Функции и графики

Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Шноль Э.Э. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ. — М: МЦНМО, 2005.

§ 7. Многочлены
1. Что такое многочлен. Если взять несколько степенных функций, например,
f(x) = x², g(x) = x⁵, q(x) = x³,
помножить их на какие-нибудь коэффициенты, например,
3f(x) = 3x², –g(x) = –x⁵, 2,5q(x) = 2,5x³,
и сложить, то получится новая функция
R(x) = 3x² – x⁵ + 2,5x³.
Выражение 3x2 – x5 + 2,5x3, как вы знаете, называется многочленом. В общем виде многочлен записывается и обозначается так:
Q_n(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a1x + a0.
Функцию, задаваемую формулой вида
y = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0,
тоже называют многочленом.
Многочлены — очень важный класс функций. Это связано, прежде всего, с тем, что значения многочлена просто вычисляются: для этого над аргументом нужно произвести только операции двух видов, самых простых — сложение и умножение. Поэтому функция
y = Qn(x) имеет еще одно название — целая рациональная функция.
Формула, задающая целую рациональную функцию, не обязательно имеет форму многочлена. Например, при вычислении значений функции

над аргументом производятся только сложение и умножение (деление на число 2, а не на аргумент, не считается, так как его можно заменить умножением на ). Поэтому F(x) является целой рациональной функцией и, как и всякую такую функцию, ее можно представить в виде многочлена:

Функция G(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) — тоже целая рациональная, и ее тоже можно представить в виде многочлена: раскрыть скобки, привести подобные члены и расположить их в порядке убывания степеней.

Упражнения
7-1. Определите степени многочленов ¹, задающих следующие целые рациональные функции:
а) 155x2 – 3x; б) y = (x – 1)(x3 + 5x – 3);
в) (x – 1)(x3 + 5x – 3)5;
г) (x – 1)(x2 – 1)(x3 – 1)(x4 – 1)∙...∙(x100 – 1).
7-2. Чему равны свободные члены в многочленах а)–г)?
7-3. Чему равен член с x в первой степени в многочленах (x + 1)n?

2. О графиках многочленов. С графиками простейших многочленов вы уже встречались и умеете их строить. Так, график многочлена первой степени — линейной функции
y = kx + b — это прямая линия, многочлена второй степени
y = ax2 + bx + c — парабола. Знакомые вам графики многочленов высоких степеней для случая y = xn (то есть не многочленов, а одночленов) тоже по существу однотипны, вернее, «двутипны» — для четных n и для нечетных n.
А вот графики многочленов общего вида очень разнообразны и могут иметь самую причудливую форму. Например, графиком многочлена можно «нарисовать» горный пейзаж, или трех матрешек, или кошачьи ушки и даже силуэт здания Московского университета (рис. 7.1). Справедливо следующее утверждение.

Утверждение. Любая непрерывная кривая, имеющая на некотором промежутке a ≤ x ≤ b
с каждой из прямых, параллельных Oy, в точности одну общую точку, может быть приближенно задана как график функции y= Pn(x), где Pn(x) — многочлен.
Однако есть два ограничения, указывающие на то, каким не может быть график многочлена. Во-первых, график многочлена не может иметь «разрывов» ² — ни таких, как у графика (рис. 7.2,а), ни таких, как у графика   (рис. 7.2,б), ни даже таких, как на графике функции (рис. 7.2,в).

Во-вторых, у графика многочлена не может быть «углов» ³, таких, как у графика y = | x | (рис. 7.3,а) или графика (рис. 7.3,б).

Замечание. Конечно, эти ограничения относятся только к точным графикам, то есть к некоторой идеализации, которую невозможно реализовать. А «с точностью до ширины линии» и то, и другое возможно. Например, если мы попытаемся изобразить график
y = x¹⁰⁰⁰ от 0 до 1, то получим картинку как на рисунке 7.4, где около точки (1; 0)
придется нарисовать прямой угол. Однако если мы рассмотрим этот участок графика «под микроскопом», то вместо излома увидим закругление.

