Беседа с академиком И.М. Гельфандом. Интервью В. Ретаха и А. Сосинского
«Квант», 1989, № 1; http://kvant.mirror1.mccme.ru/1989/01
Беседа с академиком И.М. Гельфандом
Беседа с академиком Гельфандом планировалась как обычное интервью «Кванту». Мы заготовили вопросы, интересные, как нам казалось, и нашим читателям, и нашему собеседнику. Израиль Моисеевич, просмотрев список вопросов, отметил, что вопросы очень интересные, но он себя... не считает компетентным отвечать на них.
— Вы понимаете, я не считаю себя вправе навязывать свое мнение вашим молодым читателям. Давайте лучше я расскажу, как занимался математикой в том возрасте, который совпадает с возрастом большей части читателей «Кванта» — от 13 до 17 лет. Не уверен, что помню сейчас все задачи, которыми я занимался в это время, но те задачи, о которых расскажу, я запомнил очень хорошо.
Вот рассказ И.М. Гельфанда.
Один из романов Грэхема Грина называется «The loser takes all»
1. Моя математическая биография складывалась удивительно счастливо,
и много лет она была осуществлением этого высказывания. В чем мне повезло? Если коротко, то, во-первых, в том, что я не учился в университете (да и вообще ни в каком высшем учебном заведении), а во-вторых, в том, что в результате определенных жизненных трудностей, постигших мою семью,
я оказался в Москве без родителей, безработным, в шестнадцать с половиной лет.
Попробую пояснить смысл фразы «the loser takes all» с помощью рассказа другого английского писателя, Сомерсета Моэма. Главный герой рассказа, некий церковный служка, терпит неудачу: при аттестации церковного персонала выясняется, что он неграмотен, и его выгоняют с работы. Он начинает работать продавцом сигарет, затем выкупает табачный киоск, потом несколько других киосков... и делает блестящую коммерческую карьеру, становится самым богатым человеком своего города, его мэром. И вот у него берут интервью — как вы сейчас у меня — и он поясняет журналисту, что неграмотен. Потрясенный журналист восклицает: «А каких бы вы высот достигли, если бы были грамотным!» Немедленно следует ответ: «Я был бы церковным служкой».
Так вот я в феврале 1930 года, в 16 с половиной лет, приехав в Москву к дальним родственникам, был часто безработным, брался за любую временную работу, а больше сидел в Ленинской библиотеке и «добирал» те знания, которые недополучил в школе и в незаконченном профессионально-техническом училище. В библиотеке я познакомился со студентами университета и стал ходить на семинары. В 18 лет я уже преподавал, а в 19 попал в аспирантуру, и моя дальнейшая математическая биография шла обычным, регулярным образом, тут она вписывается в русло, привычное для математиков.
Но не об этой части жизни я хотел рассказать читателям «Кванта», а о предыдущей — о том, как я занимался математикой в возрасте от 13 до
17 лет. Я хочу об этом рассказать по двум причинам. Во-первых, по моему глубокому убеждению, у большинства будущих профессиональных математиков математическая одаренность проявляется именно в период от 13 до 16 лет
2, хотя, конечно, бывают и флуктуации, от более раннего развития до значительно более позднего (от 20 до 30 и даже 40 лет), которое наблюдалось у некоторых очень сильных математиков. Во-вторых, этот период сформировал мой способ занятия математикой. Предмет исследований, конечно, варьировался, но художественный образ математики, сложившийся в это время явился основой вкуса в выборе задач, привлекающих меня вплоть до сегодняшнего дня. Мне кажется, что без понимания этой мотивировки нельзя разобраться в кажущейся алогичности моих способов заниматься и выбора тем занятий. В свете же этой мотивировки они на самом деле сложились очень последовательно и логично.
Первое, что я помню, относится к 5–6-му классу. Я тогда понял, что есть задачи по геометрии, которые нельзя решить алгебраически. Я составил таблицу отношений длины хорды к длине дуги через каждые 5°. Лишь много позже я узнал, что бывают тригонометрические (не алгебраические!) функции и что в сущности я составил тогда тригонометрические таблицы.
