Тригонометрия.
Гельфанд И., Львовский С., Тоом А. ТРИГОНОМЕТРИЯ. — М.: МЦНМО, 2008.
§ 24. Как решать
тригонометрические уравнения*
Повторить:
§ 10. Простейшие тригонометрические уравнения.
§ 19. Тригонометрические формулы сложения.
§ 20. Формула вспомогательного угла.
§ 21. Двойные, тройные и половинные углы.
§ 22. Преобразование произведения в сумму и суммы в произведение.
С точки зрения поступающего в вуз, важным применением тригонометрии является ее использование в задачах вступительного экзамена. Кроме хорошего знания тригонометрии как таковой, для успешного решения экзаменационных задач необходимо освоить несколько стандартных приемов. Изучению этих приемов и посвящена настоящая глава.
Предполагая, что вы уже умеете решать простейшие тригонометрические уравнения наподобие cos x = 0 или
пойдем дальше.
В простых случаях тригонометрические уравнение можно почти сразу свести заменой переменной к алгебраическому.
Пример 24.1. 
Решение. Если бы в правой части не было
можно было бы сразу же обозначать
новой буквой. В данном же случае придется предварительно выразить в правой части
через
Заменим
Обозначая 
через t, получаем, после упрощения, 2t2 – 7t + 3 = 0. Корни этого уравнения:
так что
или
Первое из этих уравнений не имеет решений, так как
решая второе, получаем:
откуда x = ±π + 6πk (k ∈ Z).
Ответ: ±π + 6πk (k ∈ Z).
Вот еще пример, когда уравнение сводится к простейшим с помощью разложения левой части на множители.
Пример 24.2.
Решение. Заменим sin 2x по формуле двойного угла и перенесем все в левую часть:
откуда
то есть 
или sin x = –2. Решениями первого уравнения будут числа
второе уравнение решений не имеет, так как sin x ≥ –1.
Ответ: 
Теперь перейдем к более специфическим приемам.
Часто решение тригонометрического уравнения находится, если воспользоваться формулой для косинуса двойного угла в одном из следующих вариантов:
cos 2α = 2cos2 α – 1;
cos 2α = 1 – 2sin2 α.
Пример 24.3.
Решение. Так как
то, обозначая
через t, получаем уравнение
2t + 1 – 2t2 + 2 = 0 ⇔ 2t2 – 2t – 3 = 0.
Корни этого уравнения равны
так что наше уравнение равносильно совокупности уравнений
Первое из этих уравнений не имеет решений, так как
из второго имеем
(n ∈ Z), откуда следует ответ.
Ответ: 
Задача 24.1. Решите уравнение:
а) cos 2x – 5sin x – 3 = 0;
б) 
Некоторые уравнения рассчитаны на то, что их будут решать с помощью формул синуса и косинуса тройного угла:
cos 3α = 4cos3 α – 3cos α;
sin 3α = 3sin α – 4sin3 α.
Задача 24.2. Решите уравнение:
а) cos 3x – 18cos x + 10 = 0;
б) 5sin x = sin 3x;
в) 8cos 6x cos 3x – cos 9x – cos 3x = 0.
Следующий тип тригонометрических уравнений, с которыми нам надо познакомиться, — это однородные тригонометрические уравнения. Вообще, однородным уравнением от двух неизвестных u и v называют уравнение
a0un + a1un – 1v + a2un – 2v2 + ... + anvn = 0, (*)
в котором во всех слагаемых сумма степеней при u и v одна и та же (она называется степенью однородного уравнения). Однородным тригонометрическим уравнением называется уравнение, которое получится из (*), если вместо u и v подставить синус и косинус одного и того же выражения. Вот пример однородного тригонометрического уравнения степени 2.
Пример 24.4. sin2 x – 4sin x cos x + 3cos2 x = 0.
Решение. Поделим обе части уравнения на cos x. Чтобы это действие было законным, надо убедиться, что выражение, на которое мы делим, не может обращаться в нуль для тех x, которые являются корнями уравнения. В самом деле, если cos2 x = 0, то cos x = 0; в нашем уравнении второе и третье слагаемые обратятся в нуль, а потому и первое слагаемое обращается в нуль: sin2 x = 0. Однако cos2 x и sin2 x не могут одновременно равняться нулю, так что деление на cos2 x законно. Поделив, после очевидных упрощений получим:
tg2 x – 4tg x + 3 = 0. Обозначая tg x = t, получаем квадратное уравнение, из которого находим t,
а затем и сам x.