Итак, несмотря на разнообразие, все графики многочленов имеют важные общие свойства: каждый такой график можно начертить «одним росчерком пера» (то есть он является непрерывной кривой) и не поворачивая карандаша резко, сразу на какой-то угол (то есть кривая графика должна быть плавной).
Есть еще общее свойство у графиков многочленов: такой график не ограничен по вертикали, то есть он не может поместиться в горизонтальной «полоске» (в отличие, например, от графика   — см. рис. 1.5), даже если полоска будет очень широкой.

Все определит старший член: при n четном обе ветви идут сколь угодно высоко, если число an (коэффициент при xn) положительно, или сколь угодно низко, если an отрицательно. Другими словами, графики многочленов четных степеней при больших значениях переменной x похожи на график функции y = ax2. Если же n нечетно, то график
y = Qn(x) при больших x похож на график функции y = ax3; если an положительно, правая ветвь уйдет вверх, а левая — вниз, а если an отрицательно, то наоборот: правая — вниз, а левая — вверх.

3. Примеры.
Пример 1. График многочлена
Q3(x) = x³ + x² – x – 1
можно построить сложением графиков функций y = x3, y = x2 и y = –x – 1. Поступим иначе. Разложим многочлен Q3(x) на множители:
x3 + x2 – x – 1 = (x3 + x2) – (x + 1) =
x2(x + 1) – (x + 1) = (x + 1)(x2 – 1) = (x + 1)2(x – 1).
Многочлен Q3(x) обращается в нуль при x = –1 и при x = 1, значит, его график имеет с осью Ox две общие точки3. Понятно также, что график проходит через точку (0; –1) на оси Oy. Отметим эти три точки (рис. 7.5,а).

Знак многочлена (x + 1)2(x – 1) при заданном x определяется последним сомножителем: при
x > 1 многочлен Q3(x) положителен, а на промежутках –1 < x < 1 и x < –1 — отрицателен. Отметим это на рисунке 7.5,б.
Q₃(x) — многочлен нечетной степени, значит, левая его ветвь уходит вниз, а правая — вверх. Отметим и это на чертеже (рис. 7.5,б) и будем проводить непрерывную плавную линию графика.
График идет снизу («от минус бесконечности») вверх направо до точки (–1; 0). В этой точке графику придется плавно повернуть вниз в точке
(0; –1) («плавно» потому, что «углов» на графиках многочленов не бывает). Значит, в точке (–1; 0)
график не пересекает оси Ox, а касается ее.
Далее график идет вниз, пересекает ось ординат в точке (0; –1) и, опустившись еще немного ниже, поворачивает, пересекает ось Ox в точке (1; 0) и круто уходит вверх.
Общий вид графика — на рисунке 7.5,в.

Пример 2. Чтобы построить график многочлена P(x) = x4 – 4x3 – 4x2 + 16x, мы разложим многочлен P(x) на множители. Для этого сначала вынесем за скобку x:
P(x) = x(x3 – 4x2 – 4x + 16).
Выражение в скобках разложим, используя группировку:
(x3 – 4x2) – (4x – 16) = x2(x – 4) – 4(x – 4) =
= (x – 4)(x2 – 4) = (x – 4)(x – 2)(x + 2).
Теперь отметим на оси абсцисс нули функции P(x), то есть точки x = –2, x = 0, x = 2 и x = 4, и построим эскиз графика (рис. 7.6,а).
Замечание. Обратите внимание, что масштабы по осям координат на рисунке 7.6,а разные.
Полученный график не симметричен относительно оси Oy, так как функция P(x) не является четной. Однако на глаз представляется, что все-таки у этого графика есть ось симметрии, только не Oy, а прямая x = 1. Посмотрим, так ли это.
Сдвинем график y = P(x) на единицу влево, чтобы прямая x = 1 совместилась с осью Oy (см. рис. 7.6,б). Полученная кривая будет графиком функции y = P(x + 1). Чтобы получить формулу, задающую эту функцию, нужно в формулу для P(x) вместо x поставить x + 1. Воспользуемся представлением многочлена P(x) в виде произведения:
P(x) = (x + 2)x(x – 2)(x – 4).
Получим:
P(x + 1) = (x + 3)(x + 1)(x – 1)(x – 3) =
= (x2 – 9)(x2 – 1) = x4 – 10x2 + 9.
Мы видим, что многочлен P(x + 1) содержит только четные степени переменной x. Он является, тем самым, четной функцией, и его график симметричен относительно оси Oy.

