Метод координат
Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Кириллов А.А. МЕТОД КООРДИНАТ. — М: МЦНМО, 2009.
§ 17. Вступление*
10. Немного общих рассуждений
Алгебра и геометрия, которые сейчас большинство школьников воспринимают как совершенно разные науки, на самом деле очень близки. С помощью метода координат можно было бы изложить весь школьный курс геометрии без единого чертежа, используя только числа и алгебраические операции. Курс планиметрии начинался бы словами: «Назовем точкой пару чисел (x; y)...» Далее можно было бы определить окружность как совокупность точек, удовлетворяющих уравнению вида
(x – a)2 + (y – b)2 = R2.
Прямой линией называлась бы совокупность точек, удовлетворяющих уравнению Ax + By + C = 0. Многие другие фигуры можно было бы также охарактеризовать системами уравнений и неравенств. Все геометрические теоремы превратились бы при этом в некоторые алгебраические соотношения.
Установление связи между алгеброй, с одной стороны, и геометрией, с другой, было, по существу, революцией в математике. Оно восстановило математику как единую науку, в которой нет «китайской стены» между отдельными ее частями. Создателем метода координат считают французского философа и математика Рене Декарта (1596–1650). В последней части большого философского трактата Декарта, вышедшего в 1637 году, давались описания метода координат и его применения к решению геометрических задач. Развитие идей Декарта привело к возникновению особой ветви математики, которую теперь называют аналитической геометрией.
Само это название выражает основную идею теории. Аналитическая геометрия — это та часть математики, которая решает геометрические задачи аналитическими (то есть алгебраическими) средствами. Хотя аналитическая геометрия является сейчас уже вполне развившимся и законченным разделом математики, идеи, лежащие в ее основе, породили новые отрасли математики. Возникла и развивается алгебраическая геометрия, которая изучает свойства линий и поверхностей, заданных алгебраическими уравнениями. Эту часть математики никак нельзя считать законченной. Как раз в последние годы в ней получены новые фундаментальные результаты, оказавшие большое влияние и на другие разделы математики.
20. Геометрия помогает считать
При решении геометрических задач на первый план выступает одна сторона метода координат — аналитическое истолкование геометрических понятий, перевод геометрических образов и соотношений на язык чисел. Однако другая сторона метода координат — геометрическая интерпретация чисел и числовых соотношений — играет не менее важную роль. Знаменитый математик Герман Минковский (1864–1909) использовал геометрический подход для решения уравнений в целых числах, и математики его времени были поражены тем, насколько простыми и ясными оказались при этом некоторые, казавшиеся ранее очень трудными, вопросы теории чисел.
Разберем один пример, показывающий, как геометрия помогает решать алгебраические задачи.
Задача 17-I. Рассмотрим неравенство
x2 + y2 ≤ n,
где n — некоторое целое неотрицательное число. Спрашивается: сколько решений в целых числах имеет это неравенство?
Решение. Для небольших значений n на этот вопрос легко ответить. Например, при n = 0 есть только одно решение: x = 0, y = 0. При n = 1 к этому решению прибавляются еще четыре:
x = 0, y = 1; x = 1, y = 0; x = 0,
y = –1; x = –1, y = 0.
Значит, при n = 1 всего будет пять решений.
При n = 2, кроме уже перечисленных, имеется еще четыре решения:
x
= 1, y = 1; x = –1, y = 1;
x = 1, y = –1; x = –1, y = –1.
Всего при n = 2 имеется 9 решений. Продолжая таким образом, мы можем составить таблицу.
| n | N |  |
| 0 | 1 | – |
| 1 | 5 | 5 |
| 2 | 9 | 4,5 |
| 3 | 9 | 3 |
| 4 | 13 | 3,25 |
| 5 | 21 | 4,2 |
| 10 | 37 | 3,7 |
| 20 | 69 | 3,45 |
| 50 | 161 | 3,22 |
| 100 | 317 | 3,17 |
Мы видим, что число решений N растет с возрастанием n, но угадать точный закон изменения N довольно трудно. Можно предположить, глядя на правую колонку, что отношение
с возрастанием n стремится к некоторому числу.
С помощью геометрической интерпретации мы сейчас покажем, что это действительно так и что отношение
стремится к известному числу
π = 3,141592...
Будем рассматривать пару чисел (x; y) как точку на плоскости (с абсциссой x и ординатой y).
Неравенство x2 + y2 ≤ n означает, что точка (x; y) принадлежит кругу Kn радиуса
с центром в начале координат (рис. 17.1, на котором взято
n = 31). Таким образом, наше неравенство имеет столько решений в целых числах, сколько точек с целыми координатами попадает внутрь круга Kn или на его границу.
Геометрически видно, что точки с целыми координатами «равномерно распределены» на плоскости и что на единицу площади приходится одна точка. Поэтому ясно, что число решений должно быть примерно равно площади круга. Таким образом, мы получаем приближенную формулу:
N ≈ πn.
Приведем краткое доказательство этой формулы. Разобьем плоскость на единичные квадратики прямыми, параллельными осям координат так, чтобы целочисленные точки были вершинами этих квадратиков. Пусть внутри круга Kn оказалось N целочисленных точек. Каждой из этих точек поставим в соответствие единичный квадратик, для которого она служит правой верхней вершиной. Фигуру, образованную этими квадратиками, обозначим через An (рис. 17.2). Очевидно, что площадь фигуры An равна N (то есть числу квадратиков, составляющих эту фигуру).