Примерно в то же время я проработал задачник по элементарной алгебре. Курса алгебры у меня не было, теории я не знал, а приходилось решать порой непростые задачи, используя, например, (неизвестные мне) формулы сокращенного умножения. Если я не мог расшифровать, как решить данную задачу, я заглядывал в ответ, научился по постановкам задач и ответам восстанавливать методы их решения. В частности, я тогда понял и запомнил на всю жизнь, что новой областью можно овладеть, решая задачи, и никогда не зазорно посмотреть в ответ, поскольку, когда мы решаем какую-либо проблему, всегда имеется гипотеза об ответе. Занятия математикой вообще похожи на решение задач, в которых кое-что известно об ответе. Этим математическая работа и отличается от необходимой, конечно, тренировки по выполнению конкурсной работы для поступления в вуз.
В начале 6-го класса я обратил внимание на задачи по геометрии, в которых часто появлялся прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5, и даже со сторонами 5, 12, 13. Мне захотелось найти все прямоугольные треугольники с целыми сторонами, и я вывел общую формулу для их сторон, то есть нашел все Пифагоровы тройки. (Разумеется, я тогда не знал этого термина.) К сожалению, сейчас не помню, как я это сделал.
Занимался математикой я во время болезней и в каникулы. Я и теперь замечаю, как много успевают сделать сильные школьники, когда по болезни остаются дома. Своих сыновей я поэтому после болезней на несколько лишних дней оставлял дома.
Геометрию мы проходили по Киселеву, еще не испорченному последующими переработками. Некоторые теоремы давались в виде задач. Я достал общую тетрадь (в те годы это было не так-то легко), выписал на каждой странице условие теоремы и за лето заполнил доказательствами почти все страницы. Так я научился писать математические работы.
Я пропущу большой период. Отмечу только книгу по алгебре Давыдова с остроумными способами решения задач на максимум и минимум элементарными методами (то есть без применения дифференциального исчисления). Например, найти максимум ab, если a + b задано; найти прямоугольник максимальной площади при заданном периметре; найти максимум произведения неотрицательных чисел a1a2...an, если задана их сумма a1 + a2 + ... + an; из квадрата с заданной стороной вырезают квадратики, а из оставшейся части делают коробку; какого размера квадратики надо вырезать, чтобы объем коробки был максимален?
Большое впечатление на меня произвели комбинаторика и бином Ньютона, который я долго продумывал.
Жил я в маленьком городишке с единственной школой. Моим преподавателем математики был очень добрый, хотя с виду и суровый, человек по фамилии Титаренко. У него были большие запорожские усы. Лучшего учителя я не встречал, хотя я знал больше него, и он это понимал. Он очень любил и всячески ободрял меня. Ободрять — самое главное для учителя, не так ли?
Существенной была нехватка книг по математике. Я видел в объявлениях, что есть книги по высшей математике, и представлял высшую математику как нечто очень интересное. Родители мои не могли выписать эти книги — не было денег. Но тут мне опять повезло. В 15 лет меня повезли в Одессу оперировать аппендицит. Я заявил родителям, что не лягу в больницу, пока мне не купят книгу по высшей математике. Родители согласились и купили курс высшей математики Беляева для вузов на украинском языке. Денег, впрочем, хватило лишь на первую часть, с изложением дифференциального исчисления и аналитической геометрии на плоскости.
Мне повезло, что я начинал не с глубокого университетского курса. Это была очень элементарная книга. Об уровне книги Беляева можно судить по введению к ней. В нем, в частности, говорилось, что функции бывают трех видов: аналитические, заданные формулами; эмпирические, заданные таблицами; корреляционные. Что такое корреляционные функции — я узнал много лет спустя у студента, занимающегося теорией вероятности.
На третий день после операции я взял эту книгу и читал ее, перемежая это с чтением романов Э. Золя, дней девять (тогда после подобных операций лежали 12 дней). За это время я ее прочитал.
Из книги я усвоил две замечательные идеи. Во-первых, любая геометрическая задача на плоскости и в пространстве может быть записана формулами. Впрочем, я подозревал это и раньше. Я также узнал о существовании таких замечательных фигур, как, например, эллипс.