Поэтому график P(x), получаемый из графика P(x + 1) сдвигом обратно, на единицу вправо, тоже будет симметричен, его осью симметрии будет прямая x = 1. Значит, наши глаза не обманули нас.
Многочлен x4 – 10x2 + 9 называется биквадратным трехчленом. Произвольный биквадратный трехчлен записывается в виде ax4 + bx2 + c. Нахождение его корней сводится, очевидно, к решению биквадратного уравнения az2 + bz + c = 0, где z = x2.

Пример 3. Построим график многочлена
f(x) = x4 + x3 – 6x2 – x + 2.
Представим эту функцию в виде суммы двух многочленов:
f₁(x) = x4 + x3 – 6x2 и f2(x) = –x + 2.
Многочлен x4 + x3 – 6x2 нетрудно разложить на множители. Вынесем за скобку x2, а выражение в скобках разложим, используя теорему Виета:
f₁(x) = x2(x2 + x – 6) = x2(x + 3)(x – 2).
Теперь ясно, что график f₁(x) = x2(x + 3)(x – 2) имеет с осью Ox три общие точки: x = –3, x = 0 и x = 2, причем при x = 0, где многочлен имеет двойной корень, график касается Ox, а на крайних интервалах, при x < –3 и при x > 2, ветви графика поднимаются вверх («к плюс бесконечности»). Отметим это на графике (рис. 7.7,а) и покажем схематически ход графика функции f1 штриховой линией.

Для уточнения вида графика найдем еще несколько значений функции
f₁(x) = x2(x + 3)(x – 2):
например,
f₁(–2) = –16, f₁(–1) = –6, f₁(1) = –4,
построим соответствующие точки и соединим их плавной кривой — рисунок 7.7,б. (Так как на участке от –2 ≤ x ≤ 2 значения функции, по сравнению с изменением аргумента, меняются довольно сильно, то на рисунке 7.7,б единица по оси Oy взята вчетверо меньшей, чем по оси Ox.)
Чтобы получить искомый график функции f(x) = x4 + x3 – 6x2 – x + 2, нужно график f₁ «сложить» с графиком f₂ (f₂(x) = –x + 2). Тогда нули функции f₁(x) «переедут» с оси Ox на прямую y = –x + 2. Полученная кривая при x = 0 будет касаться этой прямой. Общий вид графика — на рисунке 7.7,в.

Пример 4. Решим теперь несколько необычную задачу. В предыдущих примерах были заданы разные многочлены и мы строили их графики. Теперь же на рисунке 7.8 задан график некоторого многочлена. Требуется угадать, что это за многочлен.

Заметим, прежде всего, что степень искомого многочлена четная: при больших по абсолютной величине значениях x он принимает значения одного знака. Поскольку эти значения положительные, старший коэффициент (при наибольшей степени x) тоже положителен.
Далее ясно, что степень многочлена больше двух: график совсем не похож на параболу.
Попробуем подобрать многочлен четвертой степени. Здесь был бы удобен прием, которым мы пользовались в примере 2 из этого параграфа: разложение многочлена на линейные множители. Однако искомый многочлен P(x), судя по графику, имеет только два нуля (то есть уравнение P(x) = 0 имеет только два корня, поэтому P(x) на линейные множители не разлагается ⁴.
Поступим так: проведем горизонтальную прямую так, чтобы она пересекла график в максимально большем числе точек. На рисунке 7.8 прямая y = 2 пересекает график в точках с абсциссами 0, 1, 2 и 4. Теперь заметим, что если опустить график на 2 единицы, то все четыре точки окажутся на оси Ox (рис. 7.9). Значит, многочлен P₁(x) = P(x) – 2 можно искать в виде
P₁(x) = ax(x – 1)(x – 2)(x – 4).

