдающимися частотами исходов при бросании настоящих монет.Но если в этом опыте нас интересует лишь число выпавших орлов, то можно ввести иное множество исходов: 0 (ноль орлов), 1 (один орел), 2 (два орла). Правильные (согласованные с частотами в реальном эксперименте) вероятности этих элементарных исходов 0, 1, 2 есть
Но такое назначение вероятностей далеко не очевидно. Относительно недавняя история знает ошибку, совершенную в похожей ситуации: французский математик и энциклопедист Даламбер, говоря о семьях с двумя детьми, полагал (и писал в своей энциклопедии), что с равными вероятностями
в таких семьях а) может не быть ни одного мальчика, б) может быть только один мальчик и в) может быть два мальчика. Эта ошибка основана на ложно примененной идее равновозможности. Идея равновозможности занимает важное место в школьном курсе элементов теории вероятностей. Исторически понятие «равновозможность» начало формироваться при решении задач, связанных с азартными играми. Однако оно не утратило своей актуальности и в настоящее время. Именно оно лежит в основе простого случайного выбора, на котором базируются все методики организации выборочных исследований, контроля качества продукции и социологических опросов. Однако было бы совершенно неверно с методической точки зрения ограничиваться в школьном курсе обсуждением только тех случайных опытов, элементарные события в которых равновозможны. Это часто приводит к формированию у учащихся устойчивого ложного представления, что интересующее его событие всегда имеет вероятность, равную одной второй, так как это событие «либо произойдет, либо нет». Поэтому в учебном пособии особо подчеркивается, что на практике многие элементарные события неравновозможны.
Поэтому на этапе первого знакомства с основными вероятностными понятиями следует всячески избегать нечетких формулировок в вероятностных задачах. Надо, чтобы условия случайного опыта формулировались ясно и недвусмысленно.
Комбинаторика
в школьной теории вероятностей
Взгляд авторов на значение равновозможных и неравновозможных элементарных событий отчасти накладывает свой отпечаток на определение роли комбинаторики в курсе теории вероятностей. По нашему мнению, введение элементов комбинаторики должно быть подчинено вероятностным задачам, а не наоборот. Важно научить учащихся разумному перебору и перечислению различных комбинаций, а не формальным преобразованиям выражений, включающих число сочетаний, перестановок и т.п., и доказательствам комбинаторных теорем. Важно показать, что без использования комбинаторных подходов во многих вероятностных задачах трудно описать все элементарные события. Важно дать наглядное, запоминающееся представление о тех практических ситуациях, где используются комбинаторные принципы подсчета. На наш взгляд, активное привлечение к изложению комбинаторного материала, традиционной «схемы урн, с различающимися или не различающимися шарами разного цвета», преждевременно. Вводить комбинаторный материал следует не ранее 8-го класса, а его более углубленное изучение, включая бином Ньютона, проводить в конце 9-го или 10–11-м классах — после знакомства со схемой испытаний Бернулли.
Тема перехода от элементарных событий к произвольным событиям и операциям с ними изложена нами без привлечения понятия множества. Это сделано для того, чтобы не усложнять восприятие материала учащимися. Мы надеемся, что для части учителей это облегчит процесс преподавания. Не совершат ошибки те учителя, кто сочтет возможным и полезным привлечение в эти темы теоретико-множественных аналогий, говоря, что событие является множеством, включающим благоприятствующие ему элементарные события, а операции над событиями суть операции над множествами. В любом из этих подходов очень наглядны и полезны диаграммы Эйлера (их еще называют диаграммами Венна), показывающие, как соотносятся друг с другом различные события внутри одного эксперимента.
Испытания Бернулли
Материал 8-го класса завершает изучение последовательности независимых испытаний Бернулли.
Схема испытаний Бернулли является не только простой, полезной и распространенной на практике моделью описания однотипных повторяющихся независимых опытов с двумя возможными исходами. Она играет в теории вероятностей важную методическую роль, показывая, как получить примерное представление о вероятности многих интересующих нас событий. Об этом сначала говорится в пособии на интуитивном уровне — при обсуждении соотношения вероятности и частоты событий в 7-м классе.