Ответ:
Рассуждение, оправдывающее законность деления на cos2 x, проходит всегда, если только в уравнении присутствует слагаемое с sin2 x. В противном случае делить на cos2 x нельзя, но в этом и нет необходимости, так как можно сразу вынести cos x за скобку.
Пример 24.5. 3sin x cos x + 2cos2 x = 0.
Решение. Переписав уравнение в виде cos x (3sin x + 2cos x) = 0, получаем, что оно равносильно совокупности уравнений:
Решениями уравнения (1) являются
k ∈ Z; для решения уравнения (2) поделим обе части на cos x (на сей раз это можно, так как если cos x = 0, то из (2) вытекало бы, что sin x = 0,
а sin x и cos x не могут одновременно равняться нулю) и получим 3tg x + 2 = 0, откуда
и
Ответ: 
Кстати, уравнение (2), которое мы решили по ходу дела, тоже однородное уравнение относительно sin x и cos x, только первой степени.
Наряду с уравнениями, которые сразу записаны в виде однородных относительно синуса и косинуса, существуют и уравнения, которые можно свести к однородным с помощью следующего приема.
Если в каждой из частей тригонометрического уравнения стоит сумма выражений вида sin2 x, cos2 x, sin x cos x, sin 2x, cos 2x (возможно,
с какими-то коэффициентами) и свободных членов, то это уравнение сведется к однородному, если всюду заменить sin 2x на 2sin x cos x, cos 2x на cos2 x – sin2 x, а каждый свободный член a заменить на a(cos2 x + sin2 x).
Пример 24.6.
Решение. Заметим, что
С учетом этого уравнение запишется так:
или, после упрощений:
Получилось однородное уравнение относительно
Дальнейшее ясно.
Ответ: 
С помощью описанного приема можно решать и уравнения вида asin x + bcos x = c, которые мы решали в § 20 с помощью формулы вспомогательного угла: надо только заменить:
Задача 24.3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению 10x2 – 13xy + 3y2 = 0.
Задача 24.4. Решите уравнение
10x4 – 7x2(x2 + x + 1) + (x + x + 1)2 = 0.
Задача 24.5. Решите уравнение:
а) 7sin2 x – 5sin x cos x – cos2 x = 0;
б) sin2 x + 3sin x cos x + 2cos2 x = 1;
в) sin x – cos x = 1;
г) 4sin3 x – 5sin2 x cos x + sin x = cos3 x;
д) 2sin3 x + sin 3x + 3sin2 x cos x + cos3 x = 0;
е) 3(cos x – sin x) = 1 + cos 2x – sin 2x.
Задача 24.6. При каких значениях a уравнение
имеет решение?
Ключ ко многим уравнениям — это преобразование суммы в произведение и произведения в сумму.
Разберем два примера.
Пример 24.7. sin 3x = cos 5x.
Решение. Преобразуем cos 5x по формуле приведения и перенесем его в левую часть. Тогда получим уравнение
Преобразуем в произведение:
откуда
Решая первое уравнение, получаем
откуда
Решая второе уравнение, получаем
откуда
Ответ: 
Пример 24.8. sin 2x sin 6x = cos x cos 3x.
Решение. Преобразуем обе части следующим образом:
cos 4x – cos 8x = cos 4x + cos 2x,
cos 2x + cos 8x = 0, 2cos 5x cos 3x = 0,
откуда
cos 5x = 0 или cos 3x = 0.
Дальнейшее ясно.
Ответ: 
Задача 24.7. Решите уравнение:
а) cos 3x = cos 5x;
б) sin x sin 3x + sin 4x sin 8x = 0;
в) sin 3x – sin 7x = 3sin 2x;
г) cos 5x + cos 6x + cos 7x = 0;
д) cos 9x – cos 7x + cos 3x – cos x = 0;
е) 
Некоторые уравнения легко решаются с помощью формулы вспомогательного угла (§ 20).
В дополнение к сказанному в § 20 об этой формуле заметим, что на практике при преобразовании выражений вида
asin x + bcos x с конкретными a и b не обязательно пользоваться именно формулой синуса суммы: можно воспользоваться любой другой формулой сложения.
Пример 24.9.
Решение. Преобразуем левую часть так:
Стало быть, уравнение принимает вид
откуда 
Дальнейшее ясно.
Ответ: 
Можно было бы решить это уравнение и по-другому, сведя его к однородному относительно
Задача 24.8. Решите уравнение:
В некоторых уравнениях решающим переходом является использование формул понижения степени:
Пример 24.10. cos 4x + 2cos2 x = 2.