Сравним площадь этой фигуры с площадью круга Kn. Вместе с кругом Kn рассмотрим еще два круга с центрами в начале координат: круг
радиуса
и круг
радиуса
Фигура An целиком лежит в круге
и содержит внутри себя круг
(Докажите это самостоятельно, используя теорему о том, что в треугольнике сторона меньше суммы двух других сторон.) Поэтому площадь фигуры An (а значит, и N) больше площади
и меньше площади
то есть
Отсюда получаем нашу приближенную формулу N ≈ πn вместе с оценкой ее погрешности:
Из формулы видно, что с увеличением n абсолютная погрешность возрастает. Но относительная погрешность, равная
с ростом n стремится к нулю.
Теперь поставим аналогичную задачу для трех неизвестных: сколько целочисленных решений имеет неравенство
x2 + y2 + z2 ≤ n?
Ответ получается очень быстро, если опять использовать геометрическую интерпретацию. Число решений задачи приблизительно равно объему шара радиуса
то есть
Получить такой результат чисто алгебраически было бы трудно.
30. Нужно вводить четырехмерное пространство
Но как быть, если нам потребуется найти число целочисленных решений неравенства
x2 + y2 + z2 + t2 ≤ n,
в котором четыре неизвестных? При решении этой задачи для двух и трех неизвестных мы использовали геометрическую интерпретацию. Решение неравенства с двумя неизвестными, то есть пару чисел, мы рассматривали как точку на плоскости; решение неравенства с тремя неизвестными, то есть тройку чисел, — как точку в пространстве.
Нельзя ли и дальше использовать этот прием?
Тогда четверку чисел (x; y; z; t) нужно считать точкой некоторого пространства, которое имеет четыре измерения (четырехмерного пространства). Неравенство x2 + y2 + z2 + t2 ≤ n можно тогда рассматривать как условие того, что точка лежит внутри четырехмерного шара радиуса с центром в начале координат. Далее нужно будет разбить четырехмерное пространство на четырехмерные кубики. Наконец, нам понадобится вычисление объема четырехмерного шара
1. Иными словами, мы должны начать развивать геометрию четырехмерного пространства.
Мы не будем делать всего этого в данной книге. Мы сможем лишь немного «приоткрыть дверь» в четырехмерное пространство и познакомить вас с простейшей фигурой в нем — с четырехмерным кубом.
Вас, наверное, интересуют вопросы, насколько серьезно можно говорить об этом воображаемом четырехмерном пространстве, как можно строить геометрию этого пространства по аналогии с обычной геометрией, в чем будет сходство и в чем различие между трехмерной и четырехмерной геометрией. Изучая эти вопросы, математики получили такой ответ.
Да, такую геометрию развивать можно, она во многом похожа на обычную. Более того, она содержит в себе обычную геометрию как составную часть, подобно тому, как стереометрия (геометрия в пространстве) содержит в себе планиметрию. Но, конечно, геометрия четырехмерного пространства будет иметь и очень существенные отличия от обычной геометрии.
Но мы покажем сейчас, что эти особенности по существу очень похожи на те особенности, которыми отличается геометрия трехмерного пространства от геометрии двумерной плоскости.
40. Особенности четырехмерного пространства
Нарисуйте на плоскости круг и представьте себя в виде воображаемого существа двумерного мира, которое может двигаться по плоскости, но не имеет права выходить в пространство. (Вы даже не знаете, что пространство существует, и не можете его вообразить.) Тогда граница круга — окружность — будет для вас непреодолимой преградой; вы не сможете выйти из круга, ибо окружность будет всюду преграждать вам путь (рис. 17.3).
Теперь представьте, что эта плоскость с нарисованным кругом помещена в трехмерное пространство и что вы догадались о существовании третьего измерения. Тогда вы, конечно, без труда выйдете за пределы круга, например, просто перешагнете через окружность (рис. 17.4).
Пусть теперь вы — существо трехмерного мира. Пусть вы находитесь внутри шара, граница которого (сфера) для вас непроходима. Тогда вы не сможете выйти за пределы этого шара (рис. 17.5.). Но если шар помещен в четырехмерное пространство и вы догадались о существовании четвертого измерения, то вы без всяких усилий сможете выйти за пределы шара.
Ничего мистического в этом нет — просто сфера не разбивает четырехмерное пространство на две части, хотя трехмерное пространство она разбивает. Это вполне аналогично тому, что граница круга (окружность) не разбивает трехмерного пространства на две части, хотя плоскость (в которой она лежит) эта окружность разбивает.
Еще один пример: ясно, что две фигуры на плоскости, симметричные друг другу относительно прямой, нельзя совместить, если их разрешается лишь перемещать, не выводя из плоскости. Однако сидящая бабочка может сложить крылья, выводя их из горизонтальной плоскости в вертикальную (см. рисунок на последней странице обложки). Так же и в пространстве трех измерений нельзя совместить симметричные пространственные фигуры. Например, как ни верти, левую перчатку нельзя превратить в правую, хотя они являются равными геометрическими фигурами. А в пространстве четырех измерений трехмерные симметричные фигуры можно совместить, подобно тому, как плоские симметричные фигуры совмещаются, если их вывести в трехмерное пространство.