В более полном объеме эта тема затем обсуждается в пункте «Измерения вероятностей» в заключительной главе пособия «Случайные величины в статистике». Последний материал требует определенной подготовки учащихся и изучения глав, посвященных случайным величинам. Если учитель не сочтет возможным касаться всех этих вопросов в основном курсе, а остановится только на самой схеме Бернулли, то он должен хорошо понимать, что здесь им закладывается методическая основа для более глубокого знакомства учащихся с теорией вероятностей. Сама по себе схема испытаний Бернулли объединяет целый ряд понятий и методов, изученных ранее. Это представления о множестве всех элементарных событий, понятие независимости событий, правило умножения вероятностей, представление о числе сочетаний. То есть эта важная тема дает возможность повторить и закрепить многое из уже пройденного материала.
Геометрическая вероятность
Тема «Геометрическая вероятность», входящая в общеобразовательный стандарт, на взгляд авторов, в большой степени является данью исторической традиции изучения вероятностей в высшей школе. В рассказе о геометрических вероятностях много подводных камней и трудностей, которые надо обходить. Содержательное математическое обсуждение этих трудностей на школьном уровне нецелесообразно и практически невозможно. Эти соображения были положены нами в основу изложения материала по этой теме. Но при работе с этим материалом учитель и учащиеся все же получают возможность повторить материал курса геометрии и укрепить навыки формализации текстовых вероятностных задач, используя различные геометрические объекты.
Случайные величины
Главы пособия «Случайные величины» и «Числовые характеристики случайных величин» в определенной степени избыточны и могут не включаться учителем в курс математики основной школы или даваться обзорно. Однако именно этот материал, включая закон больших чисел, устанавливает связь между понятиями теории вероятностей и статистики. Если этот материал не включается в программу базовой школы, то мы рекомендуем его для работы в 10–11-м классе. Отметим, что первое неявное представление о случайных величинах дается нами при изучении элементов статистики. В указанных выше главах оно формализуется для дискретных случайных величин. Вводятся понятия распределения случайной величины и его числовых характеристик — математического ожидания и дисперсии. Одной из важнейших случайных величин, которую следует рассматривать в этом разделе, служит число успехов в серии испытаний Бернулли. Вычисление математического ожидания и дисперсии для числа успехов дает нам возможность сформулировать один из основных законов теории вероятностей — закон больших чисел. Он важен не только с точки зрения математики, но несет еще и большую мировоззренческую нагрузку, показывая, что усреднение случайных величин позволяет нам получить более точное представление об окружающем мире. На бытовом уровне одной из иллюстраций закона больших чисел служит поговорка: «Семь раз отмерь — один отрежь!» Заметим, что неявное обсуждение закона больших чисел мы начинаем при разборе ряда статистических задач в 7-м классе, обсуждая случайную изменчивость различных величин. Уже там мы обращаем внимание на то, что средние значения однотипных наборов различных случайных величин заметно меньше отличаются друг от друга, чем сами случайные величины в наборах. Другими словами, закон больших чисел показывает наличие закономерности в случайном, устанавливает связь между ними.
Бином Ньютона и треугольник Паскаля
Две важные темы — «Бином Ньютона» и «Треугольник Паскаля» — вынесены в приложение. Это сделано по нескольким причинам. На наш взгляд, обращаться к этим темам стоит лишь после того, как в целом завершено прохождение материала по статистике и теории вероятностей. В этом случае появляется возможность показать, как содержательно используется этот материал в теории вероятностей.
Тем не менее треугольник Паскаля можно использовать для получения числа сочетаний при изучении элементов комбинаторики ранее 9-го класса. Особенно это удобно, если учитель не считает возможным при работе со школьниками использовать формулы для вычисления
В этом случае треугольник Паскаля выступает просто в качестве таблицы, из которой можно брать числа. Для удобства треугольник Паскаля вынесен на задний форзац учебника.
Интеграция курса теории вероятностей и
информатики
Отдельно скажем об опыте поддержки изучения статистики и теории вероятностей специальными задачами и упражнениями в курсе информатики.