Решение. Преобразуем уравнение так:
cos 4x + 1 + cos 2x = 2,
cos (2∙2x) + 1 + cos 2x = 2, 2cos2 2x + cos 2x – 2 = 0.
Дальнейшее ясно.
Ответ: 
В связи с формулами понижения степени находится еще один частный, но поучительный прием решения тригонометрических уравнений.
Пример 24.11. sin x + cos x = sin 2x.
Решение. Пусть sin x + cos x = t. Тогда
t2 = (sin x + cos x)2 = sin2 x + cos2 x + 2sin x cos x
= 1 + sin 2x,
откуда sin 2x = t2 – 1. Стало быть, уравнение принимает вид t = t2 – 1, откуда
и уравнение сводится к совокупности двух уравнений:
Эти уравнения можно далее решать известными вам способами (удобнее всего — с помощью формулы вспомогательного угла).
Неопытные люди часто решают это уравнение так: возводят обе части в квадрат, получают, после упрощений, уравнение
1 + sin 2x = sin2 2x, (*)
после чего обозначают sin 2x = y и действуют далее обычным образом. В полученном ответе, однако, будут посторонние решения. Дело в том, что уравнение
sin x + cos x = –sin 2x (**)
после возведения в квадрат тоже дает уравнение (*)! Значит, решая (*), мы находим не только то, что нам нужно, но и корни «постороннего» уравнения (**). Именно так и появляются «посторонние корни» при возведении уравнений (необязательно тригонометрических) в квадрат. В принципе, посторонние корни можно отсеять (либо непосредственной подстановкой в исходное уравнение, либо оставив только те из них, при которых обе части возводимого в квадрат уравнения имеют один знак), но в данном случае провести такой отсев было бы непросто.
Задача 24.9. Решите уравнение:
До сих пор мы избегали уравнений, в которых участвуют тангенс или котангенс или же что-то стоит в знаменателе, теперь дошла очередь и до них. Основной новый момент — необходимость следить за областью определения.
Напомним, что выражение tg x имеет смысл тогда и только тогда, когда
ни для какого n ∈ Z (иными словами, когда cos x ≠ 0). Аналогично, выражение ctg x имеет смысл тогда и только тогда, когда x ≠ πn, n ∈ Z (иными словами, когда sin x ≠ 0). Лучше всего в самом начале решения уравнения выписать все необходимые ограничения (если в уравнении присутствует tg 2x, надо написать, что
если какое-то выражение стоит в знаменателе, надо записать, что оно неравно 0, причем необязательно сразу же «расшифровывать» это ограничение, выясняя, чему именно не может равняться x; ведь для этого может потребоваться решить еще одно уравнение!). В конце решения надо проверить найденные значения неизвестных на вхождение в область определения. Часто это бывает совсем просто. Например, если мы свели уравнение в конечном счете к простейшему уравнению
а выписанные нами ограничения имеют вид cos x + 1 ≠ 0, то ясно, что все наши x этому ограничению удовлетворяют. Или, допустим, уравнение свелось к совокупности уравнений
в то время как ограничение было
что проистекает из условия «tg 2x имеет смысл»; тогда опять-таки все найденные нами x подходят: уж если мы знаем, чему равен tg 2x, то заведомо tg 2x имеет смысл. Бывают и случаи, когда так просто с проверкой не обойдешься; о них речь пойдет в следующем параграфе.
Пример 24.12. (cos x + 1) ctg x = sin 2x.
Решение. Выпишем область определения:
x ≠ πk (k ∈ Z). Теперь перепишем уравнение, согласно определению котангенса:
Избавимся от знаменателя и преобразуем:
(cos x + 1) cos x = sin 2x sin x,
(cos x + 1) cos x = 2sin2 x cos x,
(cos x + 1) cos x = 2(1 – cos2 x) cos x.
Получилось алгебраическое уравнение относительно cos x; решая его, получаем:
Решения первого уравнения имеют вид
(n ∈ Z); все эти x входят в область определения, так как для них sin x ≠ 0. Решения уравнения cos x = –1 в область определения не входят, так как если cos x = –1, то sin x = 0.
Наконец, решения уравнения
имеют вид
они в область определения входят (если
).