50. Немного физики
Четырехмерная геометрия оказалась чрезвычайно полезным и просто незаменимым аппаратом для современной физики. Без аппарата многомерной воображаемой геометрии, в частности, было бы очень трудно изложить и использовать такой важный раздел современной физики, как теория относительности Альберта Энштейна.
Любой математик может позавидовать Минковскому, который после того, как очень удачно использовал геометрию в теории чисел, сумел еще раз с помощью наглядных геометрических соображений внести ясность в трудные математические вопросы — на этот раз касающиеся теории относительности. В основе теории относительности лежит идея о неразрывной связи пространства и времени. Поэтому естественно считать момент времени, в который происходит какое-либо событие, четвертой координатой этого события, наряду с первыми тремя координатами, определяющими точку пространства, в которой происходит это событие.
Получаемое так четырехмерное пространство называется пространством Минковского. С описания этого пространства начинается сейчас любой курс теории относительности. Открытие Минковского состоит в том, что основные формулы теории относительности — формулы Лоренца, записанные на языке координат для этого специального четырехмерного пространства, являются чрезвычайно простыми.
Таким образом, для современной физики оказалось большой удачей, что ко времени открытия теории относительности математики подготовили удобный, компактный и красивый аппарат многомерной геометрии, который в ряде случаев значительно упрощает решение задач.
* Параграфы 17—19 взяты из главы 4 «Четырехмерное пространство».
1 В наших выпусках мы не будем заниматься выводом формулы для
вычисления объема четырехмерного шара. Однако мы ее здесь приведем. Объем
четырехмерного шара равен
Для
сравнения укажем еще, что объем пятимерного шара равен
объем
шестимерного шара равен
объем
семимерного шара равен
§ 18. Геометрия четырехмерного пространства
10. Введение
При построении геометрии на прямой, на плоскости и в трехмерном пространстве
у нас есть две возможности: либо излагать материал с помощью наглядных
представлений (этот способ характерен для школьного курса, поэтому трудно себе
представить учебник геометрии без чертежей), либо — и эту возможность дает нам
метод координат — излагать его чисто аналитически, назвав, например, точкой
плоскости в курсе планиметрии пару чисел (координаты этой точки), а точкой
пространства — тройку чисел.
При введении четырехмерного пространства первая возможность у нас отсутствует.
Мы не можем непосредственно пользоваться наглядными геометрическими
представлениями — ведь окружающее нас пространство имеет всего три измерения.
Однако вторая дорога для нас открыта. В самом деле, мы определяем точку прямой
как число, точку плоскости как пару чисел, точку трехмерного пространства как
тройку чисел. Поэтому совершенно естественно построить геометрию четырехмерного
пространства, определив точку этого воображаемого пространства как четверку
чисел. Под геометрическими фигурами в таком пространстве нужно будет понимать
некоторые множества точек (как, впрочем, и в случае обычной геометрии). Перейдем
теперь к точным определениям.
20. Координатные оси и плоскости
Определение. Точкой четырехмерного пространства называется
упорядоченная четверка
2 чисел (x; y; z; t).
Что считать в пространстве четырех измерений координатными осями и сколько их?
Чтобы ответить на этот вопрос, вернемся на время к плоскости и трехмерному
пространству.
На плоскости (то есть в пространстве двух измерений) координатные оси — это
множества точек, у которых одна из координат может иметь любое числовое
значение, а вторая равна нулю. Так, ось абсцисс — это множество точек вида (x;
0),
где x — любое число.
Например, на оси абсцисс лежат точки (1; 0), (–3; 0),
а точки
не лежат
на оси абсцисс.
Ось ординат плоскости — это множество точек вида (0; y), где y — любое число.
В трехмерном пространстве есть три оси:
• ось x — это множество точек вида (x; 0; 0), где x — любое число;
• ось y — это множество точек вида (0; y; 0), где y — любое число;
• ось z — это множество точек вида (0; 0; z), где z — любое число.
В четырехмерном пространстве, состоящем из всех точек вида (x; y; z; t), где x,
y, z, t — любые числа, естественно считать координатными осями такие множества
точек, у которых одна из координат принимает любые числовые значения, а
остальные равны нулю. Тогда ясно, что в четырехмерном пространстве есть четыре
координатные оси:
• ось x — множество точек вида (x; 0; 0; 0), где x — любое число;
• ось y — множество точек вида (0; y; 0; 0), где y — любое число;
• ось z — множество точек вида (0; 0; z; 0), где z — любое число;
• ось t — множество точек вида (0; 0; 0; t), где t — любое число.
В трехмерном пространстве кроме координатных осей имеются еще координатные
плоскости. Это плоскости, проходящие через две какие-нибудь координатные оси.
Например, плоскость yz — это плоскость, проходящая через ось y и ось z.
Всего в трехмерном пространстве есть три координатные плоскости:
• плоскость xy — множество всех точек вида (x; y; 0), где x и y — любые числа;
• плоскость yz — множество всех точек вида (0; y; z), где y и z — любые числа;
• плоскость xz — множество всех точек вида (x; 0; z), где x и z — любые числа.