Большинство тем статистики 7-го класса может поддерживаться компьютерными практикумами. Там, где речь идет о вычислении характеристик числовых наборов — среднего, медианы, размаха и дисперсии, невозможно использовать реальные числовые данные в рамках уроков математики.
Иное дело, когда у учащегося есть компьютер. Простейший табличный процессор Excel позволяет провести все необходимые вычисления в доли секунды, независимо от объема имеющихся данных.
Таким образом, учитель получает возможность использовать настоящие жизненные примеры числовых данных на уроках, что определенным образом влияет на заинтересованность школьников. Польза от симбиоза статистики и информатики в школе взаимная: учитель информатики получает массу содержательных примеров, с помощью которых он обучает школьников использованию богатых возможностей Excel. Вместо заполнения бессмысленных модельных табличек школьники выполняют вполне осмысленные расчеты, связанные с обработкой данных, взятых непосредственно из жизни: численность туристов, посетителей магазинов, школ и детских садов, данные экологического мониторинга местности и т.п.
Аналогичные практикумы возможны и в теории вероятностей. Более того, помимо практикумов, необходимо использовать компьютер для моделирования случайных процессов. Например, с помощью компьютера можно показывать на уроках математики, каким образом частота сближается с вероятностью при увеличении числа экспериментов. Еще ничего не зная о законе больших чисел, учитель при правильном применении компьютерного моделирования может сформировать у учащихся верное представление о том, что частота события при большом числе экспериментов, скорее всего, близка к вероятности. Таким образом, довольно абстрактное понятие вероятности события получает наглядное содержание.
В планировании, что прилагается к статье, приведены варианты, в которых выделены часы для компьютерных практикумов.
Естественнонаучный характер статистики и
теории вероятностей в школе
Подводя итоги, заметим, что предложенный авторами подход к преподаванию элементов статистики и теории вероятностей в школе предполагает естественнонаучное изложение указанных дисциплин, подобное тому, что предполагается в курсах физики или химии. Наибольшую ценность представляют вводимые понятия, сложившаяся система взглядов, ее связь с окружающим миром. Другими словами, мы показываем, как и какими математическими понятиями и простейшими моделями описывается окружающий нас изменчивый мир. При таком подходе математические доказательства в начале обучения отступают на второй план. Статистика и теория вероятностей, будучи частью школьной математики, не нагружены большим числом алгебраических преобразований, но наполнены простым материалом, очень важным с точки зрения формирования мировоззрения школьника. Этот же материал должен способствовать повышению интереса учащихся к математике.
Варианты почасового планирования
Для того, чтобы учителя могли вести уроки по вероятности и статистике, в московском базисном учебном плане с 2007 г. в 7–9-х классах предусмотрен один час в неделю.
Существует несколько вариантов планирования, рассчитанных на разные программы и разное число часов. Здесь мы предлагаем планирование, рассчитанное на 34 часа в течение учебного года.
Часть вариантов примерного планирования предусматривает проведение компьютерных практикумов в наиболее значимых темах статистики и теории вероятностей для тех учителей и учащихся, кто имеет возможность использовать компьютерные технологии на уроках.
Все предложенные варианты планирования покрывают требования, записанные в Государственном образовательном стандарте 2004 г.
Примерное планирование курса
«Теория вероятностей и статистика»,
7–9-е классы
Тема курса |
Примерное число часов |
Главы пособия |
| 7-й класс | ||
| Представление данных, таблицы, диаграммы | 6 | I–II |
| Описательная статистика | 5 | III |
| Случайная изменчивость | 3 | IV |
| Введение в теорию вероятностей | 4 | V–VI |
| 8-й класс | ||
| События и вероятности | 6 | VI–VII |
| Элементы комбинаторики | 6 | VIII |
| Испытания Бернулли | 6 | X |
| 9-й класс | ||
| Геометрическая вероятность | 2 | IX |
| Случайные величины | 5 | XI–XII |
| Закон больших чисел | 2 | XIII |
| Бином Ньютона, треугольник Паскаля | 5 | Приложение |
| Итоговое повторение, резерв | 4 | |
| Всего | 54 | |
Следующие варианты планирования предназначены для использования в том случае, когда есть возможность поддержки курса теории вероятностей компьютерными технологиями на уроках. Основная форма поддержки — практические расчетные работы.
