Олимпиады МГУ «Ломоносов» по механике для учащихся 7–11 классов
— Что закончил?
— Мехмат МГУ. Специальность «Механика».
— Угу. А дифференциал знаешь?
— Конечно!
— Это хорошо. Пойдешь в гараж машины ремонтировать...
Разговор в отделе кадров (анекдот 1980-х годов)
Механика... Не очень привычное слово для школьника. Когда произносятся слова «математика», «физика», «химия», вопросов почти ни у кого не возникает. А «механика» — слово многозначное. На производстве есть должности главного механика и инженера-механика. И машины ремонтируют тоже механики (именно об этом говорится в вынесенном в эпиграф анекдоте). Школьникам знакома механика как раздел физики, посвященный движению тел под действием гравитационных сил, упругих сил и сил трения.
Но та механика, которая является одной из двух специальностей на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова, — совсем другое. Наша механика — это математическое моделирование широкого класса явлений окружающего мира средствами классической механики Ньютона.
Именно в рамках такой механики активно работают ученые факультета, охватывая в своих исследованиях практически все сферы человеческой деятельности. Именно такая механика служит основой многих научных проектов, определяющих передовое положение нашей страны в таких областях, как авиа- и кораблестроение, освоение космоса, энергетика, добыча полезных ископаемых, робототехника, разработка новых оборонительных вооружений. Именно такой механике обучают студентов на факультете. Ее называют «фундаментальная механика».
С некоторых пор на факультете началась работа со школьниками для стимулирования творческой деятельности учащихся в области фундаментальной механики и мотивации к будущей научной деятельности. Одним из результатов этой деятельности несколько лет назад стала организация на факультете олимпиад по механике для школьников 7–10-х классов. А с 2008 года олимпиада по механике стала составной частью олимпиады «Ломоносов».
Важно также отметить, что в 2010 году Министерством образования и науки РФ олимпиаде «Ломоносов» по механике присвоен статус олимпиады III уровня (предметы: математика; физика), а это означает, что ее победители и призеры среди одиннадцатиклассников могут иметь льготы при поступлении в высшие учебные заведения.
Олимпиада этого года состоится 11 апреля (эта дата не случайна: олимпиады «Ломоносов» по механике традиционно проводятся в выходные дни, ближайшие к Дню космонавтики 12 апреля). Актуальная информация по новому приему и по участию в олимпиадах размещается в Интернете по адресу приемной комиссии мехмата МГУ:
mech.math.msu.su/admission.
Задачи олимпиад по механике построены так, что элементы творческого мышления необходимо проявить на стадии математической формулировки задачи, понять необходимость и достаточность тех или иных приближений.
После того, как задача математически сформулирована, ее решение потребует владения всем арсеналом математических знаний, доступных школьникам соответствующих классов.
В качестве примера здесь приведены несколько задач олимпиад прошлых лет для разных классов. Легко убедиться, что даже учащиеся, имеющие не очень глубокие познания в физике, но хорошо ориентирующиеся в математике, имеют все шансы успешно справиться со многими задачами.
Многие задачи механических олимпиад могут показаться сложными, но решать трудные задачи и получать от этого удовольствие — наверное, единственный путь развития творческих способностей в точных науках.
Условия задач
1. (2009, 7-й класс.) Поезд въезжает на мост длиной s = 350 метров в течение 6 секунд, а полностью проходит мост за 20 секунд. Определите длину L и скорость v поезда.
2. (2009, 7-й класс.) В США принято указывать температуру по шкале Фаренгейта. По этой шкале вода замерзает при 32 F, а кипит при 212 F. Американский семиклассник сообщил утром маме, что не пойдет в школу — у него температура 97,88 F. Является ли эта температура повышенной, нормальной или пониженной?
3. (2008, 8-й класс.) Восьмикласснику родители подарили мопед, который, по заводским данным, мог проехать 20 км, затратив один литр бензина. Мальчик, изучив устройство мопеда, усовершенствовал работу карбюратора так, что он проезжал на мопеде 1 км, затрачивая на 20% меньше бензина, чем по заводским данным. Сколько километров проедет мальчик на мопеде с полным баком, объем которого 10 литров?
4. (2009, 8-й класс.) Две свечи одинаковой длины H были зажжены одновременно. Одна свеча сгорает за 6 часов, другая — за 8 часов. Порыв ветра задул свечи. От одной из свечей остался огарок в 3 раза длиннее, чем от другой. Сколько часов горели свечи?
5. (2008, 9-й класс.) Во время поединка с ветряной мельницей Дон-Кихот сломал копье, наконечник которого застрял в конце лопасти длины l, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг горизонтальной оси, расположенной на высоте h, h>l. Какой максимальной высоты достигнет наконечник, если он оторвется от лопасти?
