Геометрия в 7 и 8 классах

В процессе обучения важное место занимает проверка теоретических знаний. Однако в рамках урока сложно опросить достаточное количество учащихся. Но систематически проверяя теоретический материал, можно добиться значительных успехов.
Все самостоятельные и контрольные работы, которые я провожу, состоят из двух частей: теоретической и практической.
Теоретическую часть я делю на три блока:
— определения и формулировки теорем без доказательства;
— свойства, которые требуют просто формулировки, либо доказательство свойства;
— теорема с доказательством — основная цель теоретического опроса (теория оценивается отдельно, а за ответы только на 1-й и 2-й вопросы я ставлю отметку «3», но лишь в том случае, если есть формулировка теоремы в 3-м вопросе).
Практическая часть делится на две части:
— задачи базового уровня на закрепление теории (решение в одно действие);
— задачи, решаемые в несколько этапов; в ходе их решения учащиеся должны применить целый ряд теоретических знаний.
Не сразу удалось добиться хороших и удовлетворительных результатов. Но если с самого начала применять данную практику проверки знаний, то учащиеся привыкают к опросам, и тогда можно применять только частичный опрос теории (формулировки теорем, определений, а также только план доказательства теоремы).
Одно из основных мест в геометрии 7-го класса занимает изучение аксиом планиметрии. Для меня важно, чтобы ребята запоминали аксиомы не по номерам, а по их названиям. Поэтому контрольная работа по изученным аксиомам планиметрии включает в себя все аксиомы планиметрии (как теория, так и практика их применения).
Ниже приведены варианты самостоятельной работы. (Примечание. Задачи должны быть определенного уровня сложности, в соответствии с уровнем обученности.)

Самостоятельная работа по теме «Основные аксиомы планиметрии»
Вариант 1
1. Сформулируйте и проиллюстрируйте «Основное свойство принадлежности точек и прямых на плоскости».
2. Сформулируйте и проиллюстрируйте «Основное свойство измерения отрезков».
3. Объясните при помощи рисунка, что значит выражение «Точки лежат в разных полуплоскостях».
4. Сформулируйте и проиллюстрируйте «Основное свойство измерения углов».
5. На луче AB отложен отрезок AC — меньший, чем отрезок AB. Какая из трех точек — A, B или C — лежит между двумя другими? Ответ объясните.
6. Найдите длины отрезков CD и CA, если DA = 22 см, а отрезок CA в 2 раза больше отрезка CD.

Вариант 2
1. Сформулируйте и проиллюстрируйте «Основное свойство расположения точек на прямой».
2. Сформулируйте и проиллюстрируйте «Основное свойство расположения точек».
3. Дайте определение угла.
4. Сформулируйте и проиллюстрируйте «Основное свойство откладывания отрезков и углов».
5. Даны прямая и три точки — A, B и C, не лежащие на этой прямой. Известно, что отрезок AB пересекает прямую, а отрезок AC не пересекает ее. Пересекает ли прямую отрезок BC? Ответ объясните.
6. Найдите длины отрезков BM и DM, если BD = 34 см, а отрезок BM на 12 см больше отрезка DM.
 

Для сильного класса рекомендую усложнить задачи. В эту самостоятельную работу можно также включать задачи на основные свойства измерения углов с применением свойств биссектрисы.
Следующим важным разделом геометрии является раздел «Три признака равенства треугольников». Самое важное в ходе изучения данной темы — добиться у ребят понимания, какого элемента не хватает для определения признака равенства. Обычно я рассматриваю в ходе устной работы различные задачи на эту тему, в ходе решения которых необходимо добавить не более одного элемента, чтобы получился один из признаков равенства треугольников. Например:
Два отрезка AB и CD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что отрезки AC и BD равны.
Так как основы геометрии закладываются именно в 7-м классе, то очень важно упрочить полученные знания. Качество знаний лучше всего, как мне кажется, учитель оценивает на итоговом зачете. В такой зачет по геометрии для 7-го класса я обычно включаю всю основную теорию, а также задачи среднего уровня сложности. Так как учащиеся впервые сталкиваются с подобной практикой опроса, необходимо заранее, например перед зимними каникулами, раздать им билеты. Их немного (7–10 билетов), они составлены по аналогии с экзаменационными, то есть содержат два вопроса по теории и одну задачу. Первый вопрос на формулировку свойства, а второй — на доказательство теоремы. Задачи базовые, которые решались в классе. Затем идет подготовка: в отдельных тетрадях учащиеся письменно отвечают на все билеты (тетрадь стандартная, в клетку, так как в следующем году в этих же тетрадях они готовятся к итоговому зачету за 8-й класс; таким образом у ребят сохраняется вся основная теория по геометрии). Как только работа закончена, я собираю тетради для проверки и делаю замечания (обычно это конец апреля, так как к этому времени вся теория практически пройдена). Далее класс делится на группы по желанию, и в определенные дни идет сдача зачета (это может быть и после уроков на дополнительном компоненте). Если ученик хорошо занимался весь год и ответственно готовился к зачету, то я могу автоматом поставить заслуженную им отметку, в качестве поощрения. Поверьте, это очень стимулирует, особенно неприлежных учеников.

