Десять задач на применение производной
«Квант», 1981, № 1, http://kvant.mirror1.mccme.ru/1981/01
Предлагаемые задачи адресованы десятиклассникам. Для их решения требуется понимание геометрического и физического смысла производной, а также умение судить о свойствах функций по ее графику.
М. ГЕЛЬФАНД, В. БЕРМАН
Десять задач на применение производной
Задача 1. На каждом из рисунков 1,а–и изображены графики зависимости от времени t координаты x(t) и скорости v(t) материальной точки, движущейся по квадратичному закону
x(t) = pt2 + qt + r
вдоль координатной прямой. Восемь из девяти графиков скорости неверные. Установите, какие именно. В чем состоят допущенные ошибки? Найдите правильный рисунок.
Указание. Воспользуйтесь тем, что
v(t) = x'(t) = 2pt + q,
поэтому графиком скорости является прямая, тангенс угла которой к оси t равен 2p. Точка
в которой эта прямая пересекает ось t, является точкой экстремума функции x(t).
Задача 2. На каждом из рисунков 2,а–д схематически изображены графики зависимости от времени координаты x(t) и ускорения a(t) материальной точки, движущейся вдоль координатной прямой по такому же закону, как и в задаче 1. Известно, что при построении некоторых графиков ускорения допущены ошибки. Установите, какие из рисунков правильные, а какие нет. В чем заключаются допущенные ошибки? Нарисуйте правильные графики.
Указание. Если x(t) = pt2 + qt + r, то a = v '(t) = 2p,
то есть графиком ускорения в данном случае является прямая, параллельная оси t и проходящая через точку (0; 2p).
Задача 3. На каждом из рисунков 3,а–в черным цветом изображен график зависимости от времени t
ускорения a(t) движущейся прямолинейно материальной точки. Ученик попытался, опираясь на этот график, построить один из возможных графиков скорости v(t) движения той же точки (линии серого цвета). Однако при этом он допустил ошибки. Помогите ученику найти допущенные им ошибки. Нарисуйте правильные графики скорости.
Указание. Воспользуйтесь признаком монотонности функции.
Задача 4. Через поперечное сечение проводника протекает заряд. График зависимости заряда q от времени представлен на рисунке 4,а. Используя этот график, ученик изобразил график силы тока I(t) в проводнике (рис. 4,б). Верен ли этот график?
Указание. По определению, I(t) = q'(t).
Задача 5. На рисунке 5 изображен график скорости тела, брошенного вертикально вверх с высоты 20 м, в первые 5 с движения. Используя данные, показанные на рисунке, постройте график зависимости от времени t высоты h(t) тела над Землей.
Указание. Как известно, тело, брошенное вертикально вверх, движется с постоянным ускорением
a = –g (мы принимает g = 10 м/с2) по квадратичному закону
h(t) = pt2 + qt + r.
Пользуясь графиком, найдите коэффициенты p, q и r, после чего постройте график функции h(t).
Задача 6. На рисунке 6 изображен график зависимости координаты материальной точки, движущейся по квадратичному закону вдоль координатной прямой, от времени t. Пользуясь данными, показанными на рисунке, определите значение скорости v точки в момент t = 2 с.
Указание. Воспользуйтесь тем, что v(t) = x '(t), а x '(t) — это угловой коэффициент касательной к графику функции x в точке t. Осталось найти tg α (см. рис. 6).
Можно поступить и иначе. Вначале определить параметры p, q и r уравнения
x(t) = pt2 +qt + r,выражающего зависимость координаты x от времени t, пользуясь тем, что парабола проходит через точки (0; 3) и
и тем, что абсцисса вершины этой параболы равна
Далее найдите x'(2).
Задача 7. Маховик, задерживаемый тормозом, за t секунд поворачивается на угол
φ = φ(t) радианов. Используя график функции ϕ (рис. 7), оцените угловую скорость ω вращения маховика в момент времени t = 3 с.
Указание. Поскольку ω = φ'(t), задача сводится к нахождению по данному графику функции ϕ значения ее производной в фиксированной точке (t = 3). Чтобы найти значение ω(3), постройте касательную к данному графику функции φ в точке с абсциссой 3 (сделать это можно «на глаз», прикладывая линейку к графику), а затем определите тангенс угла, образованного этой касательной с положительным направлением оси t.
Задача 8. На рисунке 8 изображен график скорости v = v(t) прямолинейно движущейся материальной точки. Можно ли, используя этот график, построить график ускорения
a = a(t) той же точки?
Указание. Так как a = v '(t), искомый график ускорения — это множество точек вида (t; v'(t)). Примите во внимание, что график скорости, изображенный на рисунке 8, — непрерывная кривая, имеющая касательную в каждой точке.
Задача 9. На рисунке 9 изображен график зависимости массы неоднородного стержня от его длины. Используя данный график, попробуйте определить линейную плотность стержня в точке l = 4 м.
Указание. Линейная плотность стержня τ в точке l0 — это, по определению, предел
Задача 10. На рисунке 10 изображен график скорости v прямолинейно движущейся точки. Пользуясь этим графиком, определите момент времени t, когда ускорение a этой точки равно 3 м/с2.
Указание. Постройте касательные к графику скорости с угловым коэффициентом, равным 3. Найдите абсциссы точек касания.