6. (2008, 9-й класс.) Автомобиль, двигаясь от пункта А до пункта B, проехал первую треть пути со скоростью v1, а оставшиеся две трети — со скоростью v2. На обратном пути автомобиль половину всего времени движения от B до А проехал со скоростью v1, а вторую половину — со скоростью v2.
Оказалось, что средняя скорость движения от А до B в a раз больше средней скорости движения от B к А. Найдите значения параметра а, при которых задача определения отношения скоростей v1 и v2 имеет решение.
7. (2009, 9-й класс.) Девятиклассник любил зимнюю рыбалку. Но он знал, что если толщина льда H меньше, чем 15 см, то выходить на лед опасно. Для измерения толщины льда мальчик встал около берега на льдину площадью
S = 4,5 м2 и обнаружил, что толщина льда над поверхностью воды равна h = 1 см. Безопасно ли выходить на лед плотностью ρi = 920 кг/м3 девятикласснику массой M = 45 кг? Плотность воды ρw = 1000 кг/м3.
8. (2008, 10-й класс.) Тело, находящееся на расстоянии s от источника звука, начало движение в момент пуска звукового сигнала без начальной скорости с постоянным ускорением а по прямой, образующей с направлением на источник звука угол α=60°. Какое расстояние l пройдет это тело до встречи с сигналом, если скорость распространения сигнала равна v?
9. (2009, 10-й класс.) Зависимость скорости материальной точки от времени при значениях времени от нуля до 2t0 выражается формулой
Определите среднюю скорость точки в этот промежуток времени.
10. (2009, 11-й класс.) Планета радиуса R с расстояния h от ее поверхности видна под некоторым плоским углом. На каком расстоянии к планете должен находиться наблюдатель, чтобы этот угол увеличился вдвое? Имеет ли задача решение, если
11. (2009, 11-й класс.) Вдоль окружности цирковой арены (которая, как известно, имеет диаметр 13 метров) против часовой стрелки бегают болонка и пудель. Болонка делает полный круг на 10 секунд медленней пуделя и поэтому совершает в минуту на 3 круга меньше. В начальный момент собаки находятся в одной точке.
а) Чему равно расстояние между ними через 6 секунд?
б) Если в начальный момент времени собачек «связать» резинкой длиной 11,5 метров, натянется ли резинка через 6 секунд?
в) А если длина резинки равна 10,5 метров?
12. (2009, 11-й класс.) Прямая призма, изготовленная из однородного материала, основанием которой является неравнобедренная трапеция, лежит одной из своих боковых граней на гладкой поверхности. Объясните, как с помощью циркуля и линейки найти такую точку основания призмы, чтобы под действием силы, приложенной в этой точке перпендикулярно основанию, призма двигалась поступательно.
Ответы и решения
1. L = 150 м, v = 25 м/с.
Условия задачи переводятся на язык математики системой двух уравнений с двумя неизвестными:
При этом L измеряется в метрах, а v в метрах в секунду. Эту систему можно решить, например, вычитая первое уравнение из второго.
2. Температура нормальная.
Так как обе шкалы температур равномерны (величины делений термометров одинаковы по всей шкале), они связаны линейным законом:
Из условия задачи определяются константы a, b и следует формула связи:
При подстановке данных в эту формулу получим, что у мальчика температура 36,6°С.
3. 250 км.
Задача решается в рамках естественного предположения о линейной зависимости объема затраченного бензина от пройденного расстояния
v = αs, где α — коэффициент пропорциональности (удельный расход топлива), размерность которого [α] = л/км. Пусть по заводским настройкам удельный расход топлива равен α1, а после усовершенствования — α2. Из первого условия задачи следует, что
а из второго условия находится
Теперь, подставив известные величины в уравнение v = αs, получим ответ задачи:
4. 5 ч 20 мин.
Пусть время сгорания одной свечи равно
T1 = 6 ч, а другой — T2 = 8 ч. Зависимость длины свечей от времени описывается по линейным законам:
Так как вторая свеча сгорает медленнее, то она будет все время длиннее, то есть h1 < h2 для любого
t > 0. Поэтому если t = t0 — искомое время горения, то из условия следует:
Отсюда 
5. Если
если 
Выберем начало координат в центре колеса мельницы; ось y направлена вверх, ось x горизонтальна. Положение наконечника в момент отрыва от лопасти будем задавать острым углом α между лопастью с застрявшим наконечником и горизонтальным направлением. Тогда вертикальная составляющая скорости равна vy = v cos α.