Естественно и в четырехмерном пространстве назвать координатными плоскостями
множества точек, у которых какие-либо две координаты принимают любые числовые
значения, а остальные две равны нулю. Например, множество точек вида (x; 0; z;
0) мы будем называть координатной плоскостью xz четырехмерного пространства.
Сколько же всего таких плоскостей? Это нетрудно сообразить. Мы сейчас просто
выпишем их все:
• плоскость xy — множество точек вида (x; y; 0; 0);
• плоскость xz — множество точек вида (x; 0; z; 0);
• плоскость xt — множество точек вида (x; 0; 0; t);
• плоскость yz — множество точек вида (0; y; z; 0);
• плоскость yt — множество точек вида (0; y; 0; t);
• плоскость zt — множество точек вида (0; 0; z; t).
Для каждой из этих плоскостей переменные координаты могут принимать любые
числовые значения, в том числе и нулевые. Например, точка (5; 0; 0; 0) заведомо
принадлежит плоскости xy и плоскости xz (а еще какой?). Тогда легко видеть, что,
например, плоскость yz «проходит» через ось y в том смысле, что каждая точка
этой оси принадлежит этой плоскости. Действительно, любая точка на оси y, то есь
точка вида (0; y; 0; 0) принадлежит множеству точек вида (0; y; z; 0), то есть
плоскости yz.
Вопрос. Какое множество образуют точки, принадлежащие одновременно и
плоскости yz и плоскости xz?
Ответ. Это множество состоит из всех точек вида (0; 0; z; 0), то
есть является просто осью z.
Итак, в четырехмерном пространстве существуют множества точек, аналогичные
координатным плоскостям трехмерного пространства. Их шесть. Каждое из них
состоит из точек, у которых, как и у точек координатных плоскостей трехмерного
пространства, какие-нибудь две координаты могут принимать любые числовые
значения, а остальные две равны нулю. Каждая из этих координатных плоскостей
«проходит» через две координатные оси: например, плоскость yz проходит через ось
y и ось z. С другой стороны, через каждую ось проходят три координатные
плоскости. Так, через ось x проходят плоскости xy, xz и xt. Мы будем говорить,
что ось x является пересечением этих плоскостей. Все шесть координатных
плоскостей содержат одну общую точку. Это точка (0; 0; 0; 0) — начало координат.
Вопрос. Какое множество точек является пересечением плоскостей xy и yz?
xy и zt?
Мы видим, что картина получается вполне аналогичная той, которая имеется в
трехмерном пространстве. Мы сейчас даже попытаемся сделать схематический
рисунок, который поможет создать некоторый наглядный образ расположения
координатных плоскостей и осей четырехмерного пространства.
На рисунке 18.1 оси координат изображены прямыми, показаны также координатные
плоскости; все точно так же, как это было сделано на рисунке 12.2 для
трехмерного пространства (см. гл. II).
Однако в четырехмерном пространстве есть еще множества точек, которые можно
назвать «трехмерными координатными плоскостями». Этого, кстати, следовало
ожидать: на прямой имеется только начало координат; на плоскости есть и начало
координат, и оси; в трехмерном пространстве, кроме начала и осей появляются еще
координатные плоскости. Естественно, что в четырехмерном пространстве появляются
новые множества, которые мы будем называть «трехмерными координатными
плоскостями».
Это множества, состоящие из всех точек, у которых какие-либо три из четырех
координат принимают всевозможные числовые значения, а четвертая равна нулю.
Таково, например, множество точек вида (x; 0; z; t), где x, z, t принимают
всевозможные значения. Это множество будем называть трехмерной координатной
плоскостью xzt. Легко понять, что в четырехмерном пространстве существуют четыре
координатные трехмерные плоскости:
• плоскость xyz — множество точек вида (x; y; z; 0);
• плоскость xyt — множество точек вида (x; y; 0; t);
• плоскость xzt — множество точек вида (x; 0; z; t);
• плоскость yzt — множество точек вида (0; y; z; t).
Можно также сказать, что каждая из трехмерных координатных плоскостей
«проходит» через начало координат и что каждая из этих плоскостей «проходит»
через три координатные оси. (Слово «проходит» мы здесь употребляем в том смысле,
что начало координат и каждая из точек этих трех осей принадлежит плоскости.)
Например, трехмерная плоскость zyt проходит через оси z, y и t.
Аналогично можно сказать, что каждая из двумерных плоскостей является
пересечением двух трехмерных плоскостей. Например, плоскость xy является
пересечением трехмерных плоскостей xyz и xyt, то есть состоит из всех точек,
принадлежащих и тому, и другому множеству.
Посмотрите на рисунок 18.2. Он отличается от рисунка 18.1 тем, что мы
дорисовали на нем трехмерную координатную плоскость xyz. Она изображена
параллелепипедом. Видно, что эта плоскость содержит оси x, y и z и плоскости xy,
xz и yz.
18.1. Запишите условия, определяющие множества точек, которые являются пересечением каждой из пар трехмерных координатных плоскостей. Что это за множества?
30. Некоторые задачи
Попробуем теперь разобраться в том, в каком смысле можно говорить о
расстоянии между точками четырехмерного пространства.
В § 3, 7 и 12 мы показали, что метод координат дает возможность определять
расстояние между точками, не опираясь на геометрические представления.