Вторая идея — она произвела переворот в моем мировоззрении — заключалась в том, что есть формула для вычисления синуса:
До этого я считал, что есть две математики — алгебраическая и геометрическая, и что геометрическая математика принципиально «трансцендентна» для алгебраической. Возьмите, например, формулу длины окружности — там есть «геометрическое» число π. Или, скажем, синус — он определяется чисто геометрически.
Когда я обнаружил, что синус можно записать алгебраически в виде ряда, барьер обрушился, математика стала единой. И по сей день я воспринимаю различные разделы математики вместе с математической физикой как единое целое.
Конечно, я убедился в том, что задачи на экстремум решаются автоматически, и хотя они теряют свое обаяние, у вас в руках мощный аппарат для их решения.
Изучая дифференциальное исчисление, я узнал, что бывает еще и интегральное исчисление, связанное с площадями и объемами. Но в чем оно состояло, мне не было известно: ведь у меня не было второго тома курса Беляева!
Тут я хочу вспомнить еще одну задачу. Когда мы следующей осенью проходили в школе объемы тел вращения, мой одноклассник, известный впоследствии математик Д.П. Мильман, обратил мое внимание на следующую задачу: найти объем тела, образованного вращением круга вокруг своей касательной. Для решения этой задачи я разбил круг на полоски и сосчитал сумму разностей объемов соответствующих цилиндров вращения. Тем самым я пришел к необходимости найти сумму
cos φ + cos 2φ + cos 3φ + ... + cos nφ. (*)
Дальнейшее, как всегда, было смесью изобретательности и глупости. Я прошел мимо элементарного решения с помощью обычной тригонометрии, но воспользовался формулой
eiφ = cos φ + i sin φ (эта формула называется формулой Эйлера, но я этого не знал)
3. Я получил эту формулу из глубоко поразивших меня рядов для синуса, косинуса и для ex. Далее осталось найти сумму геометрической прогрессии eiφ + e2iφ + ... и получить из нее сумму (*), что я и сделал.
На этой задаче я получил привычку обдумывать задачу и после ее решения. А именно: отодвинул окружность от прямой и понял, что при вращении получается тело, напоминающее резиновый круг, на котором сидел старый, страдающий геморроем, дедушка моего приятеля. Зная радиус окружности r и расстояние d от ее центра до прямой, я определил описанным ранее методом объем тела вращения — 2π2r2d — и поразился простоте этой формулы. Я записал ее в виде πr2ж2πd и понял, что если разрезать резиновый круг и вытянуть его в цилиндр со стороной, равной длине траектории, описываемой центром окружности, то объем у цилиндра будет тот же. Аналогичный факт имел место и для площади поверхности, и я понял, что это неспроста.
Что будет, если вращать вместо окружности другую фигуру, например, треугольник? В этом случае объем тела вращения совпадает с объемом призмы, в основании которой лежит треугольник, а высота равна длине траектории точки пересечения его медиан. Из курса физики я догматически знал, что эта точка есть центр тяжести треугольника. Посмотрев, что происходит при вращении отрезка, я понял, что центр окружности и есть ее центр тяжести.
Общее определение центра тяжести я нашел в невесть откуда взявшемся учебнике сопромата и тут же принялся не только вращать различные фигуры, но и переносить их вдоль различных кривых и вычислять объемы полученных тел и площади их поверхностей. Здесь уже важна была строгость рассуждения. Я очень гордился тем, что, зная объем шара и площадь его поверхности, смог найти центр тяжести полукруга и полуокружности.
В дальнейшем мне повезло. В наш город приехал чрезвычайно, по моему тогдашнему мнению, образованный человек. Он окончил физмат Одесского пединститута. Среди привезенных им книг оказались «Теория определителей» Кагана и «Курс физики» Хвольсона. Книга Кагана была полезной и обстоятельной. В ней была даже глава об определителях бесконечного порядка.
Я должен также отметить учебник для средней школы по биологии Филиппенко, биолога из школы Н.К. Кольцова. Это была очень хорошая книга и она, конечно, повлияла на мои занятия биологией через 15–20 лет.
Возвратимся к математике. Меня по-прежнему интересовали задачи о площадях и объемах.
Я начал с вычисления площади сегмента параболы. Эта задача сводится к вычислению суммы
12 + 22 + ... + n2, и я ее решил без труда.