Билеты итогового зачета по геометрии 7 класса

Билет № 1

1. Сформулируйте все аксиомы планиметрии и проиллюстрируйте некоторые из них.
2. Постройте перпендикуляр к прямой.
3. Угол при основании равнобедренного тре­угольника в 2 раза больше угла при вершине. Найдите все углы треугольника.

Билет № 2

1. Дайте определение треугольника. Сформулируйте и докажите первый признак равенства треугольника.
2. Постройте угол, равный данному.
3. Биссектрисы MD и KC равнобедренного треугольника MPK с основанием MK пересекаются в точке O. Докажите, что треугольник MOC равен треугольнику KOD.

Билет № 3

1. Дайте определение смежных и вертикальных углов. Докажите свойство смежных и вертикальных углов.
2. Докажите теорему: «Две прямые, параллельные третьей, параллельны».
3. Периметр равнобедренного треугольника равен 24,8 см. Найдите стороны треугольника, если его основание относится к боковой стороне как 2 : 3.

Билет № 4

1. Сформулируйте и докажите второй признак равенства треугольников.
2. Сформулируйте и докажите теорему о внешнем угле треугольника.
3. Один из смежных углов треугольника на 50° меньше другого. Найдите эти углы.

Билет № 5

1. Сформулируйте признаки параллельности прямых и докажите один из них (по выбору).
2. Постройте биссектрису данного угла.
3. Прямой угол AOB разделе лучом OC на два угла. Один из них в 4 раза больше другого. Найдите градусные меры полученных углов.

Билет № 6

1. Перечислите все углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.
2. Сформулируйте и докажите свойство углов при основании равнобедренного тре­угольника.
3. Периметр равнобедренного треугольника равен 17 см. Найдите его стороны, если основание больше боковой стороны на 2 см.

Билет № 7

1. Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
2. Объясните, в чем состоит доказательство от противного.
3. Один из углов, которые образовались при пересечении двух прямых, в 3 раза меньше другого. Найдите эти углы.

Билет № 8

1. Дайте определение прямоугольного тре­угольника. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников. Докажите два любые из них.
2. Что значит вписать окружность в треугольник? Описать окружность около треугольника?
3. Углы треугольника пропорциональны числам 2, 3 и 4. Найдите эти углы.

Перейдем теперь к материалу 8-го класса. Важную роль здесь играет изучение свойств четырехугольников, это основа для решения стереометрических задач. Учащиеся должны научиться выявлять свойства, характерные для данного четырехугольника и видеть свойства общие для каких-то двух типов из них. Задачи в данной теме настолько разнообразны, что нет смысла придумывать что-либо новое.
Также важное место занимают темы «Декартова система координат» и «Векторы». Одна тема плавно переходит в другую. Тема «Векторы» важна для физических приложений, а значит, возникает необходимость запоминания этого прикладного материала для дальнейшего использования не только в геометрии, но и в физике. Тем более что тему «Векторы» учащиеся изучают в 8-м классе по геометрии, а в физике данная тема имеет применение только в 9-м классе, в ходе изучения темы «Движение тела по наклонной плоскости», значит, тема «Векторы» должна быть хорошо изучена и закреплена. Именно поэтому проверочной работе по данной теме я уделяю большое внимание. Данную тему учащиеся изучают поэтапно,
а значит, и промежуточных проверочных работ должно быть не менее двух. В заключение изучения данной темы можно провести проверочную работу (можно вместо контрольной),
в которую следует включить как практическую, так и теоретическую части (теоремы, свойства, определения).

Проверочная работа по теме «Векторы»

Вариант 1
1. Дайте определение вектора.
2. Дайте определение умножения вектора на число.
3. Дайте определение разности векторов.
4. Докажите теорему о равенстве векторов.
5. Найдите координаты вектора и его длину, если A(–1; 4) и B(1; –2).
6. Докажите, что векторы и равны, если A(–2; 3), B(1; 4), C(0; 2) и D(3; 3).
7. Найдите угол между векторами и если (-3; 1) и  (0; -6)

Вариант 2
1. Дайте определение равных векторов.
2. Дайте определение коллинеарных векторов.
3. Дайте определение единичного вектора.
4. Докажите теорему об умножении вектора на число.
5. Найдите координаты вектора и его длину, если C(–2; 3) и D(1; –2).
6. Докажите, что векторы и равны, если M(4; 3), H(–2; –1), K(2; 4) и D(–4; 0).
7. Найдите угол между векторами и если ( –4; 3) и (–3; 0).

Работа рассчитана на общеобразовательный класс со средним уровнем обученности. Однако хотелось бы порекомендовать проводить в конце года зачет по всем пройденным темам. Вопросов не должно быть много.

Подготовка к сдаче итогового зачета проходит по той же схеме, что и для 7-го класса.
Те примеры, что я привела, являются руководством к действию. Если мои наработки кому-то понравятся и пригодятся, значит, я не зря поделилась своим опытом.

Светлова Е.