Действительно, расстояние вычисляется для точек A(x1)
и B(x2) прямой по формуле
ρ(A; B) = | x1 – x2 |,
или 
для точек A(x1; y1)
и B(x2; y2)
плоскости — по формуле
и для точек A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2) трехмерного пространства — по формуле
Естественно и для четырехмерного пространства определить расстояние аналогичным образом, а именно ввести следующее определение.
Определение. Расстоянием между двумя точками A(x1;
y1; z1;
t1) и B(x2;
y2; y2;
t2) называется число ρ(A; B), вычисляемое
по формуле 
В частности, расстояние от точки A(x; y; z; t) до начала координат O(0; 0; 0; 0) дается формулой
Пользуясь этим определением, можно уже решать задачи из геометрии
четырехмерного пространства, совсем похожие на те, которые вы решаете по
школьным задачникам.
18-2. Докажите, что треугольник с вершинами A(4; 7; –3; 5), B(3; 0; –3; 1) и C(–1;
7; –3; 0) равнобедренный.
18-3. Имеются четыре точки четырехмерного пространства A(1; 1; 1; 1), B(–1;
–1; 1; 1), C(–1; 1; 1; –1) и D(1; –1; 1; –1). Докажите, что эти четыре точки
равноудалены друг от друга.
Пусть A, B и C — точки четырехмерного пространства. Мы можем определить угол
ABC следующим образом. Поскольку мы уже умеем вычислять расстояния в
четырехмерном пространстве, найдем «длины сторон» треугольника ABC, то есть ρ(A;
B), ρ(B; C) и ρ(A; C). Построим теперь на обычной двумерной плоскости такой
треугольник ARBRCR, чтобы его стороны ARBR, BRCR и CRAR равнялись бы
соответственно ρ(A; B), ρ(B; C) и ρ(A; C). Тогда угол ARBRCR этого треугольника
и будем называть углом ABC в четырехмерном пространстве
3.
18-4. Докажите, что треугольник с вершинами A(4; 7; –3; 5), B(3; 0; –3; 1),
C(1; 3; –2; 0) прямоугольный.
18-5. Найдите стороны и углы треугольника с вершинами
18-6. Возьмем точки A, B и C из упражнения 18-2. Вычислите углы A, B и C
треугольника ABC.
2 Мы говорим «упорядоченная», так как при разном расположении
одних и тех же чисел в четверке получаются разные точки: например, точка (1; –2;
3; 8) отличная от точки (3; 1; 8; –2).
3 Чтобы это определение было, как говорят математики, корректным
(имело бы смысл, было бы правомерным), необходимо доказать, что треугольник со
сторонами ρ(A; B), ρ(B; C) и ρ(A; C) может быть построен на плоскости. Для этого
нужно убедиться, что каждое из этих расстояний меньше суммы двух других, то есть
доказать некоторые довольно сложные неравенства.
§ 19. Четырехмерный куб
10. Определения сферы и куба
Перейдем теперь к рассмотрению геометрических фигур в четырехмерном пространстве. Под геометрической фигурой (как и в случае обычной геометрии) будем понимать некоторое множество точек.
Возьмем, например, определение сферы: сфера есть множество точек, удаленных от некоторой точки на одно и то же расстояние (рис. 19.1.). Это определение уже можно использовать, чтобы по аналогии определить сферу в четырехмерном пространстве: что такое точка, мы знаем, что такое расстояние между точками, тоже знаем. Мы и примем это определение, переведя его на язык чисел (для простоты, как и в случае трехмерного пространства, возьмем сферу с центром в начале координат).
Определение. Множество точек M(x; y; z; t), удовлетворяющих соотношению
x2 + y2 + z2 + t2 = R2,
называется четырехмерной сферой с центром в начале координат и радиусом R.
Если рассматривать не сферу, а шар, то указанное равенство надо заменить неравенством
1:
x2 + y2 + z2 + t2 ≤ R2.
Расскажем теперь немного о четырехмерном кубе. Судя по названию, это фигура, аналогичная обыкновенному, хорошо знакомому вам трехмерному кубу (рис. 19.2). На плоскости тоже есть фигура, аналогичная кубу, — это квадрат. Аналогию между ними можно легко увидеть, если рассмотреть аналитические определения куба и квадрата.
Действительно, можно дать такое определение.
Кубом называется множество точек (x; y; z), удовлетворяющих соотношениям
Это «арифметическое» определение куба не нуждается уже ни в каком чертеже. Однако оно полностью соответствует геометрическому определению куба
2.
Для квадрата тоже можно дать арифметическое определение.
Квадратом на плоскости xy называется множество точек (x; y), удовлетворяющих соотношениям
Сравнивая эти два определения, легко понять, что квадрат действительно является, как говорят, двумерным аналогом куба. Мы будем иногда называть квадрат «двумерным кубом».
Можно также рассмотреть аналог этих фигур и в пространстве одного измерения — на прямой. Мы получим множество точек прямой, удовлетворяющих соотношениям
0 ≤ x ≤ 1.
Ясно, что «одномерным кубом» является отрезок.
Надеемся, что теперь для вас совершенно естественно выглядит следующее определение.