Примерное почасовое планирование курса
«Теория вероятностей и статистика»
Вариант А — без компьютерной поддержки практических работ.
Вариант Б — с компьютерной поддержкой практических работ.
7-й класс
Пункты пособия |
Тема курса |
Число часов |
|
А |
Б |
||
| Глава I. Таблицы | 6 | 6 | |
| 1 | Статистические данные в таблицах | 1 | 1 |
| 2 | Поиск информации в таблицах | 1 | 1 |
| 3, 4 | Вычисления в таблицах | 2 | 2 |
| 5, 6 | Подсчеты и измерения с помощью таблиц | 2 | 1 |
| 4–6 | Практическая работа «Вычисления в таблицах» | – | 1 |
| Глава II. Диаграммы | 6 | 7 | |
| 7 | Столбиковая диаграмма | 1 | 1 |
| 8 | Круговая диаграмма | 2 | 2 |
| 9 | Диаграмма рассеивания | 2 | 2 |
| 7–9 | Практическая работа «Построение диаграмм» | – | 1 |
| Контрольная работа № 1 | 1 | 1 | |
| Глава III. Описательная статистика | 11 | 11 | |
| 10 | Среднее значение | 2 | 1 |
| 11 | Медиана | 2 | 2 |
| 10, 11 | Практическая работа «Средние (арифметическое, медиана)» | – | 1 |
| 12 | Наибольшее и наименьшее значение. Размах | 1 | 1 |
| 13, 14 | Отклонения, дисперсия | 4 | 3 |
| 15*, 16* | Свойства среднего арифметического и дисперсии* (резерв) | 1 | 1 |
| 13, 14 | Практическая работа «Отклонения и дисперсия» | – | 1 |
| Контрольная работа № 2 | 1 | 1 | |
| Глава IV. Случайная изменчивость | 3 | 3 | |
| 17 | Примеры случайной изменчивости | 1 | 1 |
| 18 | Рост человека | 1 | 1 |
| 19 | Точность измерений | 1 | 1 |
| Глава V. Случайные события и вероятность | 4 | 4 | |
| 20 | Случайные события | 1 | 1 |
| 21 | Вероятности и частоты | 1 | 1 |
| 22 | Классические модели в теории вероятностей | 1 | 1 |
| 23, 24 | Как узнать и зачем нужно знать вероятность события | 1 | 1 |
| Итоговое повторение материала | 4 | 3 | |
8-й класс
Пункты пособия |
Тема курса |
Число часов |
|
А |
Б |
||
| Глава VI. Математическое описание случайных явлений | 8 | 8 | |
| 25–27 | Случайные опыты. Элементарные события. Равновозможные элементарные события | 1 | 1 |
| 28 | Вероятности элементарных событий | 1 | 1 |
| 29, 30 | Благоприятствующие элементарные события. Вероятности событий | 2 | 2 |
| 31 | Опыты с равновозможными элементарными событиями. Решение задач |
3 | 2 |
| 28–31 | Практическая работа «Случайные числа. Равновозможные события» | – | 1 |
| Контрольная работа № 1 | 1 | 1 | |
| Глава VII. Вероятности событий. Сложение и умножение вероятностей | 11 | 10 | |
| 32 | Противоположное событие. Диаграммы Эйлера | 1 | 1 |
| 33, 34 | Объединение и пересечение событий | 3 | 2 |
| 35, 36 | Несовместные события. Правило сложения, формула сложения вероятностей | 3 | 3 |
| 37, 38 | Случайный выбор. Независимые события. Умножение вероятностей | 3 | 3 |
| Контрольная работа № 2 |
1 | 1 | |
| Глава VIII. Элементы комбинаторики | 6 | 6 | |
| 39, 40 | Правило умножения. Перестановки. Факториал | 1 | 1 |
| 41 | Задачи на вычисление вероятностей | 1 | 1 |
| 42 | Сочетания | 1 | 1 |
| 43 | Сочетания в задачах на вычисление вероятностей | 3 | 2 |
| 39–43 | Практическая работа «Факториал, число сочетаний, вероятность» | – | 1 |
| Глава X. Испытания Бернулли | 7 | 8 | |
| 47, 48 | Успех и неудача. Число успехов в испытаниях Бернулли | 2 | 2 |
| 49 | Вероятности событий в испытаниях Бернулли. Решение задач | 4 | 3 |
| Практическая работа «Вероятность событий в испытаниях Бернулли» | – | 2 | |