Ответ: 
Задача 24.10. Решите уравнение:
Еще одна неприятность, связанная с областью определения, возникает при применении тригонометрических тождеств, левая или правая части которых определены не при всех значениях переменных. Если мы заменяем выражение на тождественно равное ему, но с меньшей областью определения, то те значения переменной, при которых определена левая часть тождества, но не определена его правая часть, из рассмотрения выпадают, и, даже если какие-то из них являются корнями исходного уравнения, в ответ они заведомо не войдут. Поэтому при каждой такой замене те значения неизвестного, что выпадают из рассмотрения, надо немедленно проверить (например, подстановкой в исходное уравнение).
Пример 24.13. Уравнение 3sin x – 2cos x = 2 Решим с помощью «формул универсальной подстановки» (выражающих sin x и cos x через
).
Согласно этим формулам
Левые части этих тождеств определены при всех x, а правые — при всех x, кроме тех, для которых
Поэтому эти значения x надо проверить подстановкой в исходное уравнение. Если
подставляя в уравнение, убеждаемся, что эти x являются корнями. Теперь обозначим
и заменим в уравнении sin x и cos x по формулам (*). Получим:
Решая это уравнение, находим:
Собирая найденные значения x, получаем ответ.
Ответ:
Если бы мы забыли проверить те значения x, при которых
не имеет смысла, то первая из двух серий решений была бы потеряна.
Задача 24.11. Рассмотрим следующие тригонометрические тождества:
Разбейте их на такие группы:
1) тождества, у которых области определения левой и правой частей совпадают;
2) тождества, у которых область определения правой части шире, чем область определения левой части;
3) тождества, у которых область определения правой части уже, чем область определения левой части.
Задача 24.12. Уравнение 3sin x – 2cos x = 2, разобранное в предыдущем примере, решите двумя другими способами: с помощью формулы вспомогательного угла и с помощью сведения к уравнению, однородному относительно
и
Задача 24.13. Решите уравнение:
а) 8 cos x + 6sin x – cos 2x – 7 = 0;
б) 5sin 2x – 5cos 2x = tg x – 5;
в) 
г) 
В заключение параграфа приведем один пример решения системы тригонометрических уравнений, который должен предостеречь вас от типичной ошибки.
Пример 24.14. Решите систему уравнений
Решение. Эта система, очевидно, равносильна следующей:
Складывая и вычитая уравнения, находим:
Теперь записываем ответ.
Ответ:
Типичная ошибка при решении этой и подобных систем — обозначить «любое целое число» в двух уравнениях одной и той же буквой:
после этого в качестве решений системы получатся пары
Все они решениями действительно являются, но, кроме них, есть еще много других, скажем
Чтобы cos (x + y) равнялся 1, а cos (x – y) равнялся –1, вполне достаточно, чтобы равенства
x + y = 2πk и x – y = π + 2πn
выполнялись при разных k и n.
Задача 24.14. Изобразите на плоскости множество точек, координаты (x; y) которых удовлетворяют следующим условиям:
а) системе уравнений из примера 24.14;
б) cos x cos y= 0;
в) 
г) cos x + cos y = 0.
Задача 24.15. Решите систему уравнений:
* Параграфы 24 и 25 взяты из главы «Тригонометрия для абитуриентов».
§ 25. Отбор чисел на тригонометрическом круге
Повторить:
§ 6. Определение тригонометрических функций.
§ 10. Простейшие тригонометрические уравнения.
В уравнениях, встречавшихся нам до сих пор, при отборе корней получалось так, что при проверке в ответ включалась или же отбрасывалась вся серия целиком. В этом параграфе мы расскажем, что делать в более сложных случаях, когда часть серии в ответ входит, в часть — нет.
Пример 25.1. 
Решение. Это уравнение, очевидно, равносильно системе
или 
Итак, нам нужно из множества всех x, представимых в виде
где k — некоторое целое число, выкинуть посторонние корни — те, что представимы в виде
где n — какое-то целое число. Для этого нанесем на тригонометрический круг все числа вида
где k ∈ Z (рис. 25.1,а).
При этом получится 6 точек, обозначенных на рисунке 25.1,а. Эти точки появляются, если взять любые 6 последовательных значений n, при остальных n точки будут повторяться. Более того, ясно, что всякое число, которому соответствует одна из отмеченных на рисунке 25.1,а точек, имеет вид
для некоторого целого k.
