Вступительная работа в МФТИ по математике

1. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, длина стороны AC равна 30, угол ABC равен

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, и расстояние от точки пересечения медиан до точки пересечения высот треугольника ABC.
Решение. Пусть M и N — основания перпендикуляров, опущенных из точек A и C на прямые BC и AB соответственно, F — точка пересечения прямых AM и CN. Эта точка лежит на продолжении высоты BO треугольника ABC и является точкой пересечения высот треугольника ABC. Если ABO = φ = FBN, то 2φ = ABC, и
Следовательно,

 
OB = ABcos φ = 8.

Пусть S — площадь треугольника ABC, p — его полупериметр, r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда где
откуда

Пусть E — точка пересечения медиан тре­угольника ABC. Тогда E лежит на отрезке OB и
Имеем:

Тогда искомое расстояние ρ между точками пересечения высот и медиан треугольника ABC равно

Ответ: 

2. Решите уравнение

Решение. ОДЗ: cos 3x ≠ 0.

Имеем:

откуда получаем: 2sin x = 4sin² x – 4sin x cos 2x.
Тогда либо sin x = 0 и x = πn — в ответ, либо
1 = 2sin x – 2(1 – 2sin² x).
Получаем: 4sin² x + 2sin x – 3 = 0.
Тогда либо — не имеет решений, либо

 —
в ответ.
Ответ:

3. Решите неравенство

Решение. Пусть log₂ (x + 1) = t. Тогда неравенство примет вид:

Пусть 
Тогда | u – 2 | + | u + 2 | < 5,
что равносильно

Отсюда получаем

то есть 2| t |² – 5| t | + 2 < 0.
Следовательно,
то есть

Тогда либо

то есть

либо

то есть

Ответ:

4. На ребре AB треугольной пирамиды ABCD выбрана точка X такая, что AX : XB = 2. Точки K и L — проекции точки X на плоскости ACD и BCD соответственно. Известно, что KC = 2, KD = 6, KA = 8, LC = 7, LB = 5. Найдите длину отрезка LD, высоту пирамиды, опущенную из вершины A, и угол между ребром AB и плоскостью BCD.
Решение. Пусть XK = a, XL = b. Из теоремы Пифагора для треугольников XKC, XLC, XKD, XLD получаем:
XC² = a² + 2² = b² + 7²,
XD² = a² + 6² = b² + LD²,
откуда
a² – b² = 7² – 2² = LD² – 6²
и
LD² = 49 – 4 + 36 = 81,
то есть LD = 9. Из прямоугольных треугольников XKA и XLB теперь получаем, что
XA² = a² + 8², XB² = b² + 5².
Поскольку AX = 2XB, получаем:
a² + 8² = 4(b² + 5²),
а поскольку
a² – b² = 7² – 2² = 45,
то
(45 + b²) + 64 = 4(b² + 25),
откуда

Длина высоты AH, то есть расстояние от A до BCD, втрое больше расстояния от X до той же плоскости (поскольку AB = 3XB); последнее равно поэтому высота равна Наконец,

из прямоугольного треугольника ABH теперь получаем, что угол между AB и плоскостью BCD равен

Ответ:

5. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение  имеет единственное решение.
Решение. ОДЗ: x ≥ a и x ≥ –1. Если a < –1, то на ОДЗ имеем неравенство x – a > 0. Следовательно, уравнение равносильно

то есть 4x² = (x – a)(x + 1) и –1 ≤ x < 0.
Так как на промежутке –1 ≤ x < 0 парабола f(x) = 4x² убывает от f(–1) = 4 до f(0) = 0, а парабола g(x) = (x – a)(x + 1) возрастает от g(–1) = 0 до g(0) = –a > 0, то уравнение f(x) = g(x) имеет на промежутке –1 ≤ x < 0ровно одно решение. Следовательно, все a < –1 — в ответ.
Если a = –1, то уравнение примет вид

Оно имеет два решения:
Если –1 < a < 0, то x = a — решение, а при x > a имеем:
Следовательно, 4x² = (x – a)(x + 1)
при a < x < 0. Так как на промежутке a < x < 0 парабола f(x) = 4x² убывает от f(a) = 4a² > 0 и f(0) = 0,
а парабола g(x) = (x – a)(x + 1) возрастает от g(a) = 0 до g(0) = –a > 0, то уравнение f(x) = g(x) имеет на промежутке a < x < 0 ровно одно решение. Следовательно, при –1 < a < 0 уравнение имеет два решения.
Если a = 0, то уравнение примет вид

при x ≥ 0. Оно имеет единственное решение x = 0. Следовательно, a = 0 — в ответ.
Если a > 0, то x = a — решение, а при x > a имеем:

Следовательно, в этом случае уравнение имеет единственное решение x = a, а все a > 0 — в ответ.
Ответ: a < –1 или a ≥ 0.

6. Найдите все действительные решения системы уравнений

Решение. Обозначим
a = x + y, b = y – z, c = x – z; тогда

и система переписывается в виде

Обозначив s = a² + b² + c², t = abc, получаем:

Отсюда получаем:

то есть s³ = 4((t – 5)² + (t + 13)² + (t + 40)²), и 

то есть
Следовательно, получаем:

Единственным корнем последнего уравнения является t = –4. Тогда находим

то есть s = 18, a = –1, b = 1, c = 4, откуда и следует ответ.
Ответ: (1; –2; –3).