| Контрольная работа № 3 | 1 | 1 | |
| Итоговое повторение материала | 2 | 2 | |
9-й клас
Пункты пособия |
Тема курса |
Число часов |
|
А |
Б |
||
| Глава IX. Геометрическая вероятность | 3 | 2 | |
| 44, 45 | Выбор точки из фигуры на плоскости и из числового отрезка | 3 | 2 |
| Глава XI. Случайные величины | 7 | 8 | |
| 50 | Примеры случайных величин | 1 | 1 |
| 51 | Распределение вероятностей | 3 | 2 |
| 52 | Биномиальное распределение | 2 | 2 |
| 51, 52 | Практическая работа «Распределение. Построение биномиального распределения» | – | 2 |
| Контрольная работа № 1 | 1 | 1 | |
| Глава XII. Числовые характеристики случайных величин | 10 | 11 | |
| 53, 54 | Математическое ожидание и свойства математического ожидания | 2 | 2 |
| 55, 56 | Рассеивание значений, дисперсия, стандартное отклонение | 3 | 2 |
| 57 | Свойства дисперсии | 2 | 2 |
| 58 | Математические ожидания числа успехов в серии испытаний Бернулли | 1 | 1 |
| 59 | Дисперсия числа успехов | 1 | 1 |
| 53–59 | Практическая работа «Математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение» | – | 2 |
| Контрольная работа № 2 | 1 | 1 | |
| Глава X. Случайные события в статистике | 4 | 4 | |
| 60, 61 | Изменения вероятностей, точность приближения | 2 | 1 |
| 60 | Практическая работа «Проверка близости частоты и вероятности» | – | 1 |
| 62 | Социологические обследования | 1 | 1 |
| 63 | Закон больших чисел | 1 | 1 |
| Приложение (резерв)1 | 8 | 8 | |
| 64 | Число сочетаний |
1 | 1 |
| 65 | Формула бинома Ньютона | 2 | 2 |
| 66 | Свойства биномиальных коэффициентов | 2 | 1 |
| 67 | Треугольник Паскаля | 2 | 1 |
| 66, 67 | Практическая работа «Построение треугольника Паскаля, свойства биномиальных коэффициентов» | – | 2 |
| Контрольная работа № 3 |
1 | 1 | |
| Итоговое повторение материала | 2 | 1 | |
Рекомендуемая литература
1. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р.,
Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. — М.: МЦНМО; Московские учебники, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Шарыгин И.Ф. и др. Математика: 6 класс. — М.: Дрофа, 1995.
3. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимо-
вич Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс. — 5-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2002.
4. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимо-
вич Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс. — 2-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2000.
5. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. — М.: Мнемозина, 2002.
6. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ. 11 кл. — 10-е изд., стереотип. — М.: Мнемозина, 2003.
7. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика. 5–9 кл.: Пособие для общеобразоват. учеб. заведений. — М.: Дрофа, 2002.
8. Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Доп. параграфы к курсу алгебры 7–9 кл. общеобразоват. учреждений. — М.: Мнемозина, 2003.
9. Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность: Учебное пособие для 7–9 кл. общеобразоват. учреждений. — М.: Просвещение, 2004.
10. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Московские учебники, 2008.
11. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. Пособие для учителя. — 2 изд., переработанное и дополненное. — М.: МЦНМО, 2008.