Тогда мне захотелось найти площадь под параболой p-й степени, где p = 2, 3, 4, ..., то есть найти сумму
S0 = 1p + 2p + ... + np
при любом целом положительном p.
По аналогии с формулой
я решил, что S0 есть многочлен степени p + 1 от n. Я не заметил, что для нахождения площади параболы достаточно знать лишь первый коэффициент многочлена S0, и стал искать весь этот многочлен. Это оказалось очень интересно. Прежде всего, я еще обобщил задачу: обозначил f(x) = xp и стал искать сумму
S0 = f(1) + f(2) + ... + f(n).
Пусть F(x) — такая функция, что F'(x) = f(x). Из формулы Тейлора имеем:
.
Складывая эти равенства, я получил:
где S0 — интересующая меня сумма, а
S1 = f '(1) + f '(2) + ... + f '(n),
S2 = f "(1) + f "(2) + ... + f "(n),
. . . . . . . . . .
Тогда я записал систему
то есть бесконечную систему с бесконечным числом неизвестных S0, S1, S2, ... Я уже упомянул, что в книге Кагана были бесконечные определители, поэтому я смог воспользоваться «правилом Крамера» для нахождения S0:
Определитель в числителе этой «дроби» я разложил по первому столбцу, получив
S0 = B0(F(n + 1) – F(1)) + B1(f(n + 1) – f(1)) + B2(f '(n + 1) – f''(1)) + ..., (1)
где B0 = 1, B1, B2, ... — числовые определители бесконечного порядка. Полученное выражение называется формулой Эйлера–Маклорена, но я, конечно, об этом не знал. Чтобы его вычислить, нужно было найти коэффициенты B0, B1, B2, ...
Для этого я применил соображения, которые сегодня назвали бы «функториальными». Именно, пользуясь тем, что коэффициенты B0, B1, ... не зависят от f, я подобрал такую функцию f, чтобы левая часть системы образовала геометрическую прогрессию (которую я умел суммировать). Для этого подходит функция f(x) = eαx, подставляя которую в формулу (1), я получил (проделайте выкладки!)
то есть получил производящую функцию для нужных чисел B0, B1, B2, ... (они называются числами Бернулли, а многочлен S0 для f(x) = xp называется многочленом Бернулли).
Из этого периода я помню еще две задачи. Первая возникла из задачи в нашем задачнике по алгебре: выразить и через коэффициенты квадратного уравнения, корнями которого являются
. Естественным обобщением является задача: выразить суммы
и
где x1, ..., xn — корни уравнения
xn + a1xn – 1 + ... + an = 0, через его коэффициенты. Здесь мне помогла теорема Безу, которую я узнал из учебника Давыдова. Я пошел дальше и поставил себе более общую задачу: выразить сумму k-х степеней корней алгебраического уравнения n-й степени через коэффициенты этого уравнения. Я решил эту задачу (ответ называется формулой Ньютона).
Вторая задача, которую я тогда решал, возникла, когда я обнаружил, что число cos ix — вещественное, ибо
Я задумался над этим неожиданным фактом и доказал следующую общую теорему: всякая четная вещественная функция принимает вещественные значения на мнимой оси.
Чтобы это доказать, нужно было уточнить, что такое «функция». Я размышлял над тем, что называть функцией, и принял такое определение: функция — это сумма сходящегося бесконечного степенного ряда. После этого доказательство теоремы почти очевидно.
Эта задача, по-видимому, была последней, над которой я размышлял до своего приезда в Москву. Я ее решил летом 1929 года, а в следующие полгода, очень трудные для моей семьи и для меня, мне было не до математики.
Дальнейший период моих занятий в Москве, в отличие от описанного, не был «чистым экспериментом». В Москве я уже был подвержен многим самым разнообразным влияниям, и мое развитие не шло своим собственным путем. В этот период, как я уже говорил, я учился самостоятельно в Ленинской библиотеке, перебиваясь случайными заработками. Одно время даже был контролером в «Ленинке». Познакомился с университетскими студентами-математиками. Кто-то из них мне сказал, что мой интерес к выражениям вида
f(n + 1) – f(n) связан с целой наукой, называемой теорией конечных разностей, и подсказал мне, что нужно прочитать книгу Nörlund’а «Differenzenkalkül» на эту тему. Книга была на немецком языке, но с помощью словаря я ее осилил.