Если нанести на этот рисунок еще и точки, соответствующие числам вида
то у нас получится рисунок 25.1,б (точки, соответствующие числам
отмечены белыми кружками). Ответом к нашему уравнению будут числа, представимые в виде
и при этом не представимые в виде
Иными словами, решения уравнения — числа, которым соответствуют черные кружки, не совпадающие с белыми. Обращаясь к рисунку 25.1,б, видим, что таких кружков ровно четыре, и каждому из них соответствует бесконечная серия значений x:
Можно также объединить первую серию с третьей, а вторую — с четвертой. Тогда ответ запишется так:
Мы не случайно при записи системы
использовали две разные буквы для обозначения «произвольного целого числа»: ведь если
где k ≠ n, то x — все равно посторонний корень. Например, так будет при k = 4 и n = 3 (получается посторонний корень
).
Пример 25.2. 
Решение. Это уравнение равносильно системе
Попробуем действовать так же, как и в предыдущем примере: нанесем на тригонометрический круг черные точки — числа вида π + 2πk и белые точки — числа вида 3πn. То, что получится, изображено на рисунке 25.2.
На основании этого рисунка надо, казалось бы, сделать вывод, что решений у уравнения нет: ведь на рисунке нет черных точек, не совпадающих с белыми. Тем не менее легко видеть, что, скажем, число x = π будет решением уравнения. Где же мы ошиблись? Дело в том, что изображение чисел вида 3πn, где n ∈ Z, на тригонометрическом круг неадекватно: верно, что все такие числа изображаются одной из белых точек на рисунке 25.2, но неверно, что все числа, соответствующие белым точкам, имеют вид 3πn с целым n; белым точкам на рисунке 25.2 соответствуют и числа π, 2π, 4π, 5π и т.д.
Вообще, изображение множества чисел на тригонометрическом круге будет адекватно, только если это множество «имеет период 2π»: вместе с каждым числом x содержит числа x – 2π и x + 2π. В частности, будет иметь период 2π множество решений уравнения, обе части которого имеют период 2π как функции от x.
Доведем до конца решение уравнения
Все, что нам нужно, — выяснить, для каких целых чисел k число x = π + 2πk окажется посторонним корнем. Это будет тогда, когда найдется такое число n ∈ Z, что π + 2πk = 3πn. Сокращая в этом равенстве на π, получаем вопрос, к которому все сводится: для каких
k ∈ Z существует такое n ∈ Z, что 1 + 2k = 3n?
Чтобы ответить на этот вопрос, выразим k через
выделим из этой дроби «целую часть»:
Так как k и n — целые числа, то 
— тоже некоторое целое число. Значит,
(m ∈ Z). Подставляя в (*), получаем k = 3m + 1 (m ∈ Z). Итак, мы получили ответ на наш вопрос: посторонние корни получаются при k = 3m + 1, m ∈ Z. Нас же интересуют как раз все остальные k.
Ясно, что сказать «k ≠ 3m + 1, m ∈ Z» — все равно, что сказать «число k при делении на 3 дает остаток, не равный 1». Однако кроме единицы при делении на 3 возможны только остатки 0 или 2. Так что можно еще сказать, что для числа x = π + 2πk, являющегося корнем, число k дает при делении на 3 остаток 0 или 2, или, иными словами,
k = 3m или
k = 3m + 2, m ∈ Z. Подставляя это выражение для k,
получаем окончательный ответ: x = π + 6πm или
x = 5π + 6πm.
Прием, позволивший нам выделить «плохие» значения k, срабатывает всегда; как им пользоваться в общем случае, рассказано в приложении к этому параграфу.
Заметим еще, что и для уравнения
можно было бы обойтись изображением чисел на круге. Для этого надо было бы сделать замену переменной x = 6t. После этого уравнение принимает вид
Левая часть этого уравнения уже имеет период 2π как функция от t, так что его можно решать, отбирая числа на круге. Найдя t, остается найти x = 6t.
Задача 25.1. Решите уравнение:
Задача 25.2. Решите уравнение:
а) sin 3x + cos 4x = 2;
б) sin 3x – cos 2x = 2;
в) sin 4x + | sin 5x | = 2;
г) sin3 5x + sin4 7x = 2;
д) 
Указание. а) При всех x верны неравенства
sin 3x ≤ 1, cos 4x ≤ 1. Складывая их, получаем, что sin 3x + cos 4x ≤ 2, причем равенство достигается только в случае, когда оба слагаемых одновременно равны 1.
Задача 25.3. Решите уравнение:
а) sin 6x cos 8x = 1; б) cos 4x cos 5x = 1;
в) cos 8x cos 3x = –1;
г) 
д) 
Указание. а) При всех x верны неравенства | sin 6x | ≤ 1, | cos 8x | ≤ 1. Следовательно, sin 6x cos 8x = 1 тогда и только тогда, когда оба сомножителя одновременно равны 1 или –1.