Годовые контрольные работы
Ниже даны два варианта московской годовой контрольной работы 2009 г. по вероятности и статистике — один для 7-го класса, другой для 9-го. Новым в работе для 7-го класса является задание на расчет дисперсии числового набора и использование полученных значений для принятия решения. Работа 8-го класса предъявляется в 2009 г. впервые. Два первых задания повторяют второе и третье задания седьмого класса. Дело здесь не только в желании авторов работы проверить устойчивость приобретенных навыков. Главная причина — многие школы курс статистики и вероятности преподавать начали только с 8-го класса.
7-й класс
Пояснительная записка
На работу учащимся отводится 45 минут. Данные в заданиях, где требуются вычисления, адаптированы, поэтому все расчеты могут быть проведены и без калькулятора, однако учащимся в ходе работы разрешено пользоваться калькуляторами.
Критерии оценивания: оценка «отлично» ставится за выполнение любых четырех из них; оценка «хорошо» ставится за выполнение трех любых заданий, возможно, с одной вычислительной ошибкой при верном ходе рассуждений; отметка «удовлетворительно» — за выполнение двух любых заданий, возможно, с вычислительной ошибкой.
Вариант
1. В таблице дана длительность каникул (в днях) в течение учебного года:
| Осень | Зима | Весна | Лето |
Всего дней |
| 4 | 22 | 7 | 87 | 120 |
Какая из четырех круговых диаграмм верно отражает данные таблицы?
2. На диаграмме дано число рабочих на фабриках и заводах Российской Федерации в 1927 году (в тыс. чел.). С помощью диаграммы ответьте на вопросы.
а) В каком месяце 1927 года наблюдалось наиболее резкое увеличение численности рабочих?
б) На сколько выросла численность рабочих в июле по сравнению с маем? Дайте примерный ответ в тыс. чел.
в) В какие месяцы второго полугодия наблюдалось снижение численности рабочих по сравнению с предыдущим месяцем?
3. В таблице приведено число пользователей интернета в 10 крупнейших по площади странах мира.
|
Страна |
Число пользователей (млн.) |
| Россия | 30 |
| Канада | 24 |
| США | 220 |
| Китай | 213 |
| Бразилия | 68 |
| Австралия | 15 |
| Индия | 81 |
| Аргентина | 11 |
| Казахстан | 2 |
| Судан | 4 |
а) Найдите среднее арифметическое числа пользователей.
б) Найдите медиану числа пользователей.
в) Какое из найденных средних лучше характеризует численность пользователей интернета в этих странах? Кратко обоснуйте свое мнение.
4. Швейцарские часы испытывают на точность с помощью специального теста. В ходе теста определяется ошибка измерения времени (в секундах на протяжении суток) при разной температуре, влажности и в разных положениях механизма. Часы получают сертификат точности, если размах ошибки меньше 4,5 секунд за сутки, а дисперсия меньше 3. Если средняя ошибка в ту или иную сторону превышает 2 секунды, то часы нуждаются в регулировке. В таблице даны результаты пяти испытаний одного часового механизма.
Номер испытания |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Ошибка (с) | –1,1 | –2,7 | –0,8 | –5,5 | –2,9 |
а) Найдите среднюю ошибку, размах и дисперсию ошибки.
б) Определите, получают ли эти часы сертификат точности.
в) Определите, нуждаются ли часы в регулировке.
5. Среднее значение набора чисел равно 4,
а дисперсия равна 18. Каждое число набора изменили на противоположное. Найдите:
а) среднее значение нового набора;
б) дисперсию нового набора.
Ответы
Номер задания |
Ответ |
1 |
3 |
2 |
а) В июне; б) около 230 тыс. чел.; в) в августе, ноябре и декабре |
3 |
а) 66,8 млн.; б) 27 млн.; в) медиана, поскольку данные содержат значения, значительно отличающиеся от прочих |
4 |
а) Средняя ошибка 2,6 (или –2,6) с; размах 4,7 с; дисперсия 2,8; б) не получат, поскольку размах превышает 4,5 с; в) нуждаются, поскольку средняя ошибка больше 2 с; |
5 |
а) –4; б) 18 |
Указания к оцениванию
1. Задание с выбором ответа. Обоснования не требуется. Однако решение может быть основано на прямом измерении либо на кратком рассуждении: самый большой сектор должен занимать почти три четверти круга. Два малых сектора неравны между собой. Всем этим условиям удовлетворяет только диаграмма 3.
