Еще раз о задаче с дробно-линейной функцией и параметром

В № 9/2009 в рубрике «Экзамены» была опубликована статья В. Тарасова [1]. В этой статье предлагается решение интересной задачи с дробно-линейной функцией, все четыре коэффициента которой линейно зависят от параметра. Поскольку различные варианты решения одной задачи позволяют обнаруживать неожиданные взаимосвязи между различными идеями и методами, то предлагаем на суд читателей обобщение этой задачи и ее решение с использованием метода областей на координатно-параметрической плоскости [2–4].

Задача 1. Найти все значения параметра p, при каждом из которых функция принимает все значения из отрезка [0; 1], если значения аргумента x не выходят за пределы отрезка [a; b]. Задача 2. Найти фиксированную точку, через которую проходят все кривые семейства функций (1) на их естественной области определения. Задача 3. Решить задачу 1, если функция y(x; p) принимает все значения из отрезка [c; d].

Рассмотрим задачу 1. Ее можно переформулировать следующим образом: найти все значения параметра p, при каждом из которых выполняется неравенство

для любого значения x ∈ [x₁; x₂], где a ≤ x₁ < x₂ ≤ b.
Решение. Пусть I(p) — множество допустимых значений x функции y(x; p) при заданном значении параметра p. Если при некотором дробь (1) является сократимой и для всех будет выполняться то функция не может принимать все значения из отрезка [0; 1]. В этом случае для всех Найдем производную y'(x; p).

Так как y'(x; p) < 0 при всех x ∈ I(p), то дробь (1) является несократимой и функция y(x; p) является убывающей при любом значении параметра p.
Неравенство (2) равносильно системе:

Для решения неравенств (3) и (4) воспользуемся методом областей на координатно-параметрической плоскости xOp, который является обобщением метода интервалов для неравенств с параметрами.
Рассмотрим неравенство (3). Приравнивая к нулю числитель и знаменатель неравенства (3),
находим уравнения границ, разбивающих координатно-параметрическую плоскость на области, в которых выражение

сохраняет свой знак.
Если x = 1, то 

Это означает, что при любом значении параметра p все кривые семейства функций (1) проходят через фиксированную точку с координатами (1; –1).Мы получили ответ на вопрос, поставленный в задаче 2.
Приравниваем к нулю числитель и последовательно получаем: px + 2 – p = 0, p(x – 1) = –2.
Если x ≠ 1, то График функции является линией уровня y(x; p) = 0 на координатно-параметрической плоскости.
Приравнивая к нулю знаменатель дроби y(x; p)
получаем:
(1 – p)x = 3 – p. (5)
Если p = 1, то уравнение (5) решений не имеет, а функция y(x; 1) определена и непрерывна для любых x: I(1) = R, y(x; 1) = –0,5x – 0,5.
При p ≠ 1 уравнение (5) имеет единственный корень то есть функция y(x; p) не определена (имеет разрыв) в точке   тогда
Разрешая (5) относительно p, получаем
Выделяя целую часть дроби, находим:
Если точка с координатами (x₀; p₀) принадлежит графику функции то функция y = (x; p₀) имеет разрыв в точке x₀. Изображаем на координатно-параметрической плоскости границы областей (рис. 1).

Так как неравенство (3) нестрогое, то границу (линию уровня y(x; p) = 0) рисуем сплошной линией, а границу (кривую точек разрыва) рисуем пунктирной линией.
Границы разбили координатно-параметричес-кую плоскость на области, внутри каждой из которых выражение y(x; p) сохраняет определенный знак, который можно найти методом пробной точки. Выбрав в качестве пробной точку
(0; 0), получаем

Заметив, что при переходе через границу области меняет знак либо числитель, либо знаменатель выражения y(x; p), определяем знаки в остальных областях и выбираем области, в которых y(x; p) > 0 (см. рис. 1).
Решаем неравенство (4). Приведем его к стандартному виду V(x; p) ≤ 0:

Находим уравнения границ областей. Приравнивая к нулю числитель, получаем:

График функции является линией уровня y(x; p) = 1 на координатно-параметрической плоскости. Приравнивая к нулю знаменатель, получаем,
(1 – p)x + (p – 3) = 0, откуда Изображаем на координатно-параметрической плоскости границы областей (рис. 2).