Чтобы найти a, возьмем какое-то значение x, при котором P₁ не обращается в нуль. Например, x = 3. Получим: P₁(3) = –6a. Судя по нарисованному графику, значение P(3) равно нулю и, значит, P₁(3) = –2. Отсюда и предполагаемый многочлен четвертой степени можно записать в виде:

 

Чтобы проверить, дает ли эта формула разумное приближение для других точек графика, кроме уже использованных, нужны, конечно, дополнительные вычисления. Координаты нескольких таких контрольных точек, вычисленные по формуле (1), приведены в табличке. Все эти точки хорошо ложатся на заданный график, и найденную нами формулу можно считать вполне удовлетворительным ответом.
 

Упражнения

7-4. Постройте графики функций
y = x3 + 4x и y = x3 – 4x.
7-5. Постройте график многочлена y = x4 – 2x2 + 1 и график функции y = | x2 – 1 |. Сколько общих точек с осью Ox имеет каждый из этих графиков и какие именно? В чем различие этих двух графиков около этих точек?
Подсказка. Посмотрите п. 7 § 4.
7-6. Найдите точные координаты самых низких точек графика функции
y = x4 – 4x3 – 4x2 + 16x
(см. рис. 7.6,а). Указание. Используйте сдвиг по оси Ox (см. пример 3 выше) и замену u = x2.
7-7. По графику функции f(x) = x4 + x3 – 6x2 – x + 2
(рис. 7.6,в) видно, что многочлен x4 + x3 – 6x2 – x + 2
имеет четыре корня. Можно ли так изменить свободный член многочлена, чтобы уравнение
x4 + x3 – 6x2 – x + 2 = 0 имело три корня? два корня? один корень? не имело ни одного корня? имело 5 корней? В каждом случае утвердительного ответа нарисуйте эскиз графика.
7-8. Многочлен четвертой степени разложен на множители: Q4(x) = (x2 – 4x – 5)(x2 + px + q). Сколько корней может иметь уравнение (x2 – 4x – 5) ç
ç (x2 + px + q) = 0 в зависимости от значения параметров p и q? На каждый случай приведите пример и нарисуйте эскиз графика функции
y = Q4(x).
7-9. Докажите, что график многочлена x4 + 4x3 + 5x2 + 2 имеет ось симметрии.
Подсказка. Сдвиньте график на единицу вправо.
7-10. Докажите, что график многочлена y = x4 – 2x2 + 3x – 3 не имеет вертикальной оси симметрии.
7-11*. Найдите условие (или условия) того, что график многочлена четвертой степени
y = x4 + px3 + qx2 + rx + s имеет вертикальную ось симметрии.
7-12. Докажите, что никакая прямая y = kx + b
не может пересекать график многочлена четвертой степени более чем в четырех точках.