2. Задание предназначено для проверки умения соотносить данные диаграммы со словесной формулировкой. Задания не требуют развернутых решений или пояснений. Ответ на вопрос зада-
ния (в) может быть близким к 230 тыс. чел. Следует принять как правильный любой ответ, разумно согласующийся с диаграммой. Например, 225 или 240 тыс. чел. Отвечая на вопрос (б) учащийся может не заметить слабое снижение численности рабочих в ноябре по сравнению с октябрем. Если два других месяца указаны верно, учитель имеет право полностью засчитать задание (б). Отсутствие единиц измерения (тыс. чел.) не является основанием для снижения оценки.
3. При выполнении задания (в) учащийся может дать другой обоснованный ответ. Например, он может сказать, что наилучший показатель –
среднее арифметическое, поскольку оно позволяет узнать общее число станций. Может быть, учащийся укажет моду или другой вид среднего. Признаком верного ответа является обоснование своего мнения.
4. Вычисляя среднюю ошибку, учащийся может дать ответ –2,6 секунды, что также является верным ответом. Отсутствие единиц измерения у среднего и размаха не является основанием для снижения отметки. Точно так же наличие единиц (верных или ошибочных) у дисперсии не является основанием для снижения отметки. Объект проверки — техническое умение вычислить дисперсию числового набора и сравнить результат с данным значением. В случае ошибки при вычислении среднего, дисперсии или размаха, задания (б) и (в) засчитываются как выполненные верно, если решения приняты в соответствии с полученным значением показателей.
5. Возможная запись решения. При замене каждого числа противоположным среднее арифметическое поменяло знак. Получилось, что среднее равно –4, а дисперсия не изменилась, поскольку не изменилось взаимное расположение чисел в числовом наборе.
Второй вариант записи решения. Пусть
и
— среднее арифметическое и дисперсия набора X = (xi). Тогда для набора Y = –X находим:
8-й класс
Пояснительная записка
На работу учащимся отводится 45 минут. Данные в задании адаптированы таким образом, что вычисления проводятся с одним десятичным знаком после запятой. Поэтому все расчеты могут быть проведены и без калькулятора, однако учащимся в ходе работы разрешено пользоваться калькуляторами.
Критерии оценивания: оценка «отлично» ставится, если безошибочно выполнены любые пять заданий из шести; оценка «хорошо» ставится за выполнение четырех любых заданий, возможно с одной вычислительной ошибкой при верном ходе рассуждений; оценка «удовлетворительно» — за выполнение трех любых заданий, возможно,
с вычислительной ошибкой.
Вариант
1. См. задание 2 варианта 7-го класса.
2. См. задание 3 варианта 7-го класса.
3. У шляпника есть четыре шляпы: две с галуном (золотой лентой) и две с серебряными пряжками. Мушкетеры Атос, Портос, Арамис и д’Артаньян бросают жребий, чтобы решить, кому достанется какая шляпа. Составьте таблицу элементарных событий (исходов) этого опыта.
4. Эксперимент состоит в последовательном бросании двух костей.
(1, 1) |
(1, 2) |
(1, 3) |
(1, 4) |
(1, 5) |
(1, 6) |
(2, 1) |
(2, 2) |
(2, 3) |
(2, 4) |
(2, 5) |
(2, 6) |
(3, 1) |
(3, 2) |
(3, 3) |
(3, 4) |
(3, 5) |
(3, 6) |
(4, 1) |
(4, 2) |
(4, 3) |
(4, 4) |
(4, 5) |
(4, 6) |
| (5, 1) |
(5, 2) |
(5, 3) |
(5, 4) |
(5, 5) |
(5, 6) |
(6, 1) |
(6, 2) |
(6, 3) |
(6, 4) |
(6, 5) |
(6, 6) |
Событие A = {На обеих костях выпала двойка}.