Линию рисуем сплошной (неравенство (4) нестрогое), а кривую пунктирной линией. Методом пробной точки определяем знак выражения

в точке  и знаки V(x; p) в остальных областях (см. рис. 2). Выбираем области, в которых V(x; p) < 0.
Решение системы неравенств (3), (4) получаем как пересечение выбранных на рисунках 1 и 2 областей: областью D (рис. 3) решений системы неравенств (3), (4) является часть координатно-параметрической плоскости, заключенная между линиями уровня y(x; p) = 0 и y(x; p) = 1.
Выберем некоторое значение p = p₀. Прямая p = p₀ пересекает линии уровня y(x; p) = 1 и
y(x; p) = 0 в точках с абсциссами x₁ и x₂ соответственно (см. рис. 3). Так как область D и кривая (6) точек разрыва не имеют общих точек, то функция y(x; p₀) непрерывна на отрезке [x₁; x₂].
x ∈ [x₁; x₂], а учитывая монотонность функции y(x; p₀), можно утверждать, что каждое значение из этого отрезка она принимает один раз.

В силу непрерывности функции y(x; p₀) на отрезке [x₁; x₂] можно утверждать, что y(x; p₀) принимает все значения из отрезка [0; 1], если для конкретного значения p₀ значения x₁ и x₂ находятся по уравнениям границ области D:

Например, для p₀ = 3 получаем:

то есть множеством значений функции y(x; 3) на отрезке является отрезок [0; 1].
По условию задачи 1 должны выполняться неравенства a ≤ x₁ < x₂ ≤ b. Чтобы получить все значения параметра p ∈ [p₁; p₂], при каждом из которых функция y(x; p) принимает все значения из отрезка [0; 1], если значения аргумента x не выходят за пределы отрезка [a; b], достаточно выбрать те значения p₀, при которых прямая p = p₀ пересекает обе линии уровня y(x; p) = 0 и y(x; p) = 1 в части области D, заключенной между прямыми x = a и x = b (см. рис. 3).
Здесь необходимо рассмотреть два случая:
1) b < 1;     2) a > 1.
Пусть b < 1, тогда значения p₁ и p₂ находятся из условий y(a; p₁) = 1, y(b; p₂) = 0 по формулам:

В частности, если a = –1, b = 0,5, по формулам (8) получаем: p₁ = 1,5 и p₂ = 4.
Если a > 1, то, рассуждая аналогично, получаем:

В случае, если x ∈ [2; 5], p₁ = –1,5 и p₂ = –0,5.

Рассмотрим задачу 3. В данном случае неравенство (2) запишется в виде c ≤ y(x; p) ≤ d.
Как следует из решения задачи 1, областью D решений неравенства c ≤ y(x; p) ≤ d является часть координатно-параметрической плоскости, заключенная между линиями уровня
y(x; p) = c и y(x; p) = d.
Находим уравнения линий уровня y(x; p) = c и y(x; p) = d:

Используя уравнения линий уровня (9) и границы отрезка [a; b], аналогично формулам (8) получаем:

В частности,
— если c = 0, d = 1, a = –1 и b = 0,5, то по формулам (10) получаем:

— если c = –3, d = –2, a = 2 и b = 5, получаем:
p₁ = 2 – 2 = 0, p₂ = 1,5 – 0,5 = 1, p [0; 1].
Заметим, что в случае p₁ = p₂ получаем единственное значение параметра, удовлетворяющее условиям задачи p = p₁.
Если p₁ > p₂, то задача решений не имеет.

Для организации самостоятельной работы учащихся необходимо иметь в распоряжении достаточное количество однотипных задач и ответов к ним.
Использование метода областей позволяет легко генерировать семейство таких задач, задаваясь границами изменения аргументов a, b и границами множества значений c и d функции y(x; p), причем таблицы ответов получаются по формулам (10).

Литература
1. Тарасов В. Задача с дробно-линейной функцией и параметром // Математика, 2009, № 9.
2. Кузовлев А. Два подхода к решению одной задачи: какой выбрать? // Математика, 2006, № 1.
3. Голубев В. Третий подход к решению одной задачи // Математика, 2006, № 4.
4. Бессарабов Н.И., Зяблин В.Н., Сохадзе Г.В. Математика в примерах и задачах. Методы решений и сборник заданий. Часть II. — Новочеркасск: ЮРГТУ, 2007.

Бессарабов Н. , Зяблин В.