Стал ходить на университетские семинары, и тут оказался под тяжелым психологическим прессом. Я обнаружил, что мой стиль занятий математикой никуда не годится. В математике появились новые веяния — новые требования в отношении строгости доказательств, большой интерес к теории функций действительного переменного (ТФДП). (Замечу, что сегодня и этот уровень строгости, и ТФДП считаются старомодными и устарелыми, но тогда...)
Тогда я осознал, что очень важно, что функция не обязана быть непрерывной, что непрерывная функция не обязана быть дифференцируемой, что дифференцируемая функция не обязана быть дважды дифференцируемой и т.д.; что даже если у функции существуют производные всех порядков, то ее ряд Тейлора не обязан сходиться и что, даже если он сходится, его сумма не обязана совпадать со значением функции! Если это совпадение имеет место, то такая функция называется аналитической, и этот класс функций, утверждали приверженцы ТФДП, настолько узок, что находится за пределами главных интересов математики. А я только такие функции и рассматривал!
Под давлением этой точки зрения я прочитал «современный, строгий» учебник по анализу Валле Пуссена, похожий на те учебники, по которым сегодня учатся на мехмате МГУ, но лучший, чем они. Я поэтому с пониманием сочувствую первокурсникам мехмата, которых допускают к красотам математического анализа только после годового испытательного срока, испытания «строгим обоснованием» анализа.
Но и тут мне повезло. Я стал читать замечательный учебник И.И. Привалова по теории функций комплексного переменного. При этом я понял, почему для функции
ряд Тейлора расходится при x = 1, хотя она и имеет
непрерывный график (дело в том, что соответствующая комплексная функция имеет особенность при x = i). После первых 100 страниц я почувствовал, что на меня подул свежий ветер.
Я выяснил, что для комплексной функции наличие первой производной означает, что есть и производные всех порядков и ряд Тейлора сходится к значению функции (в некоторой области). Все встало на свои места, гармония оказалась восстановленной.
С разгона я прочитал книгу Гурвица и Куранта по теории эллиптических функций. Тут я опять попал впросак с модой — эта область тогда считалась устаревшей, о теории эллиптических функций отзывались примерно как о «слегка расширенной тригонометрии». Прошло много лет, прежде чем эта область вновь оказалась в центре внимания математиков.
В университете я ходил на семинары, которые мне очень много дали. Встречаясь с самыми разными математиками, я мог сопоставить свои романтические, устаревшие (то есть не идущие за модой) взгляды на математику с современным ее развитием. Я учился у многих замечательных математиков, стараюсь учиться и поныне.
Вскоре я прочитал, вернее, проштудировал замечательную книгу Гильберта и Куранта «Методы математической физики». Я тогда понял необходимость чтения основных работ. Важно при этом не жалеть времени на продумывание самых основ теории. К таким работам относится и работа Германа Вейля (1925 г.) о представлении классических групп. Но, к сожалению, у нас тогда не были доступны более старые основополагающие работы Кэли, Шура и других авторов «предгильбертовского» периода.
Многому я тогда научился у Л.Г. Шнирельмана, М.А. Лаврентьева, Л.А. Люстерника, И.Г. Петровского, А.И. Плесснера и очень многому —
у Андрея Николаевича Колмогорова. В частности, у него я научился тому, что в наше время настоящий математик должен быть натурфилософом.
Но мой рассказ стал превращаться в обычную научную биографию. Этот жанр обычно очень misleading
4. Настоящая научная биография — это просто набор работ ученого. Его же собственные впечатления о написанных им работах ничуть не более значимы, чем впечатления любых других читателей, поэтому мне пора кончить свой рассказ.
Интервью записали
В. Ретах и А. Сосинский
1 «Проигравший получает все» (анг.).
2 Более подробно об этом Израиль Моисеевич рассказал в интервью, опубликованном в «Известиях» 3 декабря 1987 года.
3 i — мнимая единица (i2 = –1); о комплексных числах можно прочитать, например, в «Кванте» (1983, № 2, с. 16).
4 Обманчив, создает неверные представления (англ.).