Определение. Четырехмерным кубом называется множество точек (x; y; z; t), удовлетворяющих соотношениям
Не надо огорчаться, что мы не привели пока рисунок четырехмерного куба — мы это сделаем потом (не удивляйтесь, что можно нарисовать четырехмерный куб: ведь рисуем же мы трехмерный куб на плоском листе бумаги). Для этого сначала надо разобраться, как этот куб «устроен», какие элементы в нем можно различать.
20. Устройство четырехмерного куба
Рассмотрим по порядку «кубы» различных размерностей, то есть отрезок, квадрат и обычный куб (вернитесь к рис. 19.2).
Отрезок, определяемый соотношениями
0 ≤ x ≤ 1,
является очень простой фигурой. Про него, пожалуй, можно лишь сказать, что его граница состоит из двух точек (0 и 1). Остальные точки отрезка мы будем называть внутренними.
Граница квадрата состоит из четырех точек — вершин и четырех отрезков — ребер. Таким образом, квадрат имеет на границе элементы двух типов: точки и отрезки.
Граница трехмерного куба содержит элементы трех типов:
вершины — их 8,
ребра (отрезки) — их 12
грани (квадраты) — их 6.
Запишем эти данные в виде таблицы:
| Фигура | Состав границы | ||
| точек (вершин) | отрезков (ребер) | квадратов (граней) | |
| Отрезок
Квадрат Куб |
2
4 8 |
– 4 12 |
– – 6 |
Эту таблицу можно переписать короче, если условиться писать вместо названия фигуры число n,
равное его размерности:
• для отрезка n = 1;
• для квадрата n = 2;
• для куба n = 3.
Вместо названия элемента границы тоже можно писать размерность этого элемента:
• для грани n = 2;
• для ребра n = 1.
При этом точку (вершину) удобно считать элементом нулевой размерности (n = 0). Тогда предыдущая таблица примет такой вид:
| Размерность куба | Размерность границы | ||
| 0 | 1 | 2 | |
| 1 2 3 4 |
2 4 8 ? |
– 4 12 ? |
– – 6 ? |
Наша цель — заполнить четвертую строку этой таблицы. Для этого мы еще раз, но теперь уже аналитически
3, просмотрим границы отрезка, квадрата и куба (рис. 19.3) и по аналогии попробуем сообразить, как устроена граница четырехмерного куба.
Граница отрезка 0 ≤ x ≤ 1 состоит из двух точек: x = 0 и x = 1.
Граница квадрата 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 содержит четыре вершины:
x = 0, y = 0,
x = 0, y = 1,
x = 1, y = 0,
x = 1, y = 1,
то есть точки (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1).
Куб 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 содержит восемь вершин. Каждая из этих вершин есть точка (x; y; z),
в которой x, y и z заменяются либо нулем, либо единицей.
Получаются следующие восемь точек:
(0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 0), (1; 0; 1), (1; 1; 0), (1; 1; 1).
Определение. Вершинами четырехмерного куба 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1 называются точки (x; y; z; t), у которых x, y, z, t заменяются либо нулем, либо единицей.
Таких вершин 16, потому что можно составить 16 различных четверок из нулей и единиц. В самом деле, возьмем тройки, составленные из координат вершин трехмерного куба (их 8), и к каждой такой тройке припишем сначала 0, потом 1
(рис. 19.4). Таким образом, из каждой такой тройки получится две четверки, всего четверок будет 8∙2 = 16.
Итак, вершины четырехмерного куба мы сосчитали.
19-1. Выпишите координаты всех 16 вершин четырехмерного куба.
Подумаем теперь, что следует называть ребром четырехмерного куба. Снова воспользуемся аналогией. У квадрата «ребра» (стороны) определяются следующими соотношениями (вернитесь к рис. 19.3):
0 ≤ x ≤ 1, y = 0 (ребро AB);
x = 1, 0 ≤ y ≤ 1 (ребро AD);
0 ≤ x ≤ 1, y = 1 (ребро CD);
x = 0, 0 ≤ y ≤ 1 (ребро BC).
Как мы видим, для ребер квадрата характерно, что у всех точек данного ребра какая-нибудь из координат имеет определенное числовое значение: 0 или 1, а вторая координата принимает все значения между 0 и 1.
Далее рассмотрим ребра трехмерного куба. Мы имеем (см. рис. 19.3):
x = 1, y = 0, 0 ≤ z ≤ 1 (ребро AA1);
0 ≤ x ≤ 1, y = 0, z = 1 (ребро A1B1);
x = 0, 0 ≤ y ≤ 1, z = 1 (ребро B1C1)
и т. д.
По аналогии дадим следующее определение.
Определение. Ребрами четырехмерного куба называются множества точек, для которых все координаты, кроме одной, постоянны (равны либо 0, либо 1), а четвертая принимает все возможные значения от 0 до 1.
Примеры ребер:
1) x = 0, y = 0, z = 0, 0 ≤ t ≤ 1;
2) 0 ≤ x ≤ 1, y = 1, z = 0, t = 1;
3) x = 1, 0 ≤ y ≤ 1, z = 0, t = 0.