Событие B = {Сумма очков на костях больше 8}.
а) Найдите вероятность события A.
б) В таблице элементарных событий выделите элементарные события (исходы), благоприятствующие событию B.
в) Вычислите вероятность события B.
5. На Арбатско-Покровской линии Московского метрополитена один из 40 работающих поездов — состав-выставка «Акварель». Можно считать, что поезда распределены случайно. Ваня спускается в метро на конечной станции.
а) Какова вероятность того, что первый подошедший поезд — «Акварель»?
б) Ваня хочет уехать обязательно на поезде «Акварель». Какова вероятность того, что ему придется пропустить не менее пяти составов?
6. В темном погребе шесть банок с вареньем. Половина из них — с малиновым, а половина — с вишневым. Дедушка достал наугад две банки из погреба, какова вероятность того, что обе банки оказались с вишневым вареньем?
Ответы
| Номер задания | Ответ | ||||||
| 1 | а) В июне; б) около 230 тыс. чел.; в) в августе, ноябре и декабре |
||||||
| 2 | а) 66,8 млн.; б) 27 млн.; в) медиана, поскольку данные содержат значения, значительно отличающиеся от прочих | ||||||
| 3 | Атос | Г | Г | Г | П | П | П |
| Портос | Г | П | П | Г | Г | П | |
| Арамис | П | Г | П | Г | П | Г | |
| Д’Артаньян | П | П | Г | П | Г | Г | |
| 4 |
 |
||||||
| 5 |  |
||||||
| 6 |
 |
||||||
Указания к оцениванию
1. Задание с выбором ответа. Обоснования не требуется. Однако решение может быть основано на прямом измерении либо на кратком рассуждении: самый большой сектор должен занимать почти три четверти круга. Два малых сектора неравны между собой. Всем этим условиям удовлетворяет только диаграмма 3.
2. Задание предназначено для проверки умения соотносить данные диаграммы со словесной формулировкой. Задания не требуют развернутых решений или пояснений. Ответ на вопрос задания (в) может быть близким к 230 тыс. чел. Следует принять как правильный любой ответ, разумно согласующийся с диаграммой. Например, 225 или 240 тыс. чел. Отвечая на вопрос (б) учащийся может не заметить слабое снижение численности рабочих в ноябре по сравнению с октябрем. Если два других месяца указаны верно, учитель имеет право полностью засчитать задание (б). Отсутствие единиц измерения (тыс. чел.) не является основанием для снижения оценки.
3. Система выбранных обозначений может быть произвольной, но должна быть понятной. Перечисление должно быть полным без повторений. Желательно — в какой-либо логике перебора. Границы таблицы могут быть не изображены. Объект проверки — умение перечислять исходы опыта.
4. Выполняя пункт (б) учащийся может заштриховать, закрасить или отметить нужные ячейки таблицы. Для этого таблицу можно перечертить в тетрадь (цифры внутри — необязательно), можно выполнить штриховку на листке с заданием, можно — на специально розданных листках с заготовкой таблицы.
5. Возможная запись решения. б) Общее число поездов N = 40. Событию A {Ваня пропустил не менее пяти составов} благоприятствуют следующие события {«Акварель» — шестая по счету}, {«Акварель» — седьмая} и т.д. — общим счетом N(A) = 35. Тогда
Задачу также можно решить, переходя к противоположному событию B {Ваня пропустил менее пяти составов}, вероятность которого равна
6. Возможная запись решения. Обозначим банки В1, В2, В3, М1, М2 и М3. Тогда возможные комбинации В1В2, В1В3, В1М1, В1М2, В1М3, В2В3, В2М1, В2М2, В2М3, В3М1, В3М2, В3М3, М1М2, М1М3, М2М3. Общее число комбинаций N = 15. Событию A {Обе банки с вишневым вареньем} благоприятствует N(A) = 3 исхода. Поэтому
Задача также может быть решена с помощью комбинаторных сведений:
1 Материал приложения может изучаться как в конце курса, так и в ходе изучения материала 8–9-х классов по желанию учителя.