4. Симметрия графиков многочленов третьей степени. Вернемся к кубическим многочленам, с которыми мы уже встречались в предыдущем параграфе. Для графиков нечетных функций
y = ax3 и y = ax3 + bx начало координат является центром симметрии. Многочлены x3 + bx2 (при b, неравном нулю) не являются ни четными, ни нечетными. Но похоже, что их графики тоже имеют центр симметрии.
Мы теперь докажем, что этим свойством обладает график любого кубического многочлена.
В примере 3 пункта 3 мы решали похожую задачу про многочлен четвертой степени. Там заранее было понятно, что осью симметрии графика является прямая x = 1, и когда мы сдвинули график на единицу влево, в многочлене исчезли члены с x3 и x, «мешающие» функции быть четной.
Теперь мы не знаем, куда и насколько надо сдвинуть график функции y = x3 + px2 + qx + r, но нам ясна цель: надо «уничтожить» члены, мешающие нечетности, а именно, px2 и r. Со свободным членом r справиться легко, передвигая график параллельно оси Oy. Член px2 попробуем убрать, сдвигая график параллельно Ox.
Величину сдвига, которую мы не знаем, обозначим буквой h. Тогда уравнение сдвинутого графика получится заменой x на x – h:
f(x – h) = (x – h)3 + p(x – h)2 + q(x – h) + r.
Теперь надо подобрать число h, чтобы после раскрытия скобок член с x2 исчез. Начнем раскрывать скобки:
f(x – h) = (x – h)3 + p(x – h)2 + q(x – h) + r = x3 – 3hx2 + 3h2x – h3 + px2 + ...
Дальше раскрывать скобки не обязательно, так как члена с x2 там не будет.
Итак, получаем:
f(x – h) = x3 – (3h – p)x2 + ...
Теперь видно, что член с x2 исчезнет, если мы сдвинем график на h=p/3. Тогда уравнение сдвинутой кривой примет вид: y = x3 + q1x + r1. Остается сдвинуть график на –r1 параллельно оси Oy, и мы получим нечетную функцию y = x3 + q1x, график которой симметричен относительно начала координат O(0; 0).
Мы доказали, что двумя сдвигами параллельно координатным осям график любого кубического многочлена можно сделать симметричным относительно начала координат ⁵. А так как при сдвигах форма графика не меняется, то получается следующий вывод.

Утверждение. График любого многочлена третьей степени имеет центр симметрии.
Так что, изучив формы графика функции
y = x3 + qx, мы узнаем, какой вид может иметь график кубического многочлена общего вида.
Мы уже строили графики y = x3 + qx для q = 4 и q = –4 (см. упражнение 7-4) и получили две совершенно разные кривые. Могут ли быть еще какие-либо случаи?
Разложим многочлен x3 + qx на множители: x3 + qx = x(x2 + q). График y = x3 + qx проходит через начало координат — точку O(0; 0). Будут ли еще у графика точки, общие с осью Ox, зависит от того, будут ли корни, какие и сколько,
у уравнения x2 + q = 0.
Возможны три случая: q < 0, q = 0 и q > 0.
В первом случае это уравнение имеет два корня: и значит, график пересекает ось Ox еще в двух точках, симметричных относительно начала координат, и имеет вид, как на рисунке 7.10,а.
Во втором случае функция y = x3 + qx приобретает вид y = x3. График этой функции нам хорошо знаком — рисунок 7.10,б.
Наконец, если q > 0, то выражение x2 + q ни при каком значении x не может стать нулем. Значит, график y = x3 + qx пересекает ось Ox в единственной точке (в начале координат), функция монотонно растет и ее график выглядит, как на рисунке 7.10,в.

Упражнение
7-13. 1) Сдвиньте график y = x3 – 3x2 + 4x – 1 так, чтобы он стал симметричен относительно начала координат.
2) Найдите координаты центра симметрии графиков:
а) y = x3 – 3x2 + 4x – 1;
б) y = x3 + 3x2 + 2x – 2.
3) Какой вид имеют графики многочленов
y = x3 – 3x2 + 4x – 1 и y = x3 + 3x2 + 2x – 2?

---

¹ Напоминаем, что степенью многочлена называется наибольшая из степеней его членов.

² Мы взяли в кавычки слова, точный смысл которых определяется в курсах математического анализа. Здесь же нам будет достаточно наглядных представлений.

³ Почему бы не сказать «график пересекает ось Ox в двух точках»? Но, как вы сейчас увидите, такое утверждение было бы неправильным.

⁴ Если бы P(x) был равен произведению (x – a)(x – b)(x – c)(x – d), то он имел бы четыре корня: a, b, c и d.
⁵ Другими словами, заменами x на x – h и y на y + r₁ формулу, задающую функцию, можно привести к виду y = x3 + qx.

Гельфанд И., Глаголева Е. , Шноль Э.