Это позволяет из закона движения тела, брошенного под углом к горизонту:
определить высоту подъема h вылетевшего из лопасти наконечника:
Здесь v0 = ω∙ l — начальная скорость наконечника. Из соотношения (1) следует квадратичная зависимость высоты подъема h от синуса угла α (обозначим здесь p = sin α):
Применяя процедуру выделения полного квадрата, получим:
Для достижения максимальной высоты подъема наконечника необходимо минимизировать третий член в соотношении (2). Учитывая условие | p | ≤ 1, получаем:
если коэффициент
будет больше 1, то минимум
достигается при p = 1;
если же 
то минимум достигается при
Таким образом:
6. 
Из условия задачи следует, что на пути из А в B автомобиль движется в соответствии с законом
откуда следует, что средняя скорость на пути из А в B равна
На обратном пути закон движения определяется условиями
Отсюда следует, что средняя скорость движения автомобиля на обратном пути равна
Введем обозначение
Тогда условие задачи приводит нас к уравнению
которое сводится к квадратному с параметром а:
ax2 + 3(a – 2)x + 2a = 0. (1)
Теперь вопрос задачи можно переформулировать следующим образом: при каких положительных значениях параметра а уравнение (1) имеет хотя бы один положительный корень. Корни существуют при
Так как произведение корней (теорема Виета) равно
то корни будут одного знака. Они положительны, если сумма корней положительна:
то есть a ∈ (0; 2).
7. Безопасно.
Из условия плавания льдины (сила Архимеда компенсирует вес мальчика и силу тяжести самой льдины): Mg + HSgρi = (H – h)Sgρw, найдем искомую толщину льда:
Подставив известные данные, получим
— это означает, что выходить на лед безопасно. Но мы, тем не менее, не рекомендуем читателям повторять этот эксперимент.
8. Пусть точка А — начальное положение тела. Источник звука расположен в точке В. Звуковой сигнал встретится с телом в точке С. Исходя из условия задачи, будем иметь:
где t — время до встречи. Применим к треугольнику ABC теорему косинусов:
Из данных соотношений получим квадратное уравнение
для определения искомого расстояния. В зависимости от параметров s, v, a и дискриминанта
этого уравнения, тело может принять сигнал два раза (D > 0), один раз (D = 0) или не принять его вообще (D < 0).
9. 
Средняя скорость vm определяется как отношение расстояния, пройденного за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка. Определим расстояние, пройденное исследуемой точкой за время 2t0. Перепишем зависимость скорости от времени:
Это означает, что в переменных
график зависимости скорости от времени есть часть окружности радиуса 1 с центром в точке (1; 1). Вид формулы в условии позволяет заключить, что нас интересует нижняя полуокружность. Расстояние, пройденное точкой, есть площадь, заключенная между графиком
и осью абсцисс.
Эту площадь легко найти из геометрических соображений (разность площадей прямоугольника и полукруга):
Так как скорость в данном случае измеряется в единицах v0, а время — t0, то расстояние будет измеряться в v0∙
t0. Окончательно получим:
По определению средней скорости:
10. а)
б) имеет.
По условию
где h1 — новое расстояние до планеты. Так как
sin 2α = 2sin α∙cos α,
что при 
равно
то получаем уравнение
Это уравнение при выполнении условия
(то есть
) имеет решение:
Ответ на второй вопрос положительный, так как
11. а) 
б) не натянется;
в) натянется.
Пусть пудель пробегает круг за t секунд, а болонка — за t + 10. Тогда
Значит, за одну секунду пудель пробегает
круга, а болонка —
Поэтому через 6 секунд длина дуги, разделяющей собачек, будет равна
Искомое расстояние между ними равно
Для ответа на вопрос «б» достаточно воспользоваться монотонностью синуса
и числовой оценкой
истинность которой очевидна:
Ответ на вопрос «в» требует более тонкой оценки. Нужно найти значение
(например, из решения уравнения sin 2x = sin 3x или из геометрических соображений). Далее, так как
то расстояние равно
что больше, чем
12. Точка приложения силы, обеспечивающей плоскопараллельное движение призмы по плоскости, должна находиться в центре масс основания. Четырехугольник основания разбивается одной из диагоналей на два треугольника, центр масс каждого находится как точка пересечения медиан (с помощью циркуля и линейки это сделать несложно). Эти две точки соединяются отрезком 1, на котором должен находиться центр масс основания. Затем четырехугольник разбивается на два треугольника другой диагональю, и центры масс этих треугольников также соединяются отрезком, который обозначается 2. Центр масс основания находится в точке пересечения отрезков 1 и 2.