Попробуем сосчитать, сколько ребер у четырехмерного куба, то есть сколько можно написать таких строчек. Чтобы не запутаться, будем писать их в определенном порядке. Прежде всего, будем различать четыре группы ребер: для первой пусть переменной координатой является x (причем 0 ≤ x ≤ 1), а y, z и t принимают постоянные значения 0 и 1 во всех возможных комбинациях. Но мы уже знаем, что существует 8 различных троек из нулей и единиц (вспомните, сколько вершин у трехмерного куба). Поэтому существует 8 ребер первой группы (для которых переменной координатой является x). Легко понять, что и ребер второй группы, для которых переменной является не x, а y, тоже 8. Таким образом, ясно, что всего у четырехмерного куба 4x8 = 32 ребра.
Вот теперь легко выписать соотношения, определяющие каждое из этих ребер, не боясь пропустить какое-нибудь:
| I группа: 0 ≤ x ≤ 1 |
II группа: 0 ≤ y ≤ 1 |
III группа: 0 ≤ z ≤ 1 |
IVгруппа: 0 ≤ t ≤ 1 |
||||||||
| y | z | t | x | z | t | x | y | t | x | y | z |
| 0 0 0 0 1 1 1 1 |
0 0 1 1 0 0 1 1 |
0 1 0 1 0 1 0 1 |
0 0 0 0 1 1 1 1 |
0 0 1 1 0 0 1 1 |
0 1 0 1 0 1 0 1 |
0 0 0 0 1 1 1 1 |
0 0 1 1 0 0 1 1 |
0 1 0 1 0 1 0 1 |
0 0 0 0 1 1 1 1 |
0 0 1 1 0 0 1 1 |
0 1 0 1 0 1 0 1 |
У трехмерного куба, кроме вершин и ребер, имеются еще грани. На каждой из граней две координаты меняются (принимая все возможные значения от 0 до 1), а одна координата постоянна (равна 0 или 1). Например, грань ABB1A1
(см. рис. 19.3) определяется соотношениями
0 ≤ x ≤ 1, y = 0, 0 ≤ z ≤ 1.
По аналогии дадим такое определение.
Определение. Двумерной гранью
4 четырехмерного куба называется множество точек, для которых какие-нибудь две координаты могут принимать все возможные значения от 0 до 1, а две другие постоянны (равны либо 0, либо 1).
Пример грани:
x = 0, 0 ≤ y ≤ 1, z = 1, 0 ≤ t ≤ 1.
19-2. Сосчитайте число граней четырехмерного куба.
Теперь мы можем заполнить четвертую строку нашей таблицы:
| Размерность куба | Размерность границы | ||
| 0 | 1 | 2 | |
| 1 2 3 4 |
2 4 8 16 |
- 4 12 32 |
- - 6 24 |
Однако эта таблица пока еще не закончена. Дело в том, что, вероятно, для четырехмерного куба нужно добавить еще один столбец. Действительно, у отрезка был только один тип границы — вершины, у квадрата прибавились ребра, у куба прибавились квадраты — двумерные грани. Надо ожидать, что у четырехмерного куба, кроме уже знакомых нам элементов границы, появился еще новый вид элементов, размерность которых будет равна трем.
Попробуем дать такое определение.
Определение. Трехмерной гранью четырехмерного куба называется множество точек, у которых три координаты принимают все возможные значения от 0 до 1, а одна постоянна (равна либо 0, либо 1).
Число трехмерных граней легко сосчитать. Их восемь, так как для каждой из четырех координат есть два возможных значения: 0 и 1, и мы имеем 2∙4 = 8.
19-3. Нарисуйте полную таблицу, прибавив и заполнив недостающую графу.
А теперь посмотрите на рисунок 19.5. На нем нарисован четырехмерный куб. На рисунке видны все 16 вершин, 32 ребра, 24 двумерные грани (они изображены параллелограммами) и 8 трехмерных граней (они изображены параллелепипедами). Хорошо видно, какая грань содержит какое ребро и т.д.
Наглядное представление о четырехмерном кубе можно получить и другим способом. Представьте себе, что мы попросили вас прислать нам модель обычного трехмерного куба. Конечно, вы можете воспользоваться «трехмерной» почтой. Но трехмерные фигуры почта принимает в виде посылок, а это сложно. Поэтому лучше сделать так: склеить куб из бумаги, потом его опять расклеить и послать нам выкройку или, как говорят математики, «развертку» куба. Такая развертка изображена на рисунке 19.6.
Так как на рисунке проставлены координаты вершин, легко понять, как надо склеить эту развертку, чтобы получить сам куб.
19-4. Запишите соотношения, определяющие каждую из восьми трехмерных граней четырехмерного куба.
19-5. Можно сделать «развертку» четырехмерного куба. Это будет некоторая трехмерная фигура. Очевидно, она будет состоять из восьми кубиков. Если вам удастся сделать или представить себе эту развертку, зарисуйте ее и на рисунке укажите координаты каждой вершины.
30. Задачи на куб
Итак, мы немного разобрались в том, как устроен четырехмерный куб. Попробуем теперь представить себе его размеры. Длина каждого из ребер четырехмерного куба, как и квадрата, как и обычного куба, равна единице (под длиной ребра мы понимаем расстояние между вершинами, лежащими на этом ребре). Недаром мы назвали наши «кубы» единичными.
19-6. Посчитайте расстояния между вершинами четырехмерного куба, не лежащими на одном ребре.
19-7. Решив упражнение 19-6, вы увидите, что все вершины четырехмерного куба можно разбить на 4 группы. Вершины первой группы находятся от вершины (0; 0; 0; 0) на расстоянии 1, вершины второй группы — на расстоянии
вершины группы — на расстоянии
и четвертой — на расстоянии
Сколько у четырехмерного куба вершин каждой группы?
19-8. Вершина (1; 1; 1; 1) удалена от вершины (0; 0; 0; 0) на самое большое расстояние, равное 2.
Эту вершину мы будем называть противоположной вершине (0; 0; 0; 0), а отрезок, их соединяющий, — главной диагональю четырехмерного куба. Что называть главной диагональю для единичных кубов других размерностей и чему равны длины их главных диагоналей?
19.9. Представьте себе, что трехмерный куб сделан из проволоки и в вершине (0; 0; 0) сидит муравей. Тогда из одной вершины в другую муравью придется ползти по ребрам.
По скольким ребрам ему придется проползти, чтобы попасть в вершину (1; 1; 1) из вершины (0; 0; 0)? По трем ребрам. Поэтому вершину (1; 1; 1) мы будем называть вершиной третьего порядка.
Если путь по ребрам из вершины (0; 0; 0) в некоторую вершину состоит из двух звеньев, такую вершину будем называть вершиной второго порядка (пример вершина (0; 1; 1)). Таких вершин три.
В кубе есть три вершины первого порядка — это те, в которые муравей может попасть, пройдя по одному ребру. Вершин первого порядка у куба тоже три.
Запишите координаты вершин второго порядка трехмерного куба.
19-10. Из вершины (0; 0; 0) трехмерного куба в каждую из вершин второго порядка существуют два пути, состоящие из двух звеньев. Например, в вершину (0; 1; 1) можно попасть через вершину (0; 0; 1), а можно — через вершину (0; 1; 0).
Сколькими трехзвенными путями можно попасть из вершины куба в противоположную?
19-11. Возьмите четырехмерный куб с центром в начале координат, то есть множество точек, удовлетворяющих соотношениям
1) Найдите расстояние от вершины (1; 1; 1; 1) до всех остальных вершин этого куба.
2) Какие вершины будут вершинами первого порядка относительно вершины (1; 1; 1; 1) (то есть в какие вершины можно попасть из вершины
(1; 1; 1; 1), пройдя по одному ребру)? Какие вершины будут вершинами второго порядка? третьего? четвертого?
19-12. Сколько существует четырехзвенных путей, ведущих из вершины (0; 0; 0; 0) четырехмерного куба в противоположную вершину (1; 1; 1; 1),
если идти по ребрам этого куба? Запишите подробно маршруты для каждого пути, указывая по порядку, через какие вершины нужно проходить.
19-13. Запишите уравнение четырехмерной сферы 5, проходящей через все вершины четырехмерного куба из упражнения 19-11.
19-14. Если обычный трехмерный куб пересечь некоторой плоскостью, то в пересечении, естественно, получится некоторая плоская фигура — сечение куба.
На рисунке 19.7 показано, какие сечения получаются, если куб пересекать плоскостями, перпендикулярными главной диагонали куба.
Можно представить себе эту картину иначе: куб движется «сквозь» плоскость, вырезая в плоскости последовательно разные сечения.
Аналогично, если квадрат («двумерный куб») движется через прямую (то есть «одномерную плоскость»), перпендикулярную главной диагонали, то сначала он вырежет на прямой одну только точку, потом эта точка превратится в отрезок, который при движении квадрата будет сначала увеличиваться (до какой длины?), а потом опять сожмется в точку (рис. 19.8).
Продолжим аналогию в другую сторону: пусть четырехмерный куб проходит через трехмерное пространство. Тогда в трехмерном пространстве должны возникать трехмерные фигуры — сечения четырехмерного куба.
Очевидно, это будут некоторые многогранники.
1) Попробуйте сообразить, какие фигуры будут получаться, если четырехмерный куб будет проходить через трехмерное пространство, перпендикулярное его главной диагонали.
Замечание. Мы не ждем от вас обязательно строгого решения задачи. Ее нужно попробовать решить прежде всего по аналогии с трехмерным и двумерным случаями. Однако можно попробовать дать и строгое доказательство, для чего придется, конечно, уточнить формулировку (например, придется подумать, что значит «трехмерное пространство, перпендикулярное главной диагонали»).
2) Нарисуйте «мультфильм» — последовательность сечений четырехмерного куба трехмерной плоскостью, перпендикулярной главной диагонали.
1 Это замечание относится также к «шарам» других размерностей: двумерный шар — это круг, а одномерный — отрезок.
2 Конечно, в пространстве есть и другие кубы. Например, множество точек, определяемых соотношениями
–1 ≤ x ≤ 1, –1 ≤ y ≤ 1, –1 ≤ z ≤ 1, тоже является кубом. Этот куб очень хорошо расположен относительно координатных осей: начало координат является его центром, координатные оси и координатные плоскости — осями и плоскостями симметрии. Однако для наших целей удобен именно куб, определяемый соотношениями (19.1). Такой куб мы будем иногда называть единичным, чтобы отличить его от других кубов.
3 То есть чисто арифметически.
4 Необходимость уточнения названия грани (двумерная) будет выяснена несколько позже.
5 См. определение